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中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带答案)
11. (2016山东莱芜， 11，3分)以下说法正确的有：
①正八边形的每个内角都是135
② 与 是同类二次根式
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30
④反比例函数 ，当x0时，y随的x增大而增大
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
【解析】正八边形的每个内角度数：180 ，①正确
= ， = ， 与 是同类二次根式，②正确
一条非直径的弦对两个圆周角，分别是一个锐角和一个钝角，长度等于半径的弦所对的圆周角为30错误
反比例函数 ，当x0时，y随的x增大而增大，④正确
【答案】C.
【点评】掌握基础知识，记住当用的结论如正多边形的各个内角的计算、同类二次根式的识别判断、反比例函数的图象的性质。对于一些多解问题，要做到思考问题全面.
7. (2016山东日照，7，3分)下列命题错误的是 ( )
A.若 a1，则(a-1) =-
B. 若 =a-3 ，则a3
C.依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
D. 的算术平方根是9
解析：因为a1，所以1-a0，所以(a-1) = (a-1) = =- ,故A正确;B中有a-30，a3，故B正确;因为菱形的对角线互相垂直，所以连接其各边中点得到的四边形是矩形，C也正确. =9，9的算术平方根是3，所以D错误.
8、(2016深圳市 8 ，3分)下列命题：
① 方程 的解是
② 4的平方根是2
③ 有两边和一角相等的两个三角形全等
④ 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形
其中是真命题的有( )个
A. 4个 B. 3个 C 2个 D. 1个
【解析】：考查方程的解，平方根的意义，三角形全等的判定，中点四边形的性质
【解答】：①漏了一个解;4的平方根是 ， 不能用作三角形全等的判定
由中点四边形的性质知，中点四边形一定是平行四边形。正确的命题只有一个。故选择D
【点评】：对相关概念的准确理解和记忆，熟悉相关图形的性质，是解题的关键。
12.(2016山东东营，12，3分)如图，一次函数 的图象与 轴， 轴交于A，B两点，与反比例函数 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作 轴， 轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE.有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等;
②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;
④ .
其中正确的结论是( )
A.①② B. ①②③
C.①②③④ D. ②③④
【解析】根据题意可求得D(1，4 )，C(-4，-1)，则F(1，0)，△DEF的面积是： ，
△CEF的面积是： ，△CEF的面积=△DEF的面积，故①正确;②即△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，故EF∥CD，△AOB∽△FOE，故②正确;DF=CE，四边形CEFD是等腰梯形，所以△DCE≌△CDF，③正确;⑤∵BD∥EF，DF∥BE，四边形BDFE是平行四边形，BD=EF，同理EF=AC，AC=BD，故④正确;正确的有4个.
【答案】C
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定，检查同学们综合运用定理进行推理的能力，关键是需要同学们牢固掌握课本知识并能综合运用.
7. (2016湖北黄冈，7，3)下列说法中
①若式子 有意义，则x1.
②已知=27，则的补角是153.
③已知x=2 是方程x2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8.
④在反比例函数 中，若x0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k2. 其中正确命题有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【解析】若式子 有意义，则x1，①错误;由=27得的补角是=180-27=153，②正确.
把x=2 代入方程x2-6x+c=0得4-62+c=0，解得c=8，③正确;反比例函数 中，若x0 时，y 随x 的增大而增大，得：k-20，k2，④错误。故选B.
【答案】B
【点评】本题用判断的形式考查了二次根式、互为补角、一元二次方程根等定义和反比例函数的性质.难度较小
(2016河北省22,8分)22、(本小题满分8分)
如图12，四边形ABCD是平行四边形，点A(1,0)，B(3,1)，C(3,3)，反比例函数 的图像过点D，点P是一次函数y=kx+3-3k 的图象与该反比例函数的一个公共点。
(1)求反比例函数的解析式;
(2)通过计算，说明一次函数y=kx+3-3k 的图象一定过点C;
(3)对于一次函数y=kx+3-3k ，当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围(不必写出过程)。
【解析】(1)平行四边形对边平行且相等，以及平行坐标轴的直线坐标的特征，可得点D的坐标为(1,2)，在利用待定系数法求出m的值，得到反比例函数的解析式。(2)判断点是否在直线上，就是把点的坐标代入到直线的解析式中，看等式是否成立，若成立，点就在直线上，反之就不在直线上。(3)由(2)知直线过点C，当直线平行于x轴时，即点P的纵坐标为3，则横坐标为 ，当直线与x轴垂直时，点P的横坐标为3.通过观察图像，当点P的横坐标介于 和3之间就能保证k0，即y随x的增大而增大。
【答案】解：(1)由题意，AD=BC=2，故点D的坐标为(1,2)2分
∵反比例函数 的图象经过点D(1,2) ， m=2
反比例函数的解析式为 4分
(2)当x=3时，y=3k+3-3k=3，一次函数y=kx+3-3k 的图象一定过点C。6分
(3)设点P的横坐标为a， 。8分
【注：对(3)中的取值范围，其他正确写法，均相应给分】
【点评】本题是平行四边形、一次函数反、比例函数及坐标系中特殊点的坐标的特征的综合应用。有一定难度，学生不容易想到解题方法。特别是最后一问，y随x的增大而增大，学生不容易看出点P的横坐标的范围。难度偏大。
24.(2016贵州省毕节市，24，10分)近年来，地震、泥石流等自然灾害频繁发生，造成极大的生命和财产损失。为了更好地做好防震减灾工作，我市相关部门对某中学学生防震减灾的知晓率采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果分为非常了解、比较了解、基本连接和不了解四个等级。小明根据调查结果绘制了如下统计图，请根据提供的信息回答问题：
第24题图
(1)本次参与问卷调查 的学生有 人;扇形统计图中基本连接部分所对应的扇形圆心角是 度;在该校2000名学生中随机提问一名学生，对防震减灾不了解的概率为 .
(2)请补全频数分布直方图。
解析：(1)根据非常了解的人数与所占的百分比列式计算即可求出参与问卷调查的学生人数;求出基本了解的学生所占的百分比，再乘以360，计算即可得解;求出不了解的学生所占的百分比即可;
(2)根据学生总人数，乘以比较了解的学生所占的百分比，求出比较了解的人数，补全频数分布直方图即可.
解答：解：(1)8020%=400人， =144，
，故答案为400，144
(2)比较了解的人数为：40035%=140人，
图获取信息的能力.利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.
(2016哈尔滨，题号27分值 10)27.(本题l0分)
如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABC0是平行四边形， 直线y=_x+m经过点C,交x轴于点D.
(1)求m的值;
(2)点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，0c，DC于点E，F，G.设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 ( 直接写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使BFH=AB0.求此时t的值及点H的坐标.
本题综合考查一次函数、平行四边形、相似、三角函数、勾股定理等知识.
(1)由y=2x+4求出点A、B的坐标，结合ABCO是平行四边形可求点C坐标，将点C坐标代入y=-x+m可求m值;
(2)先由y=-x+m计算点D坐标，易知FG=d-2, △CFG∽△COD，△CFG边FG上的高为4-t, △CFG∽△COD，根据对应高的比等于相似比列式可求d与t的函数关系式;
(3) 可以将EP用t表示出来，所以PG=d-EP(d已用t表示)也可以用t表示出来.因为OPG=OMG=90，PFO=MFG，所以POF=MGF，又因为ABO=POF，所以tanMGF =tanABO= ，将用t表示EP、PG的式子代入上式可求t值;
t值已求，可知PB、OP、PF的值，由勾股定理可计算BF的值，由△BHF∽△BFO，列比例式可计算BH，从而求出点H坐标.
【答案】解：(1)∵y=2x+4与坐标轴交与A、B，A(-2,0)，B(04)，即OA=2，OB=4.
∵BC平行且等于OA，所以C(2,4)，将C(2,4)代入y=-x+m，得m=6，y=-x+6;
(2)∵y=-x+6与x轴交与点D，D(6,0)，即AB=8，OD=6.
∵点P(0，t)，EG=d,EF=2，FG=d-2，△CFG边FG上的高为4-t.
∵△CFG∽△COD， ，即 ，d=8- (0
(3)∵tanABO= ，即 ，EP=2- ，PG=d-EP=8- -(2- )=6-t.
∵AB∥OC，ABO=BOC.∵OG为直径的圆过点M，FMG=OPG=90，又PFO=MFG，ABO=BOC=MGF，tanABO=tanMGF= ,即 ，
当t=2时，PB=OB=2，∵tanABO=tanBOC= ，PF=1，BG= .
∵HBF=FBH， BFH=ABO=BOF，∵△BHF∽△BFO，BF2=BHBO，即5=4BH，BH= ，OH= ，H(0， ).
【点评】本题综合性强，不容易发现表达函数关系以及求未知量的途径.此类题目做到数形结合，将求函数解析式的问题转化为求线段长度的问题，采用以静制动的方法，寻找各量与变量之间的关系. 三角形相似、同一锐角(或等角)的三角函数、勾股定理常常能将一组线段建立起联系，是建立函数关系、列方程求未知量的常用到的方法.
24.(2016湖北荆州，24，12分)(本题满分12)已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.
①求k的值;②当kk+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值.
【解析】(1)当k =1时，函数为一次函数y=-2x+3，其图象与x轴有一个交点.
当k1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0.
△=(-2k)2-4(k-1)(k+2)0，解得k2.即k2且k1.(录入答案是k=1)
综上所述，k的取值范围是k2.
(2)①∵x1x2，由(1)知k2且k1.(录入答案是k=1)
由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1.
将(*)代入(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：
2k(x1+x2)=4x1x2.
又∵x1+x2= ，x1x2= ，
2k =4 .
解得：k1=-1，k2=2(不合题意，舍去).
所求k值为-1.
②如图5，∵k1=-1，y=-2x2+2x+1=-2(x- )2+ .
且-11.
由图象知：当x=-1时， y 最小=-3;当x= 时，y最大= .
y的最大值为 ，最小值为-3.
【答案】(1) k2(2)①k值为-1②y的最大值为 ，最小值为-3.
【点评】本题是函数与方程的一个综合性题目，考察了函数、方程、不等式的有关知识。在计算时由于没有说明二次项系数是否为零，因此首先应进行分类讨论。在解决二次函数与图象与x轴的交点问题时，应利用判别式进行计算，结合一元二次方程有关知识如根与系数的关系、根代入原方程可以得到等式等。另外，计算二次函数在某一段的最值时，要结合图象进行计算，防止出现端点值是该段的极值的错误
(2016北海,26，12分)26.如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，A=90，AB=AC，A(-2，0)、B(0，1)、C(d，2)。
(1)求d的值;
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B、C正好落在某反比例函数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线BC的解析式;
(3)在(2)的条件下，直线BC交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标;如果不存在，请说明理由。
【解析】(1)见下图，过点C作CNx轴于点N，易证Rt△CNA≌Rt△AOB，可得ON=7，点C在第二象限，所以d=-3 。
(2)因为是平移，所以点B、C只有横坐标发生变化，纵坐标不变。设C(E，2)，则B(E+3，1)，将其代入到反比例函数的表达式 中，求出E的值为3，则k=6，可得反比例函数解析式为 。点C(3，2);B(6，1)。利用待定系数法求出BC的解析式。
(3)根据平行四边形的性质，平行四边形两条对角线互相平分，即GC的中点Q就是对角线的交点。易知点Q的坐标为( )，即( ， )。过Q作直线PM，与反比例函数交于P点，与x轴交于M点，过P作PHx轴于H点，过Q分别作QK、QF垂直于y轴和x轴，QK交PH于E点，根据平行四边形的性质可得QP=QM，易证△PEQ≌△QFM，设EQ=FM=t，则点P的横坐标x为 ，点P的纵坐标y= ，点M的坐标是( ，0)，由点Q( ， )，可知PE= 。由PQ=QM，由勾股定理得PE2+EQ2=QF2+FM2，整理后求出t的值，进而求出点P、M的坐标。
【答案】解：(1)作CNx轴于点N。 1分
在Rt△CNA和Rt△AOB中
∵NC=OA=2，AC=AB
Rt△CNA≌Rt△AOB 2分
则AN=BO=1，NO=NA+AO=3，且点C在第二象限，
d=-3 3分
(2)设反比例函数为 ，点C和B在该比例函数图像上，
设C(E，2)，则B(E+3，1) 4分
把点C和B的坐标分别代入 ，得k=2E;k=E+3，
2E=E+3，E=3，则k=6，反比例函数解析式为 。 5分
得点C(3，2);B(6，1)。
设直线CB的解析式为y=ax+b，把C、B两点坐标代入得 6分
解之 得： ;
直线CB的解析式为 。 7分
(3)设Q是G C的中点，由G(0，3)，C(3，2)，得点Q的横坐标为 ，点Q的纵坐标为2+ = ，
Q( ， ) 8分
过点Q作直线l与x轴交于M点，与 的图象交于P点，
若四边形PG M C是平行四边形，则有PQ=Q M，易知点M的横坐标大于 ，点P的横坐标小于
作PHx轴于点H，QK y轴于点K，PH与QK交于点E，
作QFx轴于点F，则△PEQ≌△QFM 9分
设EQ=FM=t，则点P的横坐标x为 ，点P的纵坐标y为 ，
点M的坐标是( ，0)
PE= 。 10分21世纪教育网
由PQ=QM，得PE2+EQ2=QF2+FM2，
整理得： ，解得 (经检验，它是分式方程的解) 11分
。
得P( ，5)，M( ，0)，则点P为所求的点P，点M为所求的点M。 12分
【点评】本题作为压轴题，难度比较大，但是第一问思路比较清晰，△ABC与坐标轴构成的图形比较常见，通过三角形全等，可以求出点C的坐标，为后面大题搭了一个台阶。第二问求两种函数的解析式，上了一个台阶，B、C的坐标中有字母t，学生不易处理，增加了点难度，顺着做也可以。待定系数法是初中阶段求函数解析式的重要方法，学生必须掌握。第三问的难度陡然提了上来，也是考查学生能力所在，先提出假设，然后求解。整理来说，本题中共作了5条辅助线，学生不易考虑到，难度偏大。
21.(2016贵州六盘水，21，12分)假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票，图9是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：
(1)若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 ▲ 张，补全统计图9
(2)若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么余老师抽到去B地的概率是多少?
(3)若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定，其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘被分成三等份且标有数字7、8、9，如图10 所示.具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师(指针指在线上重转).试用列表法或树状图的方法分析这个规定对双方是否公平.
专项七 代数综合型问题(41)
8(2016山东省荷泽市，8，3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是 ( )
【解析】由二次函数的图象开口方向可知,a0,由抛物线过原点可知c=0,由抛物线的对称是y轴的左侧可知b0,所以一次函数y=bx+c是经过原点且过二四象限的一条直线，反比例函数 在二四象限内，故选C。
【答案】C
【点评】根据二次函数的图象与各项系数的关系，确定各字母的取值，然后根据一次函数、反比例函数的性质确定所经过的象限.
16.(2016重庆，16，4分)甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌.规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4一k)张，乙每次取6张或(6一k张(k是常数，0
解析：由0
答案：解：设甲取4张牌的次数为m,乙取 6张牌的次数为n,牌的总数为w,①当k=1时，可列方程4m+3(15-m)=6n+5(17-n),解得m=n+40,因为n1所以m41,这与题意不符(甲只取了15次)，②当k=2时，可列方程4m+2(15-m)=6n+4(17-n),解得m=n+19,所以m20,这与题意不符，③当k=3时，可列方程4m+(15-m)=6n+3(17-n),解得m=n+12,w=4m+(15-m)+ 6n+3(17-n)=6n+102,(117),所以当n=1时函数有最小值，最小值为108
21、(2016重庆，21，10分)先化简，再求值： ，其中 是不等式组 的整数解。
解析：本题可由不等式组求出x的值，然后化简分式后再代人求值。
25.(2016湖北黄石，25，10分)已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3a(b0)，若抛物线C1经过点(0，-3)，方程ax2+bx-3a=0的两根为x1，x2，且|x1-x2|=4.
⑴求抛物线C1的顶点坐标.
⑵已知实数x0，请证明x+ 2，并说明x为何值时才会有x+ =2.
⑶若将抛物线C1先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m，y1)，B(n，y2)是C2上的两个不同点，且满足：AOB=90，m0，n0.请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S最小值及S取最小值时直线OA的函数解析式.
(参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P、Q两点间的距离为 )
【解析】问题(1)中先将点(0，-3)的坐标代入抛物线C1的方程中，得到a的值;再利用根系关系得到b的值;最后将抛物线C1的方程利用配方法求出其顶点坐标.
问题(2)中主要是利用代数式变形、非负数性质证明不等式.
问题(3)中，首先利用平移的已知条件，写出抛物线C2的方程;在Rt△AOB中，依勾股定理，列出含m、 n的等式并作整理化简;后表示出△AOB的面积S，并对面积S最值情况作探究，接着不难求得直线OA的函数解析式.
【答案】(1)∵抛物线过(0，-3)点，-3a=-3
a=1 1分
y=x2+bx-3
∵x2+bx-3=0的两根为x1，x2且 =4
=4且b0
b=-2 1分
y=x2-2x-3=(x-1)2-4
抛物线C1的顶点坐标为(1，-4) 1分
(2)∵x0，
显然当x=1时，才有 2分
(3)由平移知识易得C2的解析式为：y=x21分
A(m，m2)，B(n，n2)
∵AOB为Rt
OA2+OB2=AB2
m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2
化简得：m n=-11分
∵ = =
∵m n=-1
=
=
的最小值为，1，此时m=1，A(1，1) 2分
直线OA的一次函数解析式为y=x. 1分
【点评】问题(1)为常见类型，难度不大.问题(2)中主要是利用代数式变形、非负数性质证明不等式，前面未作任何铺垫，难度较大.问题(3)综合了平移、勾股定理、代数式变形等，关键要读懂题意，特别是要巧妙的现学现用问题(2)的结论，以及拓展应用两点间的距离公式，这些更是增加了难度.
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