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最近三年中考数学直角三角形与勾股定理真题整理汇集
一.选择题
1.(2016广州)在Rt△ABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是()
A. B. C.D.
考点： 勾股定理;点到直线的距离;三角形的面积。
专题： 计算题。
分析： 根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离.
解答： 解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB= =15，
过C作CDAB，交AB于点D，
又S△ABC=ACBC=ABCD，
2.(2016毕节)如图.在Rt△ABC中，A=30，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是( )
A.2 B.2 C.4 D. 4
解析：求出ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出ACD、DCB，
求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可.
解答：解：∵A=30，B=90，ACB=180-30-90=60，
∵DE垂直平分斜边AC，AD=CD，ACD=30，DCB=60-30=30，
∵BD=1，CD=2=AD，AB=1+2=3，
在△BCD中，由勾股定理得：CB= ，在△ABC中，由勾股定理得：AC= = ，故选A.
3.(2016湖州)如图，在Rt△ABC中，ACB=900，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是( )
A.20 B.10 C.5 D.
【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CD= AB= 10=5.
【答案】选：C.
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，属于基础题。
4.(2016安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )
A.10 B. C. 10或 D.10或
解析：考虑两种情况.要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.
5. (2016荆门)下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()
A. B. C. D.
解析：根据勾股定理，AB= =2 ，
BC= = ，
AC= = ，
所以△ABC的三边之比为 ：2 ： =1：2： ，
A、三角形的三边分别为2， = ， =3 ，三边之比为2： ：3 = ： ：3，故本选项错误;
B、三角形的三边分别为2，4， =2 ，三边之比为2：4：2 =1：2： ，故本选项正确;
C、三角形的三边分别为2，3， = ，三边之比为2：3： ，故本选项错误;
D、三角形的三边分别为 = ， = ，4，三边之比为 ： ：4，故本选项错误.
故选B.
6. ( 2016巴中)如图3，已知AD是△ABC的
BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A.AB=AC B.BAC=900
C.BD=AC D.B=450
【解析】由条件A,与直角三角形全等的判定斜边、直角边
可判定△ABD≌△ACD，其它条件均不能使
△ABD≌△ACD，故选A
【答案】A
【点评】本题考查直角三角形全等的判定斜边、直角边应用.
二.填空题
7.( 2016巴中)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系c2-a2-b2 +|a-b|=0,则△ABC的形状为______
【解析】由关系c2-a2-b2 +|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2= c2，且a-b=0即a=b,△ABCJ是等腰直角三角形. 应填等腰直角三角形.
【答案】等腰直角三角形
【点评】本题考查非负数的一个性质: 两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.及勾股定理逆定理的应用.
8(2016泸州)如图，在△ABC中，C=90，A=30，若AB=6cm，则BC= .
解析：在直角三角形中，根据30所对的直角边等于斜边
要注意前提条件是直角三角形.
9.(2016青岛)如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
【解析】将圆柱展开，AB= .
【答案】15
【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据两点之间线段最短得出结果.化曲面为平面，利用勾股定理解决.要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.
10.(2016河北)如图7， 相交于点 ， 于点 ，若 ，则 等于 .
对顶角相等，直角三角形两锐角互余
观察图形得知 与 是对顶角， ，又在 中，两锐角互余，
11.(2016南州)如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为( )
A、(2，0) B、( ) C、( ) D、( )
12.(2016临沂)在Rt△ABC中，ACB=90，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EFAC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm.
考点：直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质。
解答：解：∵ACB=90，
ECF+BCD=90，
∵CDAB，
BCD+B=90，
ECF=B，
在△ABC和△FEC中， ，
△ABC≌△FEC(ASA)，
AC=EF，
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，
AE=5﹣2=3cm.
故答案为：3.
13.(2016陕西)如图，从点 发出的一束光，经 轴反射，过点 ，则这束光从点 到点 所经过路径的长为 .
【解析】设这一束光与 轴交与点 ，作点 关于 轴的对称点 ，过 作 轴
于点 .由反射的性质，知 这三点在同一条直线上.再由轴对称的性质知 .则 .
由题意得 ， ，由勾股定理，得 .所以 .
【答案】
【点评】本题从物理学角度综合考查了平面直角坐标系中点的坐标应用、
轴对称性质以及勾股定理等.难度中等
14.(2016资阳)直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 10或8 .
考点： 三角形的外接圆与外心;勾股定理。
专题： 探究型。
分析： 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①16为斜边长;②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径.
解答： 解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8;
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长= =20，
因此这个三角形的外接圆半径为10.
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.
15.(2016无锡) 如图，△ABC中，ACB=90，AB=8cm，D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于 3 cm.
考点：直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的判定与性质;平移的性质。
分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD=BD=CD=AB=4cm;然后由平移的性质推知GH∥CD;最后根据平行线截线段成比例列出比例式，即可求得GH的长度.
解答：解：∵△ABC中，ACB=90，AB=8cm，D是AB的中点，
AD=BD=CD=AB=4cm;
又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的，
GH∥CD，GD=1cm，
16.(2016黔西南州)如图6，在△ABC中，ACB=90，D是BC的中点，DEBC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为______________.
【解析】由于ACB=90，DEBC，所以AC∥DE.又CE∥AD，所以四边形ACED是平行四边形，所以DE=AC=2.
在Rt△CDE中，由勾股定理CD=CD2―DE2=23.又因为D是BC的中点，所以 BC=2CD=43.
在Rt△ABC中，由勾股定理AB=AC2+BC2=213.
因为D是BC的中点，DEBC，所以EB=EC=4，所以四边形ACEB的周长=AC+CE+BE+BA=10+213.
【答案】10+213.
【点评】本题是一个几何的综合计算题，尽管难度不大，但综合考查了平行四边形、垂直平分线的性质和判定，理清思路，找准图形中的相等线段，并不难解决.
三.解答题
17.(2016菏泽)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明三角形△ABC为直角三角形;
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由;
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明).
考点：作图相似变换;勾股定理的逆定理;相似三角形的判定。
解答：解：(1)根据勾股定理，得AB=2 ，AC= ，BC=5;
显然有AB2+AC2=BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形;
(2)△ABC和△DEF相似.
根据勾股定理，得AB=2 ，AC= ，BC=5，
DE=4 ，DF=2 ，EF=2 .
= = = ，
△ABC∽△DEF.
(3)如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5= ，P2P4= ，P4P5=2 ，
AB=2 ，AC= ，BC=5，
= = = ，
，△ABC∽△P2P4 P5.
2015年全国各地中考数学真题分类汇编
第24章 直角三角形与勾股定理
一、选择题
1. (2015山东滨州，9，3分)在△ABC中,C=90C=72,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)( )
A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5
【答案】C
2. (2015山东烟台，7,4分)如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是( )
A2m B.3m
C.6m D.9m
【答案】C
3. (2015台湾全区，29)已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走
80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺?
A. 100 B. 180 C. 220 D. 260
【答案】C
4. (2015湖北黄石，7，3分)将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为
A. 3cm B. 6cm C. 3 cm D. 6 cm
【答案】D
5. (2015贵州贵阳，7，3分)如图，△ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是
(第7题图)
(A)3.5 (B)4.2 (C)5.8 (D)7
【答案】D
6. (2015河北，9，3分)如图3，在△ABC中，C=90，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为( )
A. B.2 C.3 D.4
【答案】B
7.
8.
二、填空题
1. (2015山东德州13,4分)下列命题中，其逆命题成立的是______________.(只填写序号)
①同旁内角互补，两直线平行;
②如果两个角是直角，那么它们相等;
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等;
④如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
【答案】① ④
2. (2015浙江温州，16，5分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图(如图1).图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3.
若S1，S2，S3=10，则S2的值是 .
【答案】
3. (2015重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角A=30B=90,BC=6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= 米时,有DC=AE+BC.
【答案】：
4. (2015四川凉山州，15，4分)把命题如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 的逆命题改写成如果，那么的形式：
。
【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足 ，那么这个三角形是直角三角形
5. (2015江苏无锡，16，2分)如图，在Rt△ABC中，ACB = 90，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD = 5cm，
则EF = _________cm.
【答案】5
6. (2015广东肇庆，13，3分)在直角三角形ABC中，C = 90，BC = 12，AC = 9，则AB= ▲ .
【答案】15
7. (2015贵州安顺，16，4分)如图，在Rt△ABC中，C=90，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点，那么△ADC的面积是 .
【答案】6cm2
8. (2015山东枣庄，15，4分)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 =14cm，则阴影部分的面积是________cm2.
【答案】
9.
10.
三、解答题
1. (2015四川广安，28，10分)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.
【答案】由题意可得，花圃的周长=8+8+ =16+
2. (2015四川绵阳23，12)
王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
(1)请用a表示第三条边长;
(2)问第一条边长可以为7米吗?为什么?请说明理由，并求出a的取值范围;
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数?若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.
【答案】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-(2a+2)=28-3a
(2)不可以是7，∵第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。1325
(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形
4. (2015四川乐山25，12分)如图,在直角△ABC中, ACB=90,CDAB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.
1. 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是
证明:
2. 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是
证明
3. 如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是
(写出关系式,不必证明)
5. (2015四川乐山18，3分)如图，在直角△ABC中，C=90，CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求B的度数。
【答案】
解：∵AD平分CAD
CAD=BAD
∵DE垂直平分AB
AD=BD,BAD
CAD=BAD=B
∵在RtABC中，C=90
CAD+DAE+B=90
B=30
6. (2015山东枣庄，21，8分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段AD∥BC且使AD =BC，连接CD;
(2)线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ;
(3)△ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ;
(4)若E为BC中点，则tanCAE的值是 .
解：(1)如图; 1分
(2) ， ，5; 4分
(3)直角，10; 6分
(4) . 8分
2010年全国各地中考数学真题分类汇编
第24章 直角三角形与勾股定理
一、选择题
1.(2010 浙江台州市)如图，△ABC中，C=90，AC=3，点P是边BC上的动点，
则AP长不可能是(▲)
A.2.5 B.3 C.4 D.5
【答案】A
2.(2010山东临沂)如图， 和 都是边长为4的等边三角形，点 、 、 在同一条直线上，连接 ，则 的长为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
3.(2010 四川泸州)在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C. 钝角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
4.(2010 广西钦州市)如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6 cm、BC=8 cm，
现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为
(A)4 cm (B)5 cm (C)6 cm (D)10 cm
【答案】B
5.(2010广西南宁)图1中，每个小正方形的边长为1， 的三边 的大小关系式：
(A) (B)
(C) (D) 图1
【答案】C
6.(2010广东湛江)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6
【答案】C
二、填空题
1.(10湖南益阳)如图4，在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE= .
【答案】4
2.(2010辽宁丹东市)已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 .
【答案】
3.(2010 浙江省温州)勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中，已知ACB=90，BAC=30，AB=4.作△PQR使得R=90，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR的周长等于 .
【答案】
4.(2010四川宜宾)已知，在△ABC中，A= 45，AC= 2，AB= 3+1，则边BC的长为 .
【答案】2
5.(2010湖北鄂州)如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，BAC=3DBC，BD= ，则AB= .
【答案】12
6.(2010河南)如图，Rt△ABC中，C= , ABC= ，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点(不与点B、C重合)，且DA=DE，则AD的取值范围是 .
【答案】2≦ AD 3
7.(2010四川乐山)如图(4)，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，ACD=40,则EBC=______.
【答案】140
8.(2010四川乐山)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.图(6)是一棵由正方形和含30角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.
图(6)
请解答下列问题：
(1)S1=__________;
(2)通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn=__________.
【答案】1+38;(1+38)(34)n -1(n为整数)
9.(2010 江苏镇江)如图， ，DE过点C，且DE//AB，若 ，则
A= ，B= .
【答案】
10.(2010 广西玉林、防城港)两块完全一样的含30角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，A= ，AC=10，则此时两直角顶点C、 间的距离是 。
【答案】5
11.(2010 福建泉州南安)将一副三角板摆放成如图所示，图中 度.
【答案】120
12.(2010 广西钦州市)一个承重架的结构如图所示，如果1=155，那么2=_ ▲_.
【答案】65
13.(2010 山东淄博)如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格.只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出长度为 的线段__________条.
【答案】8
14.(2010年山西)在 D是AB的中点，CD=4cm，
则AB= cm。
【答案】8
15.(2010黑龙江绥化)Rt△ABC中，BAC=90，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD的长为 。
【答案】4或 或
三、解答题
1.(2010浙江杭州) (本小题满分10分)
如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD∽△CAE;
(2) 如果AC =BD，AD = BD，设BD = a，求BC的长.
【答案】
(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， DBA = CAE,
又∵ , △ABD∽△CAE. --- 4分
(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =2 BD ，
(第22题)
AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，
D =90,
由(1)得 E =D = 90,
∵ AE= BD , EC = AD = BD , AB = 3BD ，
在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2
= (3BD + BD )2 + ( BD)2 = BD2 = 12a2 ,
(第23题)
BC = a . --- 6分
2.(2010 湖北孝感)(本题满分10分)
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把数形关系(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他星球人进行第一次谈话的语言。
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(3分)
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以 为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理;(4分)
利用图2中的直角梯形，我们可以证明 其证明步骤如下：
= 。
又∵在直角梯形ABCD中有BC AD(填大小关系)，即 ，
(3分)
【答案】
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
3分
说明：只有文字语言，没有符号语言给2分。
≌
又
5分
整理，得 7分
10分
3.(2010 山东荷泽)(本题满分8分)如图所示，在Rt△ABC中，C=90，A=30，BD是ABC的平分线，CD=5㎝，求AB的长.
【答案】解：∵在Rt△ABC中，C=90，A=30，BD是ABC的平分线
ABD=CBD=30
AD=DB
又∵Rt△CBD中，CD=5㎝
BD=10㎝
BC= ㎝，AC=2BC= ㎝
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