初三数学试题 抛物线与三角形面积
抛物线与三角形面积
抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。
一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：
(1)、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：
S= |x1-x2|| |= | |
(2)、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为：
S= |x1-x2||c|= |c|
(3)、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。
二、 1.求内接于抛物线的三角形面积。
例1.已知抛物线的顶点C(2， )，它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，求ABC的面积。
解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3,
AB=|x2-x1|=|3-1|=2.
SABC= 2 = .
例2.已知二次函数y= x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。
解：如图1，S四边形ACBD=SABC+SABD
= | |+ |2|= .
例3.如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ABC的面积。
解：由
得点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(3，6);抛物线与y轴交点C的坐标为
(0，3)如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB= =2 ，
BC= =3 ，AC= = 。
∵ AC2+BC2=AB2，
ABC为直角三角形，并且BCA=900，
SABC= ACBC= 3 =3。
2.求抛物线的解析式
例4.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，其对称轴为直线x=-2，顶点为M，且SAMB=8，求它的解析式。
解：∵ 对称轴为直线x=-2,
- =-2, b=4,
y=x2+4x+c,
∵ SAMB= | |= | |=8，
c=0, y=x2+4x.
例5.设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若AC=20，
ACB=90，SACB=150，求二次函数的解析式。
解：如图3，∵ SACB= ACBC，
即150= 20BC， BC=15，
AB= = =25，
又∵ OCAB， SACB= ABOC
即150= 25OC， OC=12，故C点坐标为(0，12)，
AO= =16，OB=AB-AO=25-16=9，
点A为(-16，0)，点B为(9，0)，
∵ 二次函数的图像过A、B、C三点，
解得 ，
所求解析式为：y=- x2- x+12.
3.求抛物线解析式中字母系数的值。
例6.已知抛物线y=x2-mx+m-2,
(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点;
(2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4 ，求m的值。
解：
(1)=(-m)2-41(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+40,
不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点。
(2)S= |c|= |m-2|=4 .
即 (m-2)4+4(m-2)2-320=0
解得 m=6或m=-2.
例7.设O和B为抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点，O为原点，M为抛物线的顶点，当OMB为等腰直角三角形时，求k的值。
解：如图4，作MNx轴于N点，∵ OMB为等腰直角三角形， MN= OB，
即| |= ，
k1=0, k2=- .
又∵ 抛物线与x轴有两个相异交点，
=(-2)2-4(-3)k=4+12k0.
k- ，故取k=0。