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一次函数的图像和性质分析

2015-10-28 收藏

一次函数的图像和性质分析

1 基本信息

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k

即:△y/△x=k (△为任意不为零的实数),即函数图像的斜率。

2.一次函数的表达式:y=kx+b

3.性质:当k0时,y随x的增大而增大;

当k0时,y随x的增大而减小。

当b0时,该函数与y轴交于正半轴;

当b0时,该函数与y轴交于负半轴

当x=0时,b为函数在y轴上的截距。

4.一次函数定义域x∈R,值域f(x)∈R

5.一次函数在x∈R上的单调性:

若f(x)=kx+b,k0,则该函数在x∈R上单调递增。

若f(x)=kx+b,k0,则该函数在x∈r上单调递减。

2 函数性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k

即:y=kx+b(k≠0) (k不等于0,且k,b为常数)

2.当x=0时,b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).

当y=0时,该函数图像在x轴上的交点坐标为(-b/k,0)

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)

形、取、象、交、减。

4.当b=0时(即 y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数.

5.函数图像性质:当k相同,且b不相等,图像平行;

当k不同,且b相等,图像相交;

当k互为负倒数时,两直线垂直;

当k,b都相同时,两条直线重合。

3 图像性质

1.作法与图形:通过如下3个步

(1)列表

(2)描点:一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理;

(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0,0与b)

2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。

3.函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4.k,b与函数图像所在象限:

y=kx时(即b等于0,y与x成正比,此时的图像是是一条经过原点的直线)

当k0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;

当k0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。

y=kx+b(k,b为常数,k≠0)时:

当 k0, 这时此函数的图象经过一,二,三象限。

当 k0, 这时此函数的图象经过一,三,四象限。

当 k0, 这时此函数的图象经过一,二,四象限。

当 k0, 这时此函数的图象经过二,三,四象限。

当b0时,直线必通过一、三象限;

当b0时,直线必通过二、四象限。

特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。

这时,当k0时,直线只通过一、三象限,不会通过二、四象限。当k0时,直线只通过二、四象限,不会通过一、三象限。

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等.

当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1.

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