南京市2015九年级数学上学期期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（每题2分，共12分）

1．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )

A．有两个相等的实数根

B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40 °，则∠B的度数为( )

A．80°

B．60°

C．50°

D．40°

3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为( )

A．（x+1）2=6

B．（x+2）2=9

C．（x﹣1）2=6

D．（x﹣2）2=9

4．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形各边的距离相等．其中正确的个数有( )

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

5．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2010年投入2000万元，预计到2012年共投入8000万元．设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是( )

A．2000（1+x）2=8000

B．2000（1+x）+2000（1+x）2 =8000

C．2000x2=8000

D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=8000

6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=10，AP：PB=5：1，⊙O的半径是( )

A．6

B．

C．8

D．

二．填空题（每题2分，共20分）

7．一元二次方程x2=3x的解是：__________．

8．若实数a是方程x2﹣2x+1=0的一个根，则2a2﹣4a+5=__________．

9．一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2﹣x1?x2=__________．

10．小芳的衣服被一根铁钉划了一个呈直角三角形的洞，只知道该三角形有两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于__________．

11．写出一个以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程__________．

12．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是__________．

13．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是__________．

14．将半径为2cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为__________cm．

15．如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=__________．

16．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为__________s时，BP与⊙O相切．

三、解答题（共11题，共88分）

17．解方程：

（1）2x2﹣5x+2=0．

（2）2（x+3）2=x+3．

18．（1）化简：（ ）2+|1﹣ |﹣（ ）﹣1

（2）解不等式组： ．

19．计算或化简：

（1） ﹣ + ；

（2）先化简（ ﹣ ）÷ ，然后从 ，0，1，﹣1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．

20．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．

（1）请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标__________；

（2）⊙O的半径为__________（结果保留根号 ）；

（3）求 的长（结果保留π）．

21．已知方程5x2+mx﹣10=0的一根是﹣5，求方程的另一根及m的值．

22．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．

（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；

（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．

23．如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）

（1）长方体盒子的长、宽、高分别为多少？（单位：cm）

（2）若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2，求此时长方体盒子的体积．

24．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°．

（1）求作⊙O，使：圆心O在AB上，且⊙O经过点A和点C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

25．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．

（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？

（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

26．已知，如图，AB、AC是⊙O得切线，B、C是切点，过 上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC分别交于点D、E

（1）连接OD和OE，若∠A=50°，求∠DOE的度数．

（2）若AB=7，求△ADE的周长．

27．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．

例如：因为3a2≥0，所以3a2﹣1≥﹣1，即：3a2﹣1就有最小值﹣1．只有当a=0时， 才能得到这个式子的最小值﹣1．同样，因为﹣3a2≤0．所以﹣3a2+1≤1，即：﹣3a2+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1．

（1）当x=__________时，代数式﹣2（x+1）2﹣1有最__________值（填“大”或“小”值为__________．

（2）当x=__________时，代数式 2 x2+4x+1有最__________值（填“大”或“小”）值为__________．

（3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？

南京市2015九年级数学上学期期中测试卷(含答案解析)参考答案及试题解析：

一、选择题（每题2分，共12分）

1．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )

A．有两个相等的实数根

B．有两个不 相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

考点：根的判别式．

专题：计算题．

分析：先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

解答： 解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△= 0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数为( )

A．80°

B．60°

C．50°

D．40°

考点：圆周角定理．

分析：由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C=90°，又由直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．

解答： 解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠C=90°，

∵∠A=40°，

∴∠B=90°﹣∠A=50°．

故选C．

点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意直径所对的圆周角是直角定理的应用．

3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为( )

A．（x+1）2=6

B．（x+2）2=9

C．（x﹣1）2=6

D．（x﹣2）2=9

考点：解一元二次方程-配方法．

专题：方程思想．

分析：配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

解答： 解：由原方程移项，得

x2﹣2x=5，

方程的两边同时加上一 次项系数﹣2的一半的平方1，得

x2﹣2x+1=6

∴（x﹣1）2=6．

故选：C．

点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

4．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形各边的距离相等．其中正确的个数有( )

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

考点：三角形的外接圆与外心；圆的认识；圆心角、弧、弦的关系．

分析：利用圆的有关性质和三角形外接圆以及外心的性质以及圆心角、弧、弦的关系分析判断即可．

解答： 解：①直径不是弦，错误，直径是圆内最长弦；

②相等的弦所对的弧相等，必须在同圆或等圆中，故此选项错误；

③三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，正确；

④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故错误．

故其中正确的个数有1个．

故选：A．

点评：此题主要考查了圆的有关性质和三角形外接圆以及外心的性质以及圆心角、弧、弦的关系等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．

5．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2010年投入2000万元，预计到2012年共投入8000万元．设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是( )

A．2000（1+x）2=8000

B．2000（1+x）+2000（1+x）2=8000

C．2000x2=8000

D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=8000

考点：由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：增长率问题．

分析：增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2010年投入2000万元，预计2012年投入8000万元即可得出方程．

解答： 解：设教育经费的年平均增长率为x，

则2011的教育经费为：2000×（1+x）万元，

2012的教育经费为：3200×（1+x）2万元，

那么可得方程：2000×（1+x）2=8000．

故选A．

点评：本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．

6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=10，AP：PB=5：1，⊙O的半径是( )

A．6

B．

C．8

D．

考点：垂径定理；勾股定理．

分析：连接OC，根据AP：PB=5：1可设PB=x，AP=5x，故OC=OB= =3x，故OP=2x，由垂径定理可求出PC的长，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．

解答： 解：连接OC，

∵AP：PB=5：1，

∴设PB=x，AP=5x，

∴OC=OB= =3x，

∴OP=2x．

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=10，

∴PC=5．

∵PC2+OP2=OC2，即52+（2x）2=（3x）2，解得x= ，

∴OC=3x=3 ．

故选D．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

二．填空题（每题2分，共20分）

7．一元二次方程x2=3x的解是：x1=0，x2=3．

考点：解一元二次方程-因式分解法．

分析：利用因式分解法解方程．

解答： 解：（1）x2=3x，

x2﹣3 x=0，

x（x﹣3）=0，

解得：x1=0，x2=3．

故答案为：x1=0，x2=3．

点评：本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

8．若实数a是方程x2﹣2x+1=0的一个根，则2a2﹣4a+5=3．

考点：一元二次方程的解．

分析：首先由已知可得a2﹣2a+1=0，即a2﹣2a=﹣1．然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值．

解答： 解：∵实数a是方程x2﹣2x+1=0的一个根，

∴a2﹣2a+1=0，即a2﹣2a=﹣1，

∴2a2﹣4a+5=2（a2﹣2a）+5=2×（﹣1）+5=3．

故答案为3．

点评：本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意解题中的整体代入思想．

9．一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2﹣x1?x2=2．

考点：根与系数的关系．

专题：方程思想．

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣frac{b}{a}，x1?x2=c求得x1+x2和x1?x2的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．

解答： 解：∵一元二次方程x2﹣3x+1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣3，常数项c=1，

∴由韦达定理，得

x1+x2=3，x1?x2=1，

∴x1+x2﹣x1?x2=3﹣1=2．

故答案是：2．

点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题时，务必弄清楚根与系数的关系x1+x2=﹣ ，x1?x2=c中的a、b、c所表示的意义．

10．小芳的衣服被一根铁钉划了一个呈直角三角形的洞，只知道该三角形有两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于 cm或2cm．

考点：三角形的外接圆与外心；勾股定理．

专题：应用题．

分析：该圆应是三角形的外接圆，则其直径应是直角三角形的斜边．当2是斜边时，则直径即是2；当2是直角边时，则斜边是 ，即直径是 ．

解答： 解：当2是斜边时，则直径即是2；

当2是直角边时，则斜边是 ，即直径是 ．

所以这个圆布的直径最小应等于 cm或2cm．

点评：首先能够把实际问题转化为数学问题，注意由于没有具体指明斜边，应分情况讨论．

11．写出一个以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程x2﹣4x﹣21=0．

考点：根与系数的关系．

专题：计算题．

分析：先计算﹣3与7的和与积，然后根据根与系数的关系求 出满足条件的一元二次方程．

解答： 解：∵﹣3+7=4，﹣3×7=﹣21，

∴以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程为x2﹣4x﹣21=0．

故答案为x2﹣4x﹣21=0．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．

12．若关于x的一元二次方程kx 2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．

考点：根的判别式．

专题：计算题．

分析：根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．

解答： 解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，

∴△=b2﹣4ac≥0，

即：4﹣4k≥0，

解得：k≤1，

∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，

故答案为：k≤1且k≠0．

点评：本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．

13．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是105°．

考点：圆内接四边形的性质．

分析：先根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，再由两角互补的性质即可得出结论．

解 答： 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠DAB+∠DCB=180°，

∵∠BAD=105°，

∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，

∵∠DCB+∠DCE=180°，

∴∠DCE=∠DAB=105°．

故答案为：105°

点评：本题考查的是圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补．

14．将半径为2cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 cm．

考点：圆锥的计算．

分析：利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．

解答： 解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得

2πr= ，

解得r= cm．

故答案为： ．

点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．

15．如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=5．

考点：垂径定理；三角形中位线定理．

专题：压轴题；动点型．

分析：根据垂径定理和三角形中位线定理求解．

解答： 解：点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），但不管点P如何动，因为OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，根据垂径定理，E为AP中点，F为PB中点，EF为△APB中位线．根据三角形中位线定理，EF= AB= ×10=5．

点评：此题是一道动点问题．解答此类问题的关键是找到题目中的不变量．

16．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为1或5s时，BP与⊙O相切．

考点：切线的判定；切线的性质；弧长的计算．

专题：压轴题；动点型．

分析：根据切线的判定与性质进行分析即可．若 B P与⊙O相切，则∠OPB=90°，又因为OB=2OP，可得∠B=30°，则∠BOP=60°；根据弧长公式求得 长，除以速度，即可求得时间．

解答： 解：连接OP；

∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，

∵AB=OA，OA=OP，

∴OB=2OP，∠OPB=90°；

∴∠B=30°；

∴∠O=60°；

∵OA=3cm，

∴ = =π，圆的周长为：6π，

∴点P运动的距离为π或6π﹣π=5π；

∴当t=1或5时，有BP与⊙O相切．

点评：本题考查了切线的判定与性质及弧长公式的运用．

三、解答题（共11题，共88分）

17．解方程：

（1）2x2﹣5x+2=0．

（2）2（x+3）2=x+3．

考点：解一元二次方程-因式分解法．

分析：（1）利用因式分解法求得方程的解即可；

（2）移项，利用提取公因式法分解因式解方程即可．

解答： 解：（1）2x2﹣5x+2=0

（2x﹣1）（x﹣2）=0

x﹣2=0，2x﹣1=0，

解得x1=2，x2= ；

（2）2（x+3）2=x+3

2（x+3）2﹣（x+3）=0

（x+3）（2x+6﹣1）=0

x+3=0，2x+5=0，

解得x1=﹣3；x2=﹣ ．

点评：此题考查用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．

18．（1）化简：（ ）2+|1﹣ |﹣（ ）﹣1

（2）解不等式组： ．

考点：实数的运算；负整数指数幂；解一元一次不等式组．

专题：计算题．

分析：（1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．

解答： 解：（1）原式=3+ ﹣1﹣2= …

（2） ，

由①得：x≤3；由②得：x＞1，

则不等式组的解集为1＜x≤3．

点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．计算或化简：

（1） ﹣ + ；

（2）先化简（ ﹣ ）÷ ，然后从 ，0，1，﹣1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．

考点：分式的化简求值；二次根式的加减法．

专题：计算题．

分析：（1）原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x= 代入计算即可得到结果．

解答： 解：（1）原式=3 ﹣2 +3 = +3 ；

（2）原式= ? = ，

当x= 时，原式= =2 ．

点评：此题考查了分式的化简求值，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．

（1）请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标（2，﹣1）；

（2）⊙O的半径为2 （结果保留根号）；

（3）求 的长（结果保留π）．

考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；弧长的计算．

专题：计算题．

分析：（1）连接AB，BC，分别作出这两条弦的垂直平分线，两垂直平分线交于点D，即为所求圆心，由图形即可得到D的坐标；

（2）由FD=CG，AF=DG，且夹角为直角相等，利用SAS可得出三角形ADF与三角形DCG全等，由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由同角的余角相等得到∠ADC为直角，利用弧长公式即可求出 的长．

解答： 解：（1）连接AB，BC，分别作出AB与BC的垂直平分线，交于点D，即为圆心，由图形可得出D（2，﹣1）；

（2）在Rt△AED中，AE=2，ED=4，

根据勾股定理得：AD= =2 ；

（3）∵DF=CG=2，∠AFD=∠DGC=90°，AF=DG=4，

∴△AFD≌△D GC（SAS），

∴∠ADF=∠DCG，

∵∠DCG+∠CDG=90°，

∴∠ADF+∠CDG=90°，即∠ADC=90°，

则 的长l= = π．

故答案为：（1）（2，﹣1）；（2）2

点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及弧长公式，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．

21．已知方程5x2+mx﹣10=0的一根是﹣5，求方程的另一根及m的值．

考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．

分析：设方程的另一个根为t，先利用两根之积为﹣2求出t，然后利用两根之和为﹣ 可计算出m的值．

解答： 解：设方程的另一个根为t，

根据题意得﹣5+t=﹣ ，﹣5t=﹣2，

解得t= ，

则m=﹣25+5t=﹣23，

即m的值为﹣23，方程的另一根为 ．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．也考查了一元二次方程解的定义．

22．如图所示， AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．

（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；

（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．

考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．

分析：（1）根据垂径定理，得到 = ，再根据圆周角与圆心角的关系，得知∠E= ∠O，据此即可求出∠DEB的度数；

（2）由垂径定理可知，AB=2AC，在Rt△AOC中，OC=3，OA=5，由勾股定理求AC即可．

解答： 解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，

∴ = ，∴ ∠DEB= ∠AOD= ×52°=26°；

（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，

∴AC=BC，即AB=2AC，

在Rt△AOC中，AC= = =4，

则AB=2AC=8．

点评：本题考查了垂径定理，勾股定理及圆周角定理．关键是由垂径定理得出相等的弧，相等的线段，由垂直关系得出直角三角形，运用勾股定理．

23．如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）

（1）长方体盒子的长、宽、高分别为多少？（单位：cm）

（2）若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2，求此时长方体盒子的体积．

考点：一元二次方程的应用．

专题：几何图形问题．

分析：（1）根据所给出的图形可直接得出长方体盒子的长、宽、高；

（2）根据图示，可得2（ x2+20x）=30×40﹣950，求出x的 值，再根据长方体的体积公式列出算式，即可求出答案．

解答： 解：（1）长方体盒子的长是：（30﹣2x）cm；

长方体盒子的宽是（40﹣2x）÷2=20﹣x（cm）

长方体盒子的高是xcm；

（2）根据图示，可得2（x2+20x）=30×40﹣950，

解得x1=5，x2=﹣25（不合题意，舍去），

长方体盒子的体积V=（30﹣2×5）×5×=20×5×15=1500（cm3）．

答：此时长方体盒子的体积为1500cm3．

点评：此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方体的表面积和体积公式，关键是根据图形找出等量关系列出方程，要注意把不合题意的解舍去．

24．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°．

（1）求作⊙O，使：圆心O在AB上，且⊙O经过点A和点C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）判断BC与⊙O的位置关系， 并说明理由．

考 点：作图—复杂作图；直线与圆的位置关系．

专题：作图题．

分析：（1）作AC的垂直平分线交AB于点O，再以OA为圆心作⊙O即可；

（2）连结OC，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠A=∠B=30°，则∠OCA=∠A=30°，于是可 得到∠OCB=∠ACB﹣∠OCA=90°，然后根据切线的判定定理可判断BC与⊙O相切．

解答： 解：（1）如图，⊙O为所求作；

（2）BC与⊙O相切．理由如下：

连接BC，如图，

∵AC=BC，∠ACB=120°

∴∠A=∠B=30°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠OCB=∠ACB﹣∠OCA=120°﹣30°=90°，

∴OC⊥BC，

∵OC是半径

∴BC与⊙O相切．

点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线与圆的位置关系．

25．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．

（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？

（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

考点：一元 二次方程的应用．

专题：销售问题．

分析：（1）先求出每件的利润．在乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．

解答： 解：（1）由题意，得60（360﹣280）=4800元．答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）=7200，解得：x1=8，x2=60∵有利于减少库存，

∴x=60．

答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．

点评：本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，列一元 二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．

26．已知，如图，AB、AC是⊙O得切线，B、C是切点，过 上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC分别交于点D、E

（1）连接OD和OE，若∠A=50°，求∠DOE的度数．

（2）若AB=7，求△ADE的周长．

考点：切线的判定与性质；切线长定理．

分析：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，根据切线的性质和切线长定理得到OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，于是求得∠OBA=∠OCA=90°，由于∠A=50°，求出∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，根据OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，得到OD平分∠BOP，同理得OE平分∠POC，即可得到结论；

（2）根据切线长定理得到DB=DP，EP=EC，AB=AC，由等量代换即可得到结果．

解答： 解：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，

∵AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，

∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，

∴∠OBA=∠OCA=90 °，

∵∠A=50°，

∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50° =130°，

∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，

∴OD平分∠BOP，

同理得：OE平分∠POC，

∴∠DOE=∠DOP+∠EOP= （∠ BOP+∠POC）= ∠BOC=65°，

（2）∵DB=DP，EP=EC，AB=AC，

∴△ADE的周长=AD+DE+AE

=AD+DP+EP+AE

=AD+BD+AE+EC

=AB+AC

=2AB=14．

点评：本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．

27．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．

例如：因为3a2≥0，所以3a2﹣1≥﹣1，即：3a2﹣1就有最小值﹣1．只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值﹣1．同样，因为﹣3a2≤0．所以﹣3a2+1≤1，即：﹣3a2+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1．

（1）当x=﹣1时，代数式﹣2（x+1）2﹣1有最大值（填“大”或“小”值为﹣1．

（2）当x=﹣1时，代数式 2x2+4x+1有最小值（填“大”或“小”）值为﹣1．

（3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？

考点：配方法的应用．

专题：几何图形问题．

分析：（1）类比例子得出答案即可；

（2）根据题意利用配方法配成（1）中的类型，进一步确定最值即可；

（3）根据题意利用长方形的面积列出式子，利用（1）（2）的方法解决问题．

解答： 解：（1）因为（x+1）2≥0，

所以﹣2（x+1）2≤0，即﹣2（x+1）2﹣1就有最大值﹣1．

只有当x=﹣1时，才能得到这个式子的最大值﹣1．

故答案是：﹣1，大，﹣1；

（2）2x2+4x+1=2（x+1）2+1，

所以当x=﹣1

时，代数式 2x2+4x+1有最小值为﹣1．

故答案是：﹣1，小，﹣1；

（3）设AD=x，

S=x（16﹣2x）=﹣2（x﹣4）2+32，

当AD=4m时，面积最大值为32m2．

点评：此题考查配方法的运用，理解题意，类比给出的方法得出答案即可，渗透二次函数的最值．