江苏省南通市2015初三数学上册数学期中试卷(含答案解析)

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1．抛物线y=2（x+1）2﹣3的顶点坐标是( )

A．（1，3）

B．（﹣1，3）

C．（1，﹣3）

D．（﹣1，﹣3）

2．已知函数 ，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( )

A．x＜1

B．x＞1

C．x＞﹣2

D．﹣2＜x＜4

3．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )

A．y=（x﹣1）2+2

B．y=（x+1）2+2

C．y=（x﹣1）2﹣2

D．y=（x+1）2﹣2

4．若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )

A．y1＞y2＞y3

B．y2＞y1＞y3

C．y3＞y2＞y1

D．y3＞y1＞y2

5．抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为( )

A．0个

B．1个

C．2个

D．以上都不对

6．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是( )

A．

B．

C．

D．

7．已知函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是( )

A．﹣1≤x≤3

B．﹣3≤x≤1

C．x≥﹣3

D．x≤﹣1或x≥3

8．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是( )

A．无实数根

B．有两个相等实数根

C．有两个异号实数根

D．有两个同号不等实数根

9．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶（即抛物线的顶点）离水面2m，水面宽为4m，水面下降1m后，水面宽为( )

A．5m

B．6m

C．m

D．2m

10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：

①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．

其中正确的结论有( )

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

二、填空题（本题共10小题，每题4分，共4 0分）

11．二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：

二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=__________，x=﹣1对应的函数值y=__________．

12．将二次函数y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣h）2+k的形式，则__________．

13．抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线__________．

14．若二次函数y=（m+1）x2+m2﹣9的图象经过原点且有最大值，则m=__________．

15．抛物线y=x2+6x+m与x轴只有一个公 共点，则m的值为__________．

16．若抛物线y=bx2﹣x+3的对称轴为直线x=﹣1，则b的值为__________．

17．若二次函数y=ax2﹣4x+a的最小值是﹣3，则a=__________．

18．二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象在x轴上截得的线段长为__________．

19．如图，一拱桥呈抛物线状，桥的最大高度是32m，跨度是80m，在线段AB上距离中心M20m的D处，桥的高度是__________m．

20．二次函数y=x2+b x的图象如图，对称轴为x=﹣2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣5＜x＜2的范围内有解，则t的取值范围是__________．

三、解答题（本题共7小题，共80分）

21．已知二次函数y=﹣x2+4x+5．

（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k（其中a、h、k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；

（2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．

22．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．

（1）求m的值和抛物线的解析式；

（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）

23．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．

24．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．

（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中；

（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

25．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为15米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成花圃的面积为36平方米，求AB的长为多少米？

（3）如果要使围成花圃面积最大，求AB的长为多少米？

26．（14分）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家 负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．

（1）当 每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y与x的函数关系式（ 不要求写出x的取值范围）；

（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

27．（14分）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

江苏省南通市2015初三数学上册数学期中试卷(含答案解析)参考答案及试题解析：

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1．抛物线y=2（x+1）2﹣3的顶点坐标是( )

A．（1，3）

B．（﹣1，3）

C．（1，﹣3）

D．（﹣1，﹣3）

考点：二次函数的性质．

分析：已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．

解答： 解：∵y=2（x+1）2﹣3是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3） ，故选D．

点评：考查求二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标、对称轴．

2．已知函数 ，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( )

A．x＜1

B．x＞1

C．x＞﹣2

D．﹣2＜x＜4

考点：二次函数的性质．

分析：函数 ，由于a= ＞0，开口向上，则先求出其对称轴，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大．

解答： 解：函数y= x2﹣x﹣4，对称轴x=1，又其开口向上，

则当x＞1时，函数y= x2﹣x﹣4随x的增大而增大，

当x＜1时，函数y= x2﹣x﹣4随x的增大而减小．

故选：A．

点评：本题考查了二次函数的性质，重点是对称轴两侧函数的单调增减问题．

3．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )

A．y=（x﹣1）2+2

B．y=（x+1）2+2

C．y=（x﹣1）2﹣2

D．y=（x+1）2﹣2

考点：二次函数图象与 几何变换．

分析：根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．

解答： 解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2，

故选：A．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解 题关键．

4．若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )

A．y1＞y2＞y3

B．y2＞y1＞y3

C．y3＞y2＞y1

D．y3＞y1＞y2

考点：二次函数图象上点的坐标特征．

分析：先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=3，然后比较三个点都直线x=3的远近得到y1、y2、y3的大小关系．

解答： 解：∵二次函数的解析式为y=﹣x2+6x+c，

∴抛物线的对称轴为直线x=3，

∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3），

∴点A离直线x=3最远，点C离直线x=3最近，

而抛物线开口向下，

∴y3＞y2＞y1；

故选C．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

5．抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为( )

A．0个

B．1个

C．2个

D．以上都不对

考点：抛物线与x轴的交点．

分析：让函数值为0，得到一元二 次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．

解答： 解：当与x轴相交时，函数值为0．

0=﹣x2+2kx+2，

△=b2﹣4ac=4k2+8＞0，

∴方程有2个不相等的实数根，

∴抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为2个，

故选C．

点评：用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；抛物线与x轴的交点个数与函数值为0的一元二次方程的解的个数相同．

6．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是( )

A．

B．

C．

D．

考点：二次函数的图 象；一次函数的图象．

分析：根据抛物线开口向下确定出a＜0，再根据对称轴确定出b，然后根据一次函数的性质确定出函数图象即可得解．

解答： 解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ ＞0，

∴b＞0，

∴函数y=ax+b的图象经过第二四象限且与y轴正半轴相交，

故选B．

点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，根据抛物线的开口方向与对称轴确定出a、b的正负情况是解题的关键．

7．已知函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是( )

A．﹣1≤x≤3

B．﹣3≤x≤1

C．x≥﹣3

D．x≤﹣1或x≥3

考点：二次函数的图象．

分析：认真观察图中虚线表示的含义，判断要使y≥1成立的x的取值范围．

解答： 解：由图可知，抛物线上纵坐标为1的两点坐标为（﹣1，1），（3，1），

观察图象可知，当y≥1时，x≤﹣1或x≥3．

故选：D．

点评：此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．

8．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是( )

A．无实数根

B．有两个相等实数根

C．有两个异号实数根

D．有两个同号不等实数根

考点：抛物线与x轴的交点．

专题：压轴题．

分析：根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为﹣3，判断方程ax2+bx+c+2=0的根的情况即是判断y=﹣2时x的值．

解答： 解：∵y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是﹣3，

∵方程ax2+bx+c+2=0，

∴ax2+bx+c=﹣2时，即是y=﹣2求x的值，

由图象可知：有两个同号不等实数根．

故选D．

点评：考查方程ax2+bx+c+2=0的根的情况，先看函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到答案．

9．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶（即抛物线的顶点）离水面2m，水 面宽为4m，水面下降1m后，水面宽为( )

A．5m

B．6m

C．m

D．2m

考点：二次函数的应用．

分析：以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为y=ax2将A点代入抛物线方程求得a，得到抛物线解析式，再把y=﹣3代入抛物线解析式求得x0，进而得到答案．

解答： 解：如图，以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，

设抛物线方程为y=ax2，

将A（﹣2，﹣2）代入y=ax2，

解得：a=﹣ ，

∴y=﹣ x2，

代入D（x0，﹣3）得x0= ，

∴水面宽CD为2 ≈5，

故选A．

点评：本题主要考查二次函数的应用．建立平面直角坐标系求出函数表达式是解决问题的 关键，考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力．

10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：

①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．

其中正确的结论有( )

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

考点：二次函数图象与系数的关系．

专题：代数几何综合题；压轴题；数形结合．

分析：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随 x的增大而减小．

解答： 解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2，

∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；

∵当x=﹣3时，y＜0，

∴9a﹣3b+c＜0，

即9a+c＜3b，（故②错误）；

∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，

而b=﹣4a，

∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，

∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；

∵对称轴为直线x=2，

∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，

当x＞2时，y 随x的增大而减小，（故④错误）．

故选：B．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项 系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

二、填空题（本题共10小题，每题4分，共40分）

11．二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：

二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=2，x=﹣1对应的函数值y=﹣22．

考点：二次函数的性质．

分析：由表格的数据可以看出，x=1和x=3时y的值相同都是﹣6，所以可以判断出点（1，﹣6）和点（3，﹣6）关于二次函数的对称轴对称，利用公式：x= 可求出对称轴；利用表格中数据反映出来的对称性，结合对称轴x=2，可判断出x=﹣1时关于直线x=2对称的点为x=5，故可求出y=﹣22．

解答： 解：∵x=1和x=3时y的值相同都是﹣6，

∴对称轴x= =2；

∵x=﹣1的点关于对称轴x=2对称的点为x=5，

∴y=﹣22．

故答案为：2，﹣22．

点评：此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性，会利用表格中的数据规律找到对称点，确定对称轴，再利用对称轴求得对称点．

12．将二次函数y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣h）2+k的形式，则y=（x﹣1）2﹣4．

考点：二次函数的三种形式．

分析：利用配方法整理即可得解．

解答： 解：y=x2﹣2x ﹣3

=（x2﹣2x+1）﹣3﹣1

=（x﹣1）2﹣4，

即y=（x﹣1）2﹣4．

故答案为：y=（x﹣1）2﹣4．

点评：本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键．

13．抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线x=1．

考点：二次函数的性质．

分析：先把抛物线的方程变为y=ax2﹣2ax﹣3a，由公式x= 得抛物线的对称轴为x=1．

解答： 解：y=a（x+1）（x﹣3）

=ax2﹣2ax﹣3a

由公式 得，

抛物线的对称轴为x=1．

点评：本题考查抛物线的对称轴的求法，同学们要熟练记忆抛物线的对称轴公式x= ．

14．若二次函数y=（m+1）x2+m2﹣9的图象经过原点且有最大值，则m=﹣3．

考点：二次函数的最值．

分析：此题可以将原点坐标（0，0）代入y=（m+1）x2+m2﹣9，求得m的值，然后根据有最大值确定m的值即可．

解答： 解：由于二次函数y=（m+1）x2+m2﹣9的图象经过原点，

代入（0，0）得：m2﹣9=0，

解得：m=3或m=﹣3；

又∵有最大值，

∴m+1＜0，

∴m=﹣3．

故答案为：﹣3；

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解，较为简单．

15．抛物线y=x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为9．

考点：抛物线与x轴的交点．

专题：计算题．

分析：利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=62﹣4m=0，然后解关于m的一次方程即可．

解答： 解：根据题意得 △=62﹣4m=0，解得m=9．

故答案为9．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．

16．若抛物线y=bx2﹣x+3的对称轴为直线x=﹣1，则b的值为﹣ ．

考点：二次函数的性质．

分析：利用二次函数的对称轴计算方法x=﹣ ，求得答案即可．

解答： 解：∵抛物线y=bx2﹣x+3的对称轴为直线x=﹣1，

∴x=﹣ =﹣1，

解得b=﹣ ．

故答案为：﹣ ．

点评：此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标公式是解决问题的关键．

17．若二次函数y=ax2﹣4x+a的最小值是﹣3，则a=1．

考点：二次函数的最值．

分析：根据题意：二次函数y=ax2﹣4x+a的最小值是﹣3，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y最小值= 列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可．

解答： 解：∵二次函数y=ax2﹣4x+a有最小值﹣3，

∴a＞0，

y最小值= =﹣3，

整理，得a2+3a﹣4=0，

解得a=﹣4或1，

∵a＞0，

∴a=1．

故答案为：1；

点评：本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．

18．二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象在x轴上截得的线段长为2 ．

考点：抛物线与x轴的交点．

专题：计算题．

分析：通过解方程x2﹣2x﹣1=0可得到抛物线与x轴的两交点坐标，然后计算两交点间的距离即可．

解答： 解：当y=0时，x2﹣2x﹣1=0，

x2﹣2x+1=2，

（x﹣1）2=2，

解得x1=1+ ，x2=1﹣ ，

所以抛物线与x轴的两交点坐标为（1﹣ ，0），（1+ ，0），

所以抛物线在x轴上截得的线段长=1+ ﹣（1﹣ ）=2 ．

故答案为 ．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程．

19．如图，一拱桥呈抛物线状，桥的最大高度是32m，跨度是80m，在线段AB上距离中心M20m的D处，桥的高度是24m．

考点：二次函数的应用．

分析：根据题意假设解析式为y=ax2+bx+c，用待定系数法求出解析式．然后把自变量的值代入求解对应函数值即可．

解答： 解：设抛物线的方程为y=ax2+bx+c

已知抛物线经过（0，32），（﹣40，0），（40，0），

可得 ，

可得a=﹣ ，b=0，c=32，

故解析式为y=﹣ x2+32，

当x=20时，y=24．

故答案为：24．

点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

20．二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为x=﹣2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣5＜x＜2的范围内有解，则t的取值范围是﹣4≤t＜12．

考点：抛物线与x轴的交点．

专题：计算题．

分析：先利用对称轴方程求出b得到抛物线解析式为y=x2+4x，再配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），接着根据二次函数的性质，运用函数图象求出当﹣5＜x＜2时，对应的函数值的范围为﹣4≤y＜12，由于关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣5＜x＜2的范围内有解，则抛物线y=x2+bx与直线y=t有交点，然后借助图象可得到﹣4≤t＜12．

解答： 解：∵﹣ =﹣2，解得b=4，

∴抛物线解析式为y=x2+4x，即y=（x+2）2﹣4，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），

当x=2时，y=x2+4x=12，

∴当﹣5＜x＜2，﹣4≤y＜12，

∵一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）的解可看作抛物线y=x2+bx与直线y=b的交点的横坐标，

∴关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣5＜x＜2的范围内有解时，抛物线y=x2+bx与直线y=t有交点，如图，

∴﹣4≤t＜12．

故答案为﹣4≤t＜12．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数与一次函数图象的交点问题．运用数形结合的思想是解决本题的关键．

三、解答题（本题共7小题，共80分）

21．已知二次函数y=﹣x2+4x+5．

（1）用配 方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k（其中a、h、k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；

（2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．

考点：二次函数的三种形式．

分析：（1）先配方，得到二次函数的顶点坐标式，即可直接写出其对称轴和顶点坐标；

（2）令y=0，求出x的值，即可确定函数图象与x轴的交点坐标；令x=0，求出y的值，即可确定函数图象与y轴的交点坐标．

解答： 解：（1）y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，

对称轴为：x=2，顶点坐标：（2，9）；

（2）令y=0，得﹣x2+4x+5=0，

解得x1=﹣1，x2=5，

所以图象与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）与（5，0）；

令x=0，得y=5，

所以图象与y轴的交点坐标为：（0，5）．

点评：本题考查了二次函数解析式的三种形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；

（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；

（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

同时考查了函数图象与坐标轴的交点坐标的求 法．

22．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．

（1）求m的值和抛物线的解析式；

（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）

考点：二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．

分析：（1）分别把点A（1，0），B（3，2）代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c，利用待定系数法解得y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；

（2）根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知，x2﹣3x+2＞x﹣1的图象上x的范围是x＜1或x＞3．

解答： 解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：

0=1+m， ，

∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，

所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；

（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．

点评：主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读图的能力．

23．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．

考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．

分析：（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；

（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．

解答： 解：（1）由已知条件得 ，

解得 ，

所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；

（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），

∴AO=4，

设点P到x轴的距离为h，

则S△AOP= ×4h=8，

解得h=4，

①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，

解得x=﹣2，

所以，点P的坐标为（﹣2，4），

②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，

解得x1=﹣2+2 ，x2=﹣2﹣2 ，

所以，点P的坐标为（﹣2+2 ，﹣4）或（﹣2﹣2 ，﹣4），

综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2 ，﹣4）、（﹣2﹣2 ，﹣4）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．

24．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．

（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中；

（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

考点：二次函数的应用．

分析：已知最高点坐标（4，4），用顶点式设二次函数解析式更方便求解析式，运用求出的解析式就可以解决题目的问题了．

解答： 解：（1）根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：

A（0， ）B（4，4）C（7，3）

设二次函数解析式为y=a（x﹣h）2+k

代入A、B点坐标，得

y=﹣ （x﹣4）2+4 ①

将C点坐标代入①式得左边=右边

即C点在抛物线上

∴一定能投中；

（2）将x=1代入①得y=3

∵3.1＞3

∴盖帽能获得成功．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法，及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

25．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为15米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成花圃的面积为36平方米，求AB的长为多少米？

（3）如果要使围成花圃面积最大，求AB的长为多少米？

考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．

专题：几何图形问题．

分析：（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式；

（2）根据（1）的函数关系式，将S=36代入其中，求出x的值即可；

（3）根据二次函数的性质求出自变量取值范围内的最值．

解答： 解：（1）花圃的宽AB为x米，则BC=（24﹣3x）米，

∴S=x（24﹣3x），

即S=﹣3x 2+24x（3≤x＜8）；

（2）当S=36时，﹣3x2+24x=36，

解得x1=2，x2=6，

当x=2时，24﹣3x=18＞15，不合题意，舍去；

当x=6时，24﹣3x=6＜15，符合题意，

故AB的长为6米．

（3）S=﹣3x2+24x=﹣3（x﹣4）2+48，

∵3≤x＜8，

∴当x=4米时面积最大，最大面积为48平方米．

点评：本题考查了二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围．

26．（14分）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为 对吗？请说明理由．

考点：二次函数的应用．

专题：压轴题．

分析：本题属于市场营销问题，月利润=（每吨售价﹣每吨其它费用）×销售量，销售量与每吨售价的关系要表达清楚．再用二次函数的性质解决最大利润问题．

解答： 解：（1）由题意得：

45+ ×7.5=60（吨）．

（2）由题意：

y=（x﹣100）（45+ ×7.5），

化简得：y=﹣ x2+315x﹣24000．

（3）y=﹣ x2+315x﹣24000=﹣ （x﹣210）2+9075．

利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．

（4）我认为，小静说的不对．

理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，

而对于月销售额W=x（45+ ×7.5）=﹣ （x﹣160）2+19200来说，

当x为160元时，月销售额W最大．

∴当x为210元时，月销售额W不是最大．

∴小静说的不对．

方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；

而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，

∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．

∴小静说的不对．

（说明：如果举出其它反例，说理正确，也可以）

点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

27．（14分）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐 标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

考点：二次函数综合题．

专题：压轴题；动点型．

分析：（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：

①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．

②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．

③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；

（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．

解答： 解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），

∴

解得：

∴所求抛物线解析式为：

y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵抛物线解析式为：

y=﹣x2﹣2x+3，

∴其对称轴为x= =﹣1，

∴设P点坐标为（﹣1，a），当x=0时，y=3，

∴C（0，3），M（﹣1，0）

∴当CP=PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2=a2，解得a= ，

∴P点坐标为：P1（﹣1， ）；

∴当CM=PM时，（﹣1）2+32=a2，解得a=± ，

∴P点坐标为：P2（﹣1， ）或P3（﹣1，﹣ ）；

∴当CM=CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32=（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a=6，

∴P点坐标为：P4（﹣1，6）

综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1， ）或P（﹣1，﹣ ）

或P（﹣1，6）或P（﹣1， ）；

（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜ a＜0）

∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a

∴S四边形BOCE= BF?EF+ （OC+EF）?OF

= （a+3）?（﹣a2﹣2a+3）+ （﹣a2﹣2a+6）?（﹣a）

=

=﹣ +

∴当a=﹣ 时，S四边形BOCE最大，且最大值为 ．

此时，点E坐标为（﹣ ， ）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．