营口市2015初三年级上学期数学期中重点试卷(含答案解析)

一、选择题（每题3分共计30分）

1．下列各点中，在函数 的图象上的是（）

A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣2） D．（1，2）

2．已知点P（x1，﹣2）、Q（x2，2）、R（x3，3）三点都在反比例函数y= 的图象上，则下列关系正确的是（）

A．x1＜x3＜x2 B．x＜1x2＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x3＜x1

3．若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一坐标系数中的大致图象是（）

A． B． C． D．

4．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）

A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED

5．已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长为3、4、5，如果△DEF的周长为6，那么下列不可能是△DEF一边长的是（）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3．

6．如图，两个反比例函数y1= 和y= 在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

8．已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（）

A． B． C． D．

9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3 ），反比例函数y= 的图象与菱形对角线AO交D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）

A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12

10．如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是（）

A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c

二、填空题（每小题3分共计24分）

11．已知反比例函数y= ，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为．（写出满足条件的一个k的值即可）．

12．（3分）在比例尺为1：1 00 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离km．

13．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y= 过点A，则k的值是．

14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为m．

15．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为．

16．（2015?东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．

17．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y= 的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：t=﹣x﹣1，双曲线y= ．在l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…．记点An的横坐标为an，若a1=2，a2015=．

三、解答题（共计96分）

19．（9分）已知直线y=﹣3x与双曲线y= 交于点P （﹣1，n）．

（1）求m的值；

（2）若点A （x1，y1），B（x2，y2）在双曲线y= 上，且x1＜x2＜0，试比较y1，y2的大小．

20．（9分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6．

（1）求证：△ADE∽△ACB；

（2）求ED的长．

21．（12分）已知反比例函数 的图象经过点A（﹣2，1），一次函数y=kx+b的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．

（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求点B的坐标．

（3）求三角形OAB的面积．

22．（12分）如图，某测量工作人员与标杆顶端F．电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED．

23．（12分）甲、乙两家超市进行促销活动，甲超市采用“买100减50”的促销方式，即购买商品的总金额满100元但不足200元，少付50元；满200元但不足300元，少付100元；…．乙超市采用“打6折”的促销方式，即顾客购买商品的总金额打6折．

（1）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（100≤x＜200）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p= ），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；

（2）王强同学认为：如果顾客购买商品的总金额超过100元，实际上甲超市采用“打5折”、乙超市采用“打6折”，那么当然选择甲超市购物．请你举例反驳；

（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（300≤x＜400）元，认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．

24．（14分）如图，已知反比例函数y= （x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．

（1）写出反比例函数解析式；

（2）求证：△ACB∽△NOM；

（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．

25．（14分）如图（1），直线y=k1 x+b与反比例函数y= 的图象交于点A（1，6），B（a，3）两点．

（1）求k1、k2的值；

（2）如图（1），等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点F，当梯形OBCD的面积为12时，请判断FC和EF的大小，并说明理由；

（3）如图（2），已知点Q是CD的中点，在第（2）问的条件下，点P在x轴上，从原点O出发，沿x轴负方向运动，设四边形PCQE的面积为S1，△DEQ的面积为S2，当∠PCD=90°时，求P点坐标及S1：S2的值．

26．（14分）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．

（1）求证：△ADP∽△ABQ；

（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；

（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

营口市2015初三年级上学期数学期中重点试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分共计30分）

1．下列各点中，在函数 的图象上的是（）

A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣2） D．（1，2）

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．

分析： 反比例函数的比例系数为﹣2，找到横纵坐标的积等于﹣2的坐标即可．

解答： 解：A、2×1=2，不符合题意，

B、﹣2×1=﹣1，符合题意；

C、2×﹣2=﹣4，不符合题意；

D、1×2=2，不符合题意；

故选B．

点评： 考查反比例函数图象上的点的坐标的特点；用到的知识点为：反比例函数图象上点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．

2．已知点P（x1，﹣2）、Q（x2，2）、R（x3，3）三点都在反比例函数y= 的图象上，则下列关系正确的是（）

A．x1＜x3＜x2 B．x＜1x2＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x3＜x1

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．

专题： 计算题．

分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出x1、x3、x2的值，然后比较大小即可．

解答： 解：∵点P（x1，﹣2）、Q（x2，2）、R（x3，3）三点都在反比例函数y= 的图象上，

∴x1=﹣ ，x2= ，x3= ，

∴x1＜x3＜x2．

故选A．

点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

3．若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一坐标系数中的大致图象是（）

A． B． C． D．

考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．

专题： 压轴题．

分析： 根据ab＞0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．

解答： 解：A、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故符合题意，本选项正确；

B、根据一次函数可判断a＜0，b＜0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误；

C、根据一次函数可判断a＜0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故不符合题意，本选项错误；

D、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误；

故选A．

点评： 本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

4．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）

A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED

考点： 相似三角形的判定．

专题： 几何综合题．

分析： 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．

解答： 解：∵∠1=∠2

∴∠DAE=∠BAC

∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE

选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，

故选B．

点评： 此题考查了相似三角形的判定：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．

5．已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长为3、4、5，如果△DEF的周长为6，那么下列不可能是△DEF一边长的是（）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3．

考点： 相似三角形的性质．

分析： 由△ABC的三边长为2、3、4，即可求得△ABC的周长，然后根据相似三角形周长的比等于相似比得出两三角形的相似比，再把各选项中的值与相似比相乘即可得出结论．

解答： 解：∵△ABC的三边长为3、4、5，

∴△ABC的周长=12，

∴ = =2，

A、1.5×2=3，与△ABC一边长相符，故本选项正确；

B、2×2=4，与△ABC一边长相符，故本选项正确；

C、2.5×2=5，与△ABC一边长相符，故本选项正确；

D、3×2=6，故本选项错误．

故选D．

点评： 本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．

6．如图，两个反比例函数y1= 和y= 在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

考点： 反比例函数系数k的几何意义．

专题： 计算题．

分析： 根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD=4，S△AOC=S△BOD= ，然后利用四边形PAOB的面积=S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD进行计算．

解答： 解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，

∴S矩形PCOD=4，S△AOC=S△BOD= ×1= ，

∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD=4﹣ ﹣ =3．

故选B．

点评： 本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

7．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

考点： 相似三角形的性质．

专题： 网格型．

分析： 根据相似三角形的对应高的比等于相似比，代入数值即可求得结果．

解答： 解：∵△RPQ∽△ABC，

∴ ，

即 ，

∴△RPQ的高为6．

故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．

故选B．

点评： 此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比．解题的关键是数形结合思想的应用．

8．已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（）

A． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象．

专题： 压轴题；数形结合．

分析： 判断出△AEF和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式，然后得到大致图象选择即可．

解答： 解：∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴ = ，

∴EF= ?10=10﹣2x，

∴S= （10﹣2x）?x=﹣x2+5x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴S与x的关系式为S=﹣（x﹣ ）2+ （0＜x＜5），

纵观各选项，只有D选项图象符合．

故选：D．

点评： 本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键，也是本题的难点．

9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3 ），反比例函数y= 的图象与菱形对角线AO交D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）

A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12

考点： 菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．

专题： 压轴题．

分析： 首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3 ），可求得OC的长，又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，可求得OB的长，且∠AOB=30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y= 的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．

解答： 解：过点C作CE⊥x轴于点E，

∵顶点C的坐标为（m，3 ），

∴OE=﹣m，CE=3 ，

∵菱形ABOC中，∠BOC=60°，

∴OB=OC= =6，∠BOD= ∠BOC=30°，

∵DB⊥x轴，

∴DB=OB?tan30° =6× =2 ，

∴点D的坐标为：（﹣6，2 ），

∵反比例函数y= 的图象与菱形对角线AO交D点，

∴k=xy=﹣12 ．

故选D．

点评： 此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求得点D的坐标是关键．

10．如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是（）

A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c

考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

专题： 压轴题．

分析： 因为Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，所以图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是△DHE和△GQF，只要它们相似即可得出所求的结论．

解答： 解：∵DH∥AB∥QF

∴∠EDH=∠A，∠GFQ=∠B；

又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFQ+∠FGQ=90°；

∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFQ；

∴△DHE∽△GQF，

∴ =

∴ =

∴ac=（b﹣c）（b﹣a）

∴b2=ab+bc=b（a+c），

∴b=a+c．

故选A．

点评： 此题考查了相似三角形的判定，同时还考查观察能力和分辨能力．

二、填空题（每小题3分共计24分）

11．已知反比例函数y= ，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为　k=3（答案不唯一）　．（写出满足条件的一个k的值即可）．

考点： 反比例函数的性质．

专题： 压轴题；开放型．

分析： 根据反比例函数的性质解答．

解答： 解：∵反比例函数y= ，其图象在第一、第三象限内，

∴k﹣2＞0，

即k＞2，k的值可为3（答案不唯一，只要符合k＞2即可）．

点评： 定义：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y= （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

因为y= 是一个分式，所以自变量x的取值范围是x≠0．而y= 有时也被写成xy=k或y=kx﹣1．

性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限；

②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．

k＞0时，函数在x＜0上为减函数、在x＞0上同为减函数；k＜0时，函数在x＜0上为增函数、在x＞0上同为增函数．

定义域为x≠0；值域为y≠0；

③因为在y= （k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交；

④在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1=S2=|k|；

⑤反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x，y=﹣x（即第一、三象限，第二、四象限角平分线），对称中心是坐标原点．

12．在比例尺为1：1 00 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离　15　km．

考点： 比例线段．

专题： 计算题．

分析： 根据比例尺，由甲乙两地图上距离确定出实际距离即可．

解答： 解：根据题意得：15×100000=1500000（cm）=15000（m）=15（km），

故答案为：15

点评： 此题考查了比例线段，弄清题中的比例尺是解本题的关键．

13．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y= 过点A，则k的值是　﹣4　．

考点： 反比例函数系数k的几何意义．

专题： 数形结合．

分析： 因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得正方形的面积S是个定值，即S=|k|．

解答： 解：根据题意，知

|k|=22=4，k=±4，

又∵k＜0，

∴k=﹣4．

故答案为：﹣4．

点评： 主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　4　m．

考点： 平行投影；相似三角形的应用．

专题： 计算题．

分析： 根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得 = ；即DC2=ED?FD，代入数据可得答案．

解答： 解：如图：过点C作CD⊥EF，

由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，

∴∠EDC=∠CDF=90°，

∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，

∴∠E=∠DCF，

∴Rt△EDC∽Rt△CDF，

有 = ；即DC2=ED?FD，

代入数据可得DC2=16，

DC=4；

故答案为：4．

点评： 本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．

15．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为　 　．

考点： 相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理．

专题： 压轴题．

分析： 过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，在Rt△ABC中运用三角函数可得 = ，易证△AEB∽△BFC，运用相似三角形的性质可求出FC，然后在Rt△BFC中运用勾股定理可求出BC，再在Rt△ABC中运用三角函数就可求出AC的值．

解答： 解：如图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图．

∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，

∴tan∠BAC= = ．

∵直线l1∥l2∥l3，

∴EF⊥l1，EF⊥l3，

∴∠AEB=∠BFC=90°．

∵∠ABC=90°，

∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，

∴△BFC∽△AEB，

∴ = = ．

∵EB=1，∴FC= ．

在Rt△BFC中，

BC= = = ．

在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，

AC= = = ．

故答案为 ．

点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、平行线的判定与性质、同角的余角相等等知识，构造K型相似是解决本题的关键．

16．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为　 　．

考点： 平面展开-最短路径问题．

专题： 计算题．

分析： 将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形MCB与三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．

解答： 解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，

∵△BCM∽△ACN，

∴ = ，即 = =2，即MC=2NC，

∴CN= MN= ，

在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC= = ，

故答案为： ．

点评： 此题考查了平面展开﹣最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键．

17．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y= 的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为　2　．

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程-因式分解法．

专题： 数形结合．

分析： 先确定B点坐标（1，6），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=6，则反比例函数解析式为y= ，设AD=t，则OD=1+t，所以E点坐标为（1+t，t），再利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得（1+t）?t=6，利用因式分解法可求出t的值．

解答： 解：∵OA=1，OC=6，

∴B点坐标为（1，6），

∴k=1×6=6，

∴反比例函数解析式为y= ，

设AD=t，则OD=1+t，

∴E点坐标为（1+t，t），

∴（1+t）?t=6，

整理为t2+t﹣6=0，

解得t1=﹣3（舍去），t2=2，

∴正方形ADEF的边长为2．

故答案为：2．

点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：t=﹣x﹣1，双曲线y= ．在l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…．记点An的横坐标为an，若a1=2，a2015=　﹣ 　．

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．

专题： 规律型．

分析： 首先根据a1=2，求出a2，a3，a4，a5的值，总结出其中的规律：每3个数为一个循环；然后用2015除以3，根据商和余数的情况，判断出a2015的值是多少即可．

解答： 解：解：当a1=2时，B1的纵坐标为 ，

∵B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，

∴A2的横坐标为a2=﹣1﹣ =﹣ ，

∵A2的横坐标和B2的横坐标相同，

∴B2的纵坐标为b2= =﹣ ，

∵B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，

∴A3的横坐标为a3=﹣1﹣（﹣ ）=﹣ ，

∵A3的横坐标和B3的横坐标相同，

∴B3的纵坐标为b3= =﹣3，

∵B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，

∴A4的横坐标为a4=﹣1﹣（﹣3）=2，

∵A4的横坐标和B4的横坐标相同，

∴B4的纵坐标为b4= ，

∴a1，a2，a3，a4，…，每3个数一个循环，分别是2、﹣ 、﹣ ，

∵2015÷3=671…2，

∴a2015是第672个循环的第2个数，

∴a2015=﹣ ．

故答案为： ．

点评： 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

三、解答题（共计96分）

19．（9分）已知直线y=﹣3x与双曲线y= 交于点P （﹣1，n）．

（1）求m的值；

（2）若点A （x1，y1），B（x2，y2）在双曲线y= 上，且x1＜x2＜0，试比较y1，y2的大小．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征．

分析： （1）根据点P（﹣1，n）在直线y=﹣3x上求出n的值，然后根据P点在双曲线上求出m的值；

（2）首先判断出m﹣5正负，然后根据反比例函数的性质，当x1＜x2＜0，判断出y1，y2的大小．

解答： 解：（1）∵点P（﹣1，n）在直线y=﹣3x上，

∴n=﹣3×（﹣1）=3，

∵点P（﹣1，3）在双曲线y= 上，

∴m﹣5=﹣3，

解得：m=2；

（2）∵m﹣5=﹣3＜0，

∴当x＜0时，图象在第二象限，y随x的增大而增大，

∵点A（x1，y1），B（x2，y2 ）在函数y= 上，且x1＜x2＜0，

∴y1＜y2．

点评： 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，本题难度不大．

20．（9分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6．

（1）求证：△ADE∽△ACB；

（2）求ED的长．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： （1）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可．

（2）由（1）可知△AED∽△ABC，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等计算即可．

解答： 解：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC；

（2）∵△AED∽△ABC，

∴ ，

∵AE=5，AB=9，CB=6，

∴ ，

∴DE= ．

点评： 本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．

21．（12分）已知反比例函数 的图象经过点A（﹣2，1），一次函数y=kx+b的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．

（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求点B的坐标．

（3）求三角形OAB的面积．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： （1）把A点坐标代入y= 可求出m，即可得到反比例函数解析式为y=﹣ ；然后利用待定系数法确定一次函数解析式为y=x+3；

（2）先解方程组 可确定B点坐标为（﹣1，2）；

（3）先确定C点坐标为（0，3），然后利用S△OAB=S△OAC﹣S△OBC进行计算．

解答： 解：（1）把A（﹣2，1）代入y= 得m=﹣2×1=﹣2，

所以反比例函数解析式为y=﹣ ；

把A（﹣2，1）、C（0，3）代入y=kx+b得 ，解得 ，

所以一次函数解析式为y=x+3；

（2）解方程组 得 或 ，

所以B点坐标为（﹣1，2）；

（3）把x=0代入y=x+3得y=3，

所以C点坐标为（0，3），

所以S△OAB=S△OAC﹣S△OBC

= ×3×2﹣ ×3×1

= ．

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．

22．（12分）如图，某测量工作人员与标杆顶端F．电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED．

考点： 相似三角形的应用．

专题： 应用题．

分析： 此题考查了相似三角形的性质，通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例解答即可．

解答： 解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H．

由题意可得：△AFG∽△AEH，

∴

即 ，

解得：EH=9.6米．

∴ED=9.6+1.6=11.2米．

点评： 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解即可．

23．（12分）甲、乙两家超市进行促销活动，甲超市采用“买100减50”的促销方式，即购买商品的总金额满100元但不足200元，少付50元；满200元但不足300元，少付100元；…．乙超市采用“打6折”的促销方式，即顾客购买商品的总金额打6折．

（1）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（100≤x＜200）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p= ），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；

（2）王强同学认为：如果顾客购买商品的总金额超过100元，实际上甲超市采用“打5折”、乙超市采用“打6折”，那么当然选择甲超市购物．请你举例反驳；

（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（300≤x＜400）元，认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）根据商家的优惠率即可列出p与x之间的函数关系式，并能得出p随x的变化情况；

（2）在100≤x＜200的范围内，取x＞125的值时，都是选乙超市花钱较少，如：当x=130时，在甲超市花130﹣50=80（元）；在乙超市花130×0.6=78（元），即可解答；

（3）当300≤x＜400时在甲超市购买商品应付款y1=x﹣150，在乙超市购买商品应付款y2=0.6x；分三种情况讨论：①x﹣150=0.6x时；②当x﹣150＞0.6x时；③当x﹣150＜0.6x时，即可解答．

解答： 解：（1）∵购买商品的总金额满100元但不足200元，少付50元；

∴优惠金额为50元，

∴P= （100≤x＜200），p随x的增大而减小；

（2）在100≤x＜200的范围内，取x＞125的值时，都是选乙超市花钱较少，

如：当x=130时，在甲超市花130﹣50=80（元）；

在乙超市花130×0.6=78（元），

注：在其它范围也可，说甲不是“打5折”也可．

（3）当300≤x＜400时在甲超市购买商品应付款y1=x﹣150，

在乙超市购买商品应付款y2=0.6x．

分三种情况：

①x﹣150=0.6x时，即x=375，在两家商场购买商品花钱一样；

②当x﹣150＞0.6x时，即375＜x＜400，在乙商场购买商品花钱较少；

③当x﹣150＜0.6x时，即300≤x＜375，在甲商场购买商品花钱较少．

点评： 此题考查了反比例函数的应用，用到的知识点是反比例函数的性质，一元一次不等式等，关键是根据题意求出函数的解析式．

24．（14分）如图，已知反比例函数y= （x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．

（1）写出反比例函数解析式；

（2）求证：△ACB∽△NOM；

（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．

考点： 反比例函数综合题．

专题： 数形结合．

分析： （1）把A点坐标代入y= 可得k的值，进而得到函数解析式；

（2）根据A、B两点坐标可得AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，则 = ，再根据反比例函数解析式可得 =n，则 =m﹣1，而 = ，可得 = ，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM；

（3）根据△ACB与△NOM的相似比为2可得m﹣1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可．

解答： 解：（1）∵y= （x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），

∴k=4，

∴反比例函数解析式为y= ；

（2）∵点A（1，4），点B（m，n），

∴AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，

∴ = = ﹣1，

∵B（m，n）在y= 上，

∴ =n，

∴ =m﹣1，而 = ，

∴ = ，

∵∠ACB=∠NOM=90°，

∴△ACB∽△NOM；

（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，

∴m﹣1=2，

m=3，

∴B（3， ），

设AB所在直线解析式为y=kx+b，

∴ ，

解得 ，

∴解析式为y=﹣ x+ ．

点评： 此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必然能使函数解析式左右相等．

25．（14分）如图（1），直线y=k1 x+b与反比例函数y= 的图象交于点A（1，6），B（a，3）两点．

（1）求k1、k2的值；

（2）如图（1），等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点F，当梯形OBCD的面积为12时，请判断FC和EF的大小，并说明理由；

（3）如图（2），已知点Q是CD的中点，在第（2）问的条件下，点P在x轴上，从原点O出发，沿x轴负方向运动，设四边形PCQE的面积为S1，△DEQ的面积为S2，当∠PCD=90°时，求P点坐标及S1：S2的值．

考点： 反比例函数综合题．

分析： （1）把A点代入反比例函数解析式可求得k2，把B点代入可求得a的值，再把A、B两点坐标代入一次函数解析式可求得k1；

（2）过B作BG⊥x轴于点G，由B点坐标可求得BG和OG，再由等腰梯形的性质可证明△BOG≌△CDE，由梯形的面积可求得EG的长，则可求得C点坐标，可求得F点横坐标，代入双曲线解析式可求得EF的长，可证得FC=EF；

（3）由条件可证明△CED∽△PCD，可求得PD的长，则可求得P点坐标，过Q作QH⊥x轴于点H，可求得QH，则可求得△QDE和△PCD的面积，可求得S1和S2的值，可求得其值．

解答： 解：（1）∵反比例函数y= 的图象过点A（1，6），B（a，3）两点，

∴6= ，解得k2=6，

∴3a=6，解得a=2，

∴B（2，3），

∵直线y=k1 x+b过A、B两点，

∴把A、B两点代入可得 ，解得 ，

综上可知k1=﹣3，k2=6；

（2）FC=EF．理由如下：

如图1，过B作BG⊥x轴于点G，

∵B（2，3），

∴OG=2，BG=3，

∵BC∥OD，OB=CD，

∴∠BOG=∠CDE，

在△BOG和△CDE中，

，

∴△BOG≌△CDE（AAS），

∴OG=DE=2，CE=BG=3，

∵S梯形OBCD=12，

∴ （OD+BC）?CE=12，即（2×2+BC+BC）×3=24，

∴BC=2，

∴OE=OG+GE=2+2=4，

∴F点横坐标为4，

∵F在双曲线上，且由（1）可知双曲线解析式为y= ，

∴y= = ，

∴EF= ，则FC=CE﹣EF=3﹣ = ，

∴FC=EF；

（3）在Rt△CED中，ED=2，CE=3，

∴CD= = = ，

当∠PCD=90°时，则∠CED=∠PCD，且∠CDE=∠PDC，

∴△CED∽△PCD，

∴ = ，即 = ，解得PD= ，

∴OP=PD﹣OD= ﹣6= ，

∴P点坐标为（﹣ ，0）；

如图2，过Q作QH由（2）知F为CE中点，又Q为CD中点，

∴H为DE中点，

∴QH= CE= ，

∴S2=S△QDE= DE?QH= ×2× = ，S△PDC= PD?CE= × ×3= ，

∴S1=S四边形PCQE=S△QDE=S△PDC﹣S△QDE=S△PDC= ﹣ = ，

∴S1：S2= ： =11：2．

点评： 本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形、相似三角形的判定和性质、等腰梯形的性质等知识点．在（1）掌握交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，在（2）中求得F点的横坐标是解题的关键，在（3）中求得PD长是解题的关键，注意三角形中线定理的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

26．（14分）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．

（1）求证：△ADP∽△ABQ；

（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；

（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

考点： 相似形综合题．

专题： 压轴题．

分析： （1）由对应两角相等，证明两个三角形相似；

（2）如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值；

（3）如解答图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE＞MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围．

解答： （1）证明：∵∠QAP=∠BAD=90°，

∴∠QAB=∠PAD，

又∵∠ABQ=∠ADP=90°，

∴△ADP∽△ABQ．

（2）解：∵△ADP∽△ABQ，

∴ ，即 ，解得QB=2x．

∵DP=x，CD=AB=20，

∴PC=CD﹣DP=20﹣x．

如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，

∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，

∴点N为QC中点，MN为中位线，

∴MN= PC= （20﹣x）=10﹣ x，

BN= QC﹣BC= （BC+QB）﹣BC= （10+2x）﹣10=x﹣5．

在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=（10﹣ x）2+（x﹣5）2= x2﹣20x+125，

∴y= x2﹣20x+125（0＜x＜20）．

∵y= x2﹣20x+125= （x﹣8）2+45，

∴当x=8即DP=8时，y取得最小值为45，BM的最小值为 = ．

（3）解：设PQ与AB交于点E．

如解答图所示，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN．

∵△ADP∽△ABQ，

∴ ，即 ，解得QB= a．

∵AB∥CD，

∴△QBE∽△QCP，

∴ ，即 ，解得BE= ．

∵MN为中位线，

∴MN= PC= （a﹣8）．

∵BE＞MN，

∴ ＞ （a﹣8），解得a＞12.5．

∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为：a＞12.5．

点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函数的最值、解一元一次不等式等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．解题关键是：第（2）问中，由BM2=y，容易联想到直角三角形与勾股定理；由最值容易联想到二次函数；第（3）问中需要明确“点M落在矩形ABCD外部”所要满足的条件．