银川市2015初三年级上学期数学期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．下列方程中，一元二次方程有（）

①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③ ；④x2=1；⑤

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．若方程（x﹣4）2=a有实数解，则a的取值范围是（）

A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定

3．用配方法解一元二次方程x2+6x+7=0，则方程可化为（）

A．（x+3）2=9 B．（x﹣3）2=2 C．（x+3）2=2 D．（x﹣3）2=7

4．关于x的方程（a﹣2）x2+x+2a=0是一元二次方程的条件是（）

A．a≠0 B．a≠2 C．a≠ D．a≠﹣3

5．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1=0的根的情况（）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．以上答案都不对

6．关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（）

A．0 B．﹣ C． D．0或 ，

7．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）

A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°

8．小芳妈妈要给一幅长为60cm，宽为40cm的矩形十字绣的四周装裱一条宽度相同的金色边框制成一幅矩形挂图，使整幅挂图面积是3400cm2．设金色边框的宽度为x cm，则x满足的方程是（）

A．x2+50x﹣1400=0 B．x2﹣65x﹣250=0

C．x2﹣30x﹣1400=0 D．x2+50x﹣250=0

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．分解因式x3﹣xy2的结果是．

10．一元二次方程﹣2x2=6x+3的一次项系数为：．

11． x2﹣4x+=（x﹣）2．

12．三角形两边长是3和4，第三边的长是方程x2﹣5x+6=0的根，则该三角形周长为．

13．方程 是一元二次方程，则m=．

14．请写出一个一元二次方程使它有一个根为3，．

15．如图，已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是．

16．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人共握了66次手，设这次到会的有x人，则可列方程为．

三．解答题（共72分）

17．（30分）解方程：

①x2﹣2x=3

②2（x﹣1）2=6

③3x2﹣2=2x

④5x（3x+2）=4（3x+2）

⑤4x2﹣6x﹣2=2x+1

⑥（3x﹣11）（x﹣2）=2．

18．（6分）解不等式组： ．

19．（6分）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点O．求证：∠A=∠D．

20．（6分）制造一种产品，原来每件成本100元，由于连续两次降低成本，现在成本是81元，平均每次降低成本的百分数是多少？

21．（8分）学校准备一边靠墙，另三边用木板围成一个面积为130㎡的长方形健身房，木板长33m，墙长15m，那么健身房的长和宽各是多少米，才能使木板正好合适？

22．（8分）某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价．如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件．如果超市平均每天要盈利1200元，每件羽绒服应降价多少元？此时的销售量是多少？

23．（8分）在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，点P的速度是2m/s，点Q的速度是1m/s．其中一点到终点，另一点也随之停止移动．

（1）几秒后△PCQ为等腰三角形？

（2）几秒后四边形ABQP的面积为Rt△ACB面积的三分之一？

银川市2015初三年级上学期数学期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．下列方程中，一元二次方程有（）

①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③ ；④x2=1；⑤

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

解答： 解：①符合一元二次方程定义，正确；

②方程含有两个未知数，错误；

③不是整式方程，错误；

④符合一元二次方程定义，正确；

⑤符合一元二次方程定义，正确．

故选B．

点评： 判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．

2．若方程（x﹣4）2=a有实数解，则a的取值范围是（）

A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定

考点： 解一元二次方程-直接开平方法．

专题： 计算题．

分析： 利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然后求得a的取值范围．

解答： 解：∵方程（x﹣4）2=a有实数解，

∴x﹣4=± ，

∴a≥0；

故选B．

点评： 本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．解答该题时，还利用了二次根式有意义的条件这一知识点．

3．用配方法解一元二次方程x2+6x+7=0，则方程可化为（）

A．（x+3）2=9 B．（x﹣3）2=2 C．（x+3）2=2 D．（x﹣3）2=7

考点： 解一元二次方程-配方法．

分析： 把左边配成完全平方式，右边化为常数．

解答： 解：由原方程，得

x2+6x+32=﹣7+32，

即（x+3）2=2，

故选：C．

点评： 本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．

（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．

4．关于x的方程（a﹣2）x2+x+2a=0是一元二次方程的条件是（）

A．a≠0 B．a≠2 C．a≠ D．a≠﹣3

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 根据一元二次方程的定义可得a﹣2≠0，再解即可．

解答： 解：由题意得：a﹣2≠0，

解得：a≠2．

故选：B．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．

5．一元二次方程x2﹣3x+1=0的根的情况（）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．以上答案都不对

考点： 根的判别式．

分析： 首先确定a=1，b=﹣3，c=1，然后求出△=b2﹣4ac的值，进而作出判断．

解答： 解：∵a=1，b=﹣3，c=1，

∴△=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，

∴一元二次方程x2﹣3x+1=0两个不相等的实数根；

故选B．

点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数；（3）△＜0?方程没有实数根．

6．关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（）

A．0 B．﹣ C． D．0或 ，

考点： 一元二次方程的解．

分析： 一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

解答： 解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或 ，

故选：D．

点评： 本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解．

7．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）

A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°

考点： 等腰三角形的性质．

分析： 先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．

解答： 解：如图所示，△ABC中，AB=AC．

有两种情况：

①顶角∠A=50°；

②当底角是50°时，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=50°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，

∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．

故选：C．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．

8．小芳妈妈要给一幅长为60cm，宽为40cm的矩形十字绣的四周装裱一条宽度相同的金色边框制成一幅矩形挂图，使整幅挂图面积是3400cm2．设金色边框的宽度为x cm，则x满足的方程是（）

A．x2+50x﹣1400=0 B．x2﹣65x﹣250=0

C．x2﹣30x﹣1400=0 D．x2+50x﹣250=0

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题： 几何图形问题．

分析： 设金色边框的宽度为x cm，先求出装裱之后的长和宽，然后根据面积为3400列方程．

解答： 解：设金色边框的宽度为x cm，

由题意得，（60+2x）（40+2x）=3400，

整理得：x2+50x﹣250=0．

故选D．

点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．分解因式x3﹣xy2的结果是　x（x+y）（x﹣y）　．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

分析： 先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答： 解：x3﹣xy2，

=x（x2﹣y2），

=x（x+y）（x﹣y）．

故答案为：x（x+y）（x﹣y）．

点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

10．一元二次方程﹣2x2=6x+3的一次项系数为：　6　．

考点： 一元二次方程的一般形式．

专题： 计算题．

分析： 方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．

解答： 解：方程﹣2x2=6x+3，即2x2+6x+3=0的一次项系数为6，

故答案为：6

点评： 此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

11． x2﹣4x+　4　=（x﹣　2　）2．

考点： 配方法的应用．

分析： 先根据乘积二倍项和已知平方项确定出另一个数是4，再利用完全平方公式解答．

解答： 解：∵4x=2×2?x，

∴x2﹣4x+4=（x﹣2）2，

故答案为：4，2．

点评： 本题主要考查了配方法的应用，熟记完全平方公式是解题的关键．

12．三角形两边长是3和4，第三边的长是方程x2﹣5x+6=0的根，则该三角形周长为　9或10　．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

分析： 求出已知方程的解，确定出三角形第三边长，求出周长即可．

解答： 解：方程x2﹣5x+6=0，

分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）=0，

解得：x1=2，x2=3，

当x=2时，三角形三边长分别为2，3，4，其周长=2+3+4=9；

当x=3时，三角形三边长分别为3，3，4，周长为3+3+4=10，

综上所述，该三角形周长为9或10．

故答案为：9或10．

点评： 本题考查的是解一元二次方程﹣因式分解法，熟知利用因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．

13．方程 是一元二次方程，则m=　﹣2　．

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得m的取值范围．

解答： 解：∵关于x的方程 是一元二次方，

∴ ，

解得：m=﹣2．

故答案为：﹣2．

点评： 本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题，注意掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．

14．请写出一个一元二次方程使它有一个根为3，　x（x﹣3）=0（答案不唯一）　．

考点： 一元二次方程的解．

专题： 开放型．

分析： 有一个根是3的一元二次方程有无数个，只要含有因式x﹣3的一元二次方程肯定有一个根是3．

解答： 解：形如（x﹣3）（ax+b）=0（a≠0）的一元二次方程都有一个根是3，

当a=1，b=0时，可以写出一个一元二次方程：x（x﹣3）=0．

故答案可以是：x（x﹣3）=0（答案不唯一）．

点评： 本题主要考查方程的根的定义，所写的方程只要把x=3代入成立即可．

15．如图，已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是　∠C=∠E（答案不惟一，也可以是AB=FD或AD=FB）　．

考点： 全等三角形的判定．

专题： 开放型．

分析： 要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，BC=DE，具备了两组边对应相等，故添加∠C=∠E，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．

解答： 解：增加一个条件：∠C=∠E，

显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等．（答案不唯一）．

故填：∠C=∠E．

点评： 本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．

16．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人共握了66次手，设这次到会的有x人，则可列方程为　 x（x﹣1）=66　．

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

分析： 可设参加会议有x人，每个人都与其他（x﹣1）人握手，共握手次数为 x（x﹣1），根据一共握了66次手列出方程．

解答： 解：设参加会议有x人，依题意得，

x（x﹣1）=66．

故答案为： x（x﹣1）=66．

点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

三．解答题（共72分）

17．（30分）解方程：

①x2﹣2x=3

②2（x﹣1）2=6

③3x2﹣2=2x

④5x（3x+2）=4（3x+2）

⑤4x2﹣6x﹣2=2x+1

⑥（3x﹣11）（x﹣2）=2．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．

分析： ①④⑥利用分解因式法解方程即可；

②利用直接开平方法解方程；

③⑤整理成一般形式，利用公式法解方程即可．

解答： 解：①x2﹣2x=3

x2﹣2x﹣3=0

（x﹣3）（x+1）=0

x﹣3=0，x+1=0

解得：x1=3，x2=﹣1．

②2（x﹣1）2=6

（x﹣1）2=3

x﹣1=±

解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ．

③3x2﹣2=2x

3x2﹣2x﹣2=0

a=1，b=﹣2，c=﹣2

b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）=28

x=

解得：x1= ，x2= ．

④5x（3x+2）=4（3x+2）

5x（3x+2）﹣4（3x+2）=0

（3x+2）（5x﹣4）=0

3x+2=0，5x﹣4=0

解得：x1=﹣ ，x2= ．

⑤4x2﹣6x﹣2=2x+1

4x2﹣8x﹣3=0

a=4，b=﹣8，c=﹣3

b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×4×（﹣3）=112

x=

解得：x1= ，x2= ．

⑥（3x﹣11）（x﹣2）=2

3x﹣17x+20=0，

（3x﹣5）（x﹣4）=0

解得：x1= ，x2=4．

点评： 此题考查解一元二次方程，根据方程的特点，灵活选用适当的方法解方程即可．

18．（6分）解不等式组： ．

考点： 解一元一次不等式组．

分析： 本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．

解答： 解：不等式组可以转化为：

，

在坐标轴上表示为：

∴不等式组的解集为x＜﹣7．

点评： 求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

19．（6分）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点O．求证：∠A=∠D．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE即可．

解答： 证明：∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，

∴BF=CE，

在△ABF和△DCE中

∴△ABF≌△DCE（SAS），

∴∠A=∠D．

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．

20．（6分）制造一种产品，原来每件成本100元，由于连续两次降低成本，现在成本是81元，平均每次降低成本的百分数是多少？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 增长率问题．

分析： 首先表示出第一次降价后的成本，然后表示出第二次的成本，根据两次降价后成本由100元降低到81元求解即可．

解答： 解：设平均每次降低的百分率为x，

根据题意，得

100（1﹣x）2=81

解得：x=0.1，x=1.9（舍去），

答：每次降低成本的百分数为10%．

点评： 考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够理解增长率问题，难度不大．

21．（8分）学校准备一边靠墙，另三边用木板围成一个面积为130㎡的长方形健身房，木板长33m，墙长15m，那么健身房的长和宽各是多少米，才能使木板正好合适？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何图形问题．

分析： 首先设花坛长为x米，宽为 米．根据矩形的面积公式列一元二次方程，进而解答即可．

解答： 解：设花坛长为x米，宽为 米，故可得

x =130，

即x（33﹣x）=260，

整理得：x2﹣33x+260=0，

故可得（x﹣13）（x﹣20）=0

故x=13或x=20（舍去）．

故花坛长为13米，宽为10米．

点评： 本题的考查了一元二次方程的应用，难度一般，关键是利用一元二次方程的应用与实际问题相结合．

22．（8分）某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价．如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件．如果超市平均每天要盈利1200元，每件羽绒服应降价多少元？此时的销售量是多少？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 销售问题．

分析： 可设每件羽绒服应降价x元，因为每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，所以降价后每件可盈利（40﹣x）元，每天可售（20+2x）件，又因平均每天要盈利1200元，所以可列方程（40﹣x）（20+2x）=1200，即可求解．

解答： 解：设每件羽绒服应降价x元，

依题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200，

整理得：x2﹣30x+200=0，

解得：x1=10；x2=20．

答：每件羽绒服应降价10元或20元．

点评： 考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．

23．（8分）在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，点P的速度是2m/s，点Q的速度是1m/s．其中一点到终点，另一点也随之停止移动．

（1）几秒后△PCQ为等腰三角形？

（2）几秒后四边形ABQP的面积为Rt△ACB面积的三分之一？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何动点问题．

分析： （1）根据等腰三角形的两腰相等列出一元一次方程求解即可；

（2）分别表示出PC和QC的长，利用三角形的面积公式列出方程求解即可．

解答： 解：（1）设x秒后，△PCQ是等腰三角形，

则PC=（8﹣2x）cm，QC=（6﹣x）cm，

∵△PCQ为等腰三角形，

∴PC=QC，

即：8﹣2x=6﹣x，

解得：x=2，

∴2秒后△PCQ为等腰三角形；

（2）设y秒后四边形ABQP的面积为Rt△ACB面积的三分之一，

根据题意得： （8﹣2y）（6﹣y）= × ×6×8，

解得：y=2或y=8（舍去）．

答：2秒后四边形ABQP的面积为Rt△ACB面积的三分之一．

点评： 本题考查了一元一次方程及一元二次方程的应用，解题的关键是能够表示出有关线段的长，难度不大．