本溪十二中2015初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A． 等腰梯形 B． 平行四边形 C． 正方形 D． 正五边形

2．（3分）下列各式：①x2+x3=x5 ；②a3?a2=a6 ；③ ；④ ；⑤（π﹣1）0=1，其中正确的是（）

A． ④⑤ B． ③④ C． ②③ D． ①④

3．（3分）下列各式与 是同类二次根式的是（）

A． B． C． D．

4．（3分）下列命题是假命题的是（）

A． 四个角相等的四边形是矩形

B． 对角线相等的平行四边形是矩形

C． 对角线垂直的四边形是菱形

D． 对角线垂直的平行四边形是菱形

5．（3分）如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）

A． B． 1 C． D． 7

6．（3分）将点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（）

A． （2，6） B． （2，﹣6） C． （2，﹣3） D． （2，0）

7．（3分）希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是（）

A． 被调查的学生有200人

B． 被调查的学生中喜欢教师职业的有40人

C． 被调查的学生中喜欢其他职业的占40%

D． 扇形图中，公务员部分所对应的圆心角为72°

8．（3分）如图，四边形ABCD、BEFD 、EGHD均为平行四边形，其中C、F两点分别在EF、GH上．若四边形ABCD、BEFD、EGHD的面积分别为a、b、c，则关于a、b、c的大小关系，下列何者正确？（）

A． a＞b＞c B． b＞c＞a C． c＞b＞a D． a=b=c

9．（3分）如图所示，将一个圆盘四等分，并把四个区域分别标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，只有区域I为感应区域，中心角为60°的扇形AOB绕点0转动，在其半径OA上装有带指示灯的感应装置，当扇形AOB与区域I有重叠（原点除外）的部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形AOB任意转动时，指示灯发光的概率为（）

A． B． C． D．

10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）

A． 1 B． C． 2 D． +1

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．（3分）数据显示，今年高校毕业生规模达到727万人，比去年有所增加．数据727万人用科学记数法表示为人．

12．（3分）将直线y= x向上平移个单位后得到直线y= x+7．

13．（3分）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和 ，则它的面积为．

14．（3分）关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范围是．

15．（3分）矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC上的点，以AE为 折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．

16．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等的实数根，则k的取值范围是．

17．（3分）小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为．（用含n的代数式表示，n为正整数）

三、计算题（本题满分12分）

19．（12分）（1）解方程：x2+2 x﹣6=0

（2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中x2﹣9=0．

四、解答题（每小题12分，共24分）

20．（12分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．

（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？

（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．

（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．

21．（12分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．

（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；

（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

五、解答题（22题10分，23题12分，共22分）

22．（10分）李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克蘑菇存放入冷库中，据预测，该品种蘑菇市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批蘑菇每天支付费用合记340元，且蘑菇在冷库中最多保存120天，同时平均每天有6千克蘑菇损坏不能出售．

（1）若存放x天后，将这一批蘑菇一次性出售，所得销售总金额为；

（2）李经理想获得22500元的利润，需将这批蘑菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）

23．（12分）小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图．

（1）图中a=，b=；

（2）求小明的爸爸下山所用的时间．

六、解答题（本题满分12分）

24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．

（1）求证：EF∥AC；

（2）求∠BEF大小；

（3）若EB=4，则△BAE的面积为．

七、解答题（本题满分12分）

25．（12分）如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD=∠BCE=90°，∠ABD=∠BEC=30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为；

（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；

（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．

八、解答题（本题满分14分）

26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，以点A坐标为（6，0），点B坐标为（0，8），动点P从点A开始沿折线AO﹣OB﹣BA运动，点P在AO，OB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位，直线l从与OA重合的位置开始，以每秒 个单位的速度沿OB方向平行移动，即移动过程中保持l∥OA，且分别与OB，AB边交于E，F两点，同时出发，设运动时间为t秒，当点P与点F相遇时，点P和直线l同时停止运动．

（1）线段AB所在直线的表达式为；点F横坐标为（用t的代数式表示）；

（2）设△APE的面积为S（S≠0），请求出点P和直线l运动过程中S与t的函数关系式；

（3）在点P和直线l运动过程中，作点P关于直线l的对称点，记为点Q，若形成四边形PEQF是菱形，请直接写出t的值．

本溪十二中2015初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A． 等腰梯形 B． 平行四边形 C． 正方形 D． 正五边形

考点： 中心对称图形；轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

解答： 解：A、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；

B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；

C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；

D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．

故选：C．

点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．（3分）下列各式：①x2+x3=x5 ；②a3?a2=a6 ；③ ；④ ；⑤（π﹣1）0=1，其中正确的是（）

A． ④⑤ B． ③④ C． ②③ D． ①④

考点： 二次根式的性质与化简；合并同类项；同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂．

分析： 利用合并同类项、同底数幂的乘法、二次根式的化简、负指数幂与零指数幂的性质求解即可求得答案．

解答： 解：①x2+x3≠x5 ，故错误；

②a3?a2=a5，故错误；

③ =|﹣2|=2，故错误；

④ =3，故正确；

⑤（π﹣1）0=1，故正确．

故正确的是：④⑤．

故选A．

点评： 此题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、二次根式的化简、负指数幂与零指数幂的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握指数的变化．

3．（3分）下列各式与 是同类二次根式的是（）

A． B． C． D．

考点： 同类二次根式．

分析： 利用同类二次根式的性质与定义分别化简二次根式进而判断得出即可．

解答： 解：A、 =2 ，故不与 是同类二次根式，故此选项错误；

B、 =2 ，故不与 是同类二次根式，故此选项错误；

C、 =5 ，故不与 是同类二次根式，故此选项错误；

D、 =2 ，故，与 是同类二次根式，故此选项正确；

故选：D．

点评： 此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．

4．（3分）下列命题是假命题的是（）

A． 四个角相等的四边形是矩形

B． 对角线相等的平行四边形是矩形

C． 对角线垂直的四边形是菱形

D． 对角线垂直的平行四边形是菱形

考点： 命题与定理．

分析： 根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．

解答： 解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；

C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；

D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．

故选：C．

点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．

5．（3分）如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）

A． B． 1 C． D． 7

考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．

专题： 几何图形问题；压轴题．

分析： 由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．

解答： 解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，

∴△AGC是等腰三角形，

∴AG=AC=3，GF=CF，

∵AB=4，AC=3，

∴BG=1，

∵AE是中线，

∴BE=CE，

∴EF为△CBG的中位线，

∴EF= BG= ，

故选：A．

点评： 本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

6．（3分）将点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（）

A． （2，6 ） B． （2，﹣6） C． （2，﹣3） D． （2，0）

考点： 关于原点对称的点的坐标；轴对称图形．

分析： 首先利用平移变化规律得出P1（﹣2，6），进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标．

解答： 解：∵点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1，

∴P1（﹣2，6），

∵点P2与点P1关于原点对称，

∴P2的坐标是：（2，﹣6）．

故选：B．

点评： 此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的平移规律，正确把握坐标变化性质是解题关键．

7．（3分）希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是（）

A． 被调查的学生有200人

B． 被调查的学 生中喜欢教师职业的有40人

C． 被调查的学生中喜欢其他职业的占40%

D． 扇形图中，公务员部分所对应的圆心角为72°

考点： 条形统计图；扇形统计图．

分析： 通过对比条形统计图和扇形统计图可知：喜欢的职业是公务员的有40人，占样本的20%，所以被调查的学生数即可求解；各个扇形的圆心角的度数=360°×该部分占总体的百分比，乘以360度即可得到“公务员”所在扇形的圆心角的度数，结合扇形图与条形图得出即可．

解答： 解：A．被调查的学生数为 =200（人），故此选项正确，不符合题意；

B．根据扇形图可知喜欢医生职业的人数为：200×15%=30人，

则被调查的学生中喜欢教师职业的有：200﹣30﹣40﹣20﹣70=40（人），故此选项正确，不符合题意；

C．被调查的 学生中喜欢其他职业的占： ×100%=35%，故此选项错误，符合题意．

D．“公务员”所在扇形的圆心角的度数为：（1﹣15%﹣20%﹣10%﹣ ×100%）×360°=72°，故此选项正确，不符合题意；

故选：C．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．

8．（3分）如图，四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形，其中C、F两点分别在EF、GH上．若四边形ABCD、BEFD、EGHD的面积分别为a、b、c，则关于a、b、c的大小关系，下列何者正确？（）

A． a＞b＞c B． b＞c＞a C． c＞b＞a D． a=b=c

考点： 平行四边形的性质．

分析： 利用平行四边形的性质以及三角形同底等高面积相等，进而得出答案．

解答： 解：连接EH，

∵四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形，

∴S△BDC=S△BDE，S△DEF=S△DEH，

∴四边形ABCD、BEFD、EGHD的面积分别为a、b、c，

则a=b=c．

故选：D．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，得出S△BDC=S△BDE，S△DEF=S△DEH是解题关键．

9．（3分）如图所示，将一个圆盘四等分，并把四个区域分别标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，只有区域I为感应区域，中心角为60°的扇形AOB绕点0转动，在其半径OA上装有带指示灯的感应装置，当扇形AOB与区域I有重叠（原点除外）的部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形AOB任意转动时，指示灯发光的概率为（）

A． B． C． D．

考点： 几何概率．

专题： 压轴题．

分析： 假设扇形区域逆时针转动，当OB越过OE时，指示灯开始发光，当OB越过OC时，指示灯停止发光，此过程中扇形转过的角度为90°+60°=150°，据此可计算出指示灯发光的概率．

解答： 解：如图，∵当扇形AOB落在区域I时，指示灯会发光；

假设扇形区域逆时针转动，当OB越过OE时，指 示灯开始发光，当OB越过OC时，指示灯停止发光，此过程中扇形转过的角度为90°+60°=150°．

∴指示灯发光的概率为： = ．

故选C．

点评： 本题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到指示灯发光的区域是解题的关键，本题难度中等．

10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）

A． 1 B． C． 2 D． +1

考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质．

专题： 压轴题；探究型．

分析： 先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC， 则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．

解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∵∠A=120°，

∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，

作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，

在Rt△BCP′中，

∵BC=AB=2，∠B=60°，

∴P′Q=CP′=BC?sinB=2× = ．

故选：B．

点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．（3分）数据显示，今年高校毕业生规模达到727万人，比去年有所增加．数据727万人用科学记数法表示为7.27×106人．

考点： 科学记数法—表示较大的数．

专题： 常规题型．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：将727万即7 270 000用科学记数法表示为：7.27×106．

故答案为：7.27×106．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（3分）将直线y= x向上平移7个单位后得到直线y= x+7．

考点： 一次函数图象与几何变换．

分析： 直接根据“上加下减”的原则进行解答．

解答： 解：由“上加下减”的原则可知，将直线y= x向上平移7个单位所得直线的解析式为：y= x+7．

故答案为：7．

点评： 本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．

13．（3分）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和 ，则它的面积为4 ．

考点： 菱形的判定与性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质．

专题： 计算题．

分析： 根据平行四边的性质，可得对角线互相平分，根据勾股定理的逆定理，可得对角线互相垂直，根据菱形的判定，可得菱形，根据菱形的面积公式，可得答案．

解答： 解：∵平行四边形两条对角线互相平分，

∴它们的一半分别为2和 ，

∵22+（ ）2=32，

∴两条对角线互相垂直，

∴这个四边形是菱形，

∴S= 4×2 =4 ．

故答案为：4 ．

点评： 本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半．

14．（3分）关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2．

考点： 一元一次不等式组的整数解．

专题： 计算题．

分析： 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．

解答： 解：由不等式①得x＞a，

由不等式②得x＜1，

所以不等式组的解集是a＜x＜1，

∵关于x的不等式组 的整数解共有3个，

∴3个整数解为0，﹣1，﹣2，

∴a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2．

点评： 考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

15．（3分）矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为3或6．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

专题： 分类讨论．

分析： 分两种情况：①当∠EFC=90°时，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC，设BE=x，表示出CE，根据翻折变换的性质可得AF=AB，EF=BE，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF=90°时，判断出四边形ABEF是正 方形，根据正方形的四条边都相等可得BE=AB．

解答： 解：①当∠EFC=90°时，如图1，

∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，

∴点A、F、C共线，

∵矩形ABCD的边AD=8，

∴BC=AD=8，

在Rt△ABC中，AC= = =10，

设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，

由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x，

∴CF=AC﹣AF=10﹣6=4，

在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，

即x2+42=（8﹣x）2，

解得x=3，

即BE=3；

②当∠CEF=90°时，如图2，

由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF= ×90°=45°，

∴四边形ABEF是正方形，

∴BE=AB=6，

综上所述，BE的长为3或6．

故答案为：3或6．

点评： 本题考查了翻折变化的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，此类题目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．

16．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等的实数根，则k的取值范围是k＞ 且k≠1．

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．

分析： 根据一元二次方程的定义和△的意义得到k﹣1≠0且△=4﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

解答： 解：根据题意得k﹣1≠0且△=4﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得k＞ ，

所以k的范围为k＞ 且k≠1．

故答案为k＞ 且k≠1．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

17．（3分）小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为（x+2）（ ﹣0.5）=12．

考点： 由实际问题抽象出分式方程．

分析： 关键描述语为：“每袋比周三便宜0.5元”；等量关系为：周日买的奶粉的单价×周日买的奶粉的总数=总钱数．

解答： 解：设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为：

（x+2）（ ﹣0.5）=12．

故答案为：（x+2）（ ﹣0.5）=12．

点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为24n﹣5．（用含n的代数式表示，n为正整数）

考点： 正方形的性质；一次函数图象上点 的坐标特征．

专题： 压轴题；规律型．

分析： 根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．

解答： 解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，

∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，

∵A（8，4），

∴第四个正方形的边长为8，

第三个正方形的边长为4，

第二个正方形的边长为2，

第一个正方形的边长为1，

…，

第n个正方形的边长为2n﹣1，

由图可知，S1= ×1×1+ ×（1+2）×2﹣ ×（1+2）×2= ，

S2= ×4×4+ ×（4+8）×8﹣ ×（4+8）×8=8，

…，

Sn为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，

第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2，

Sn= ?22n﹣2?22n﹣2=24n﹣5．

故答案为：24n﹣5．

点评： 本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影Sn所在的正方形和正方形的边长．

三、计算题（本题满分12分）

19．（1 2分）（1）解方程：x2+2 x﹣6=0

（2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中x2﹣9=0．

考点： 分式的化简求值；解一元二次方程-公式法．

分析： （1）根据公式法求出x的值即可；

（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．

解答： 解：（1）∵△=（2 ）2﹣4×1×（﹣6）=4 ，

∴x= ，即x1=﹣3 ，x2= ；

（2）原式= ﹣ ÷

= ?

= ?

= ，

∵x2﹣9=0，

∴x=3或x=﹣3，

当x=﹣3时原式无意义，

∴当x=3时，原式= =0．

点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

四、解答题（每小题12分，共24分）

20．（12分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．

（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？

（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．

（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．

考点： 游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．

分析： （1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案；

（2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，利用概率公式即可求得答案；

（3）分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，

∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为： = ；

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4种情况，

∴两个球上的数字之和为偶数的概率为： = ；

（3）∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有（1，2），（2，3），（2，1），（3，2），（3，4），（4，3）共6种情况，

∴P（甲胜）= ，P（乙胜）= ，

∴P（甲胜）=P（乙胜），

∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平．

点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

21．（12分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．

（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；

（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

考点： 根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

专题： 代数几何综合题．

分析： （1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1?x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；

（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．

解答： 解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，

∴x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5，

∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1?x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，

解得：m=﹣4或m=6；

当m=﹣4时原方程无解，

∴m=6；

（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，

∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，

解得：m=2，

∴方程变为x2﹣6x+9=0，

解得：x1=x2=3，

∵3+3＜7，

∴不能构成三角形；

②当7为腰时，设x1=7，

代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，

解得：m=10或4，

当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，

解得：x=7或15

∵7+7＜15，不能组成三角形；

当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，

解得：x=3或7，

此时三角形的周长为7+7+3=17．

点评： 本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．

五、解答题（22题10分，23题12分，共22分）

22．（10分）李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克蘑菇存放入冷库中，据预测，该品种蘑菇市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批蘑菇每天支付费用合记340元，且蘑菇在冷库中最多保存120天，同时平均每天有6千克蘑菇损坏不能出售．

（1）若存放x天后，将这一批蘑菇一次性出售，所得销售总金额为﹣3x2+940x+20000；

（2）李经理想获得22500元的利润，需将这批蘑菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 销售问题．

分析： （1）根据等量关系：销售金额=x天后能售出的香菇质量×售价，然后列式整理即可得解；

（2）根据利润=销售金额﹣成本，列出方程，然后解关于x的一元二次方程即可解得．

解答： 解：（1）存放x天后，将这一批蘑菇一次性出售，所得销售总金额为=×（10+0.5x）=﹣3x2+940x+20000（1≤x≤110，且x为整数）；

（2）获得利润22500元时，﹣3x2+940x+20000﹣340x﹣2000×10=22500，

整理得，x2﹣200x+7500=0，

解得x1=50，x2=150，

∵香菇在冷库中最多保存120天，

∴x=50天．

答：李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放50天后出售．

点评： 本题考查的是一元二次方程在实际生活中的应用，找出销售金额的等量关系是解题的关键．

23．（12分）小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图．

（1）图中a=8，b=280；

（2）求小明的爸爸下山所用的时间．

考点： 一次函数的应用．

专题： 数形结合．

分析： （1）根据图象可判断出小明到达山顶的时间，爸爸距离山脚下的路程．

（2）由图象可以得出爸爸上山的速度和小明下山的速度，再求出小明从下山到与爸爸相遇用的时间，再求出爸爸上山的路程，小与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．利用爸爸行的路程除以小明的速度就是所求的结果．

解答： 解：（1）由题可知图中a=8，b=280，

故答案为：8，280．

（2）由图象可以得出爸爸上山的速度是：280÷8=35米/分，

小明下山的速度是：400÷（24﹣8）=25米/分，

∴小明从下山到与爸爸相遇用的时间是：（400﹣280）÷（35+25）=2分，

∴2分爸爸 行的路程：35×2=70米，

∵小明与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．

∴小明和爸爸下山所用的时间：（280+70）÷25=14分．

点评： 本题考查函数的图象的知识，有一定的难度，解答此类题目的关键计算出小明下山的速度及爸爸上山的路程．

六、解答题（本题满分12分）

24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．

（1）求证：EF∥AC；

（2）求∠BEF大小；

（3）若EB=4，则△BAE的面积为2．

考点： 正方形的性质．

分析： （1）利用平行四边形的判定及其性质定理即可解决问题；

（2）作辅助线构造出一对全等三角形，利用等边三角形的判定及其性质即可解决问题；

（3）借助旋转变换将△BCG与△BAE拼接到一起，通过作辅助线求出△BHE的高，问题即可解决．

解答： 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AE∥CF，

又∵AE=CF，

∴四边形AEFC是平行四边形，

故EF∥AC．

（2）连接BG

∵四边形ABCD是正方形，且EF∥AC，

∴∠DEG=∠DAC=45°，∠DGE=∠DCA=45°；

故∠CFG=∠DEG=45°，∠CGF=∠DGE=45°，

∴∠CGF=∠CFG，CG=CF；

∵AE=CF，

∴AE=CG；

在△ABE与△CBG中，

，

∴△ABE≌CBG（SAS），

∴BE=BG；

又∵BE=EG，

∴BE=BG=EG，△BEG是等边三角形，

故 ∠BEF=60°．

（3）延长EA到M，使AH=CG ；过点M作MK⊥BE于点K；

∵△BEG是等边三角形，

∴∠EBG=60°，

∴∠ABE+∠CBG=90°﹣60°=30°；

在△ABM与△BCG中，

，

∴△ABM≌△BCG（SAS），

∴BM=BC=4，∠ABM=∠CBG；

故∠ABM+∠ABE=∠ABE+∠CBG=30°，

∴MK= ，

∴△BME的面积= ，△BAE的面积═ ．

点评： 考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其应用问题；解题的关键是通过作辅助线构造出全等三角形，结合等边三角形的判定及其性质来解决问题；对综合运用能力及探究思维能力提出了较高的要求．

七、解答题（本题满分12分）

25．（12分）如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD=∠BCE=90°，∠ABD=∠BEC=30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为AC=CN；

（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；

（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．

考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质．

分析： （1）首先证明△MEN≌△MDA，得BC=EN；然后证明△ABC≌△CEN，得到AC=CN；

（2）与（1）同理可证明结论仍然成立；

（3）当旋转角为60°时，△CAN能成为等腰直 角三角形，此时点A、B、C在一条直线上，点N、E、C在一条直线上．

解答： 解：（1）AC与CN数量关系为：AC=CN．理由如下：

∵△BAD≌△BCE，

∴BC=AD，EC=AB．

∵EN∥AD，

∴∠MEN=∠MDA．

在△MEN与△MDA中，

，

∴△MEN≌△MDA（ASA），

∴EN=AD，

∴EN=BC．

在△ABC与△CEN中，

，

∴△ABC≌△CEN（SAS），

∴AC=CN．

（2）结论仍然成立．理由如下：

与（1）同理，可证明△MEN≌△MDA，∴EN=BC．

设旋转角为α，则∠ABC=120°+α，

∠DBE=360°﹣∠DBA﹣∠ABC﹣∠CBE=360°﹣30°﹣（120°+α）﹣60°=150°﹣α．

∵BD=BE，

∴∠BED=∠BDE= （180°﹣∠DBE）=15°+ α．

∵EN∥AD，

∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE=60°+（15°+ α）=75°+ α．

∴∠CEN=∠CEB+∠BED+∠MEN=30°+（15°+ α）+（75°+ α）=120°+α，

∴∠ABC=∠CEN．

在△ABC与△CEN中，

，

∴△ABC≌△CEN（SAS），

∴AC=CN．

（3）△CAN能成为等腰直角三角形，此时旋转角为60°．如下图所示：

此时旋转角为60°或240°，点A、B、C在一条直线上，点N、E、C在一条直线上．

点评： 本题考查了图形的旋转变换．解题要点是由旋转性质得出旋转过程中不变的量，再利用全等三角形证明题设中的结论．

八、解答题（本题满分14分）

26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，以点A坐标为（6，0），点B坐标为（0，8），动点P从点A开始沿折线AO﹣OB﹣BA运动，点P在AO，OB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位，直线l从与OA重合的位置开始，以每秒 个单位的速度沿OB方向平行移动，即移动过程中保持l∥OA，且分别与OB，AB边交于E，F两点，同时出发，设运动时间为t秒，当点P与点F相遇时，点P和直线l同时停止运动．

（1）线段AB所在直线的表达式为y=﹣ x+8；点F横坐标为6﹣t（用t的代数式表示）；

（2）设△APE的面积为S（S≠0），请求出点P和直线l运动过程中S与t的函数关系式；

（3）在点P和直线l运动过程中，作点P关于直线l的对称点，记为点Q，若形成四边形PEQF是菱形，请直接写出t的值．

考点： 一次函数综合题．

分析： （1）根据待定系数法求一次函数，F与E的纵坐标相同，即可求得F的横坐标；

（2）此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段的运动速度，即可求得；

（3）此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求的一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得．

解答： 解：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得： ，

解得： ，

则直线AB的解析式是：y=﹣ x+8．

在解析式中，令y= t，则﹣ x+8= t，

解得：x=6﹣t；

（2）当0＜t≤2时（如图1），P在OA上，OA=3t，E的坐标是（0， t），则S= ×3t? t=2t2；

当 t=4（t﹣2），解得：t=3，

则2＜t＜3时，P和E都在OB上，且P在E的下边，则PE= t﹣4（t﹣2）=8﹣ t，

则S= （8﹣ t）×6=24﹣8t；

当3＜t＜4时，P和E都在OB上，且P在E的上边，且PE=4（t﹣2）﹣ t= t﹣8，

则S= （ t﹣8）×6=8t﹣24；

当t＞4时，当P在BA上时（如图2），则BP=5（t﹣4），作PM⊥y轴于点M．

则△BPM∽△BAO，

= ，

即 = = ，

解得：PM=3t﹣12，BM=4t﹣16．

当 t=8﹣（4t﹣16）时，t= ，即当t= 时，P和F重合，点P和直线l同时停止运动．

当4≤t≤ 时，S△AOE= OE?OA= × t×6=4t，S△BEP= ×（8﹣ t）×（3t﹣12）=﹣2t2+20t﹣48，S△OAB= ×6×8=24，

则S=24﹣4t﹣（﹣2t2+20t﹣48）=2t2﹣24t+72；

（3）当P在OA上时，当P在EF的中垂线上时，能构成菱形，此时OP= EF，即6﹣3t= （6﹣t），解得：t= ；

当P在P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；

当P在AB上时（如图2），PM= EF时，即3t﹣12= （6﹣t），解得：t= ．

点评： 此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了菱形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质，解题的关键要注意数形结合思想的应用，还要注意答案的不唯一性．