南京市秦淮区2015九年级数学下册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）

1．－12的倒数是

A．2 B．12 C．－2 D．－12

2．计算2x2÷x3的结果是

A．x B．2x C．x－1 D．2x－1

3．下列函数图像中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

4．□ABCD中，CE平分∠BCD．若BC＝10，AE＝4，则□ABCD的周长是

A．28 B．32

C．36 D．40

5．为了说明命题“当b＜0时，关于x的一元二次方程x2＋bx＋2＝0必有实数解”是假命题，可以举的一个反例是

A．b＝2 B．b＝3 C．b＝－2 D．b＝－3

6．如图，⊙O的半径为1，A为⊙O上一点，过点A的直线l交⊙O于点B，将直线l绕点A旋转180°，当AB的长度由1变为3时，l在圆内扫过的面积为

A．π6 B．π3

C．π3 或 π2＋3 D．π6 或 π2＋3 2

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）

7．某时刻在南京中华门监测点监测到PM 2.5的含量为65微克/米3，即0.000065克/米3，将0.000065用科学记数法表示为 ▲ ．

8．计算8－6×13 的值是 ▲ ．

9．如图，∠ECB＝92°，CD∥AB，∠B＝57°，则∠1＝ ▲ °．

10．根据不等式的基本性质，若将“6a＞2”变形为“6＜2a”，则a的取值范围为 ▲ ．

11．为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区20户家庭的月用水量，数据见下表：

月用水量/m3 8 9 10 11 12

户 数/个 3 4 6 4 3

这20户家庭平均月用水量是 ▲ m3．

12．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC＝90°，则∠A＝ ▲ °．

13．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB＝AD，点C在⊙O上，若∠C＝76°，则∠ABD＝ ▲ °．

14．如图，在菱形OABC中，点A的坐标是（3，1），点C的横坐标是2，则点B的坐标是 ▲ ．

15．如图，顺次连接一个正六边形各边的中点，所得图形仍是正六边形．若大正六边形的面积为S1，小正六边形的面积为S2，则 S1S2 的值是 ▲ ．

16.如图，△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDO＝90°，且点A在反比例函数

y＝kx（k＞0）的图像上，若OB2－AB2＝10，则k的值为 ▲ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）解不等式组2x－1＞－5，4－x3≥x＋12，并写出不等式组的整数解．

18．（6分）化简：1－a－2a÷a2－4a2＋a ．

19.（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）作AB的垂直平分线l，交AB于点D，连接CD，分别作∠ADC、∠BDC的平分线，交AC、BC于点E、F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证：四边形CEDF是矩形．

20.（8分）小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子， 其中2条为蓝色、1条为棕色．

（1）小明任意拿出1条裤子，是蓝色裤子的概率是 ▲ ；

（2）小明任意拿出1件上衣和1条裤子，求上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．

21．（8分）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生积极参加体育锻炼，某校九年级准备购买一批运动鞋供学生借用，现从九年级各班随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）接受随机抽样调查的学生人数为 ▲ ，图①中m的值为 ▲ ；

（2）在本次调查中，学生鞋号的众数为 ▲ 号，中位数为 ▲ 号；

（3）根据样本数据，若该年级计划购买100双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？

22．（8分）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年10000台提高到14400台．求该产品产量平均每年的年增长率．

23．（8分）如图，已知∠ABM＝37°，AB＝20，C是射线BM上一点．

（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是 ▲ ；（填写所有符合条件的序号）

① AC＝13；② tan∠ACB＝125； ③连接AC，△ABC的面积为126．

（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

24．（8分） 某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．

根据图像解答下列问题：

（1）洗衣机的进水时间是 ▲ 分钟，清洗时洗衣机中的水量是 ▲ 升；

（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升．

① 求排水时y与x之间的表达式；

② 洗衣机中的水量到达某一水位后13.9分钟又到达该水位，求该水位为多少升？

25．（8分）已知二次函数y＝(x－1) (x－a－1)（a为常数，且a＞0）．

（1）求证：不论a为何值，该二次函数的图像总经过x轴上一定点；

（2）设该函数图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，△ABC的面积为1．

①求a的值；

②D是该函数图像上一点，且点D的横坐标是m，若S△ABD＝ 18 S△ABC，直接写出m的值．

26．（9分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB⌒ 的中点，延长AC至点D，使AC＝CD，DB的延长线交CE的延长线于点F，AF交⊙O于点M，连接BM．

（1）求证：DB是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，E是OB的中点，求BM的长．

27．（11分）在一个三角形中，若一条边等于另一条边的两倍，则称这种三角形为“倍边三角形”．

（1）下列三角形是倍边三角形的是（ ▲ ）

A．顶角为30°的等腰三角形 B．底角为30°的等腰三角形

C．有一个角为30°的直角三角形 D．有一个角为45°的直角三角形

（2）如图①，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E是AB的中点．

求证：△DCE是倍边三角形；

（3）如图②，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝6，若点D在边AB上（点D不与A、B重合），且△BCD是倍边三角形，求BD的长．

南京市秦淮区2015九年级数学下册期中试卷(含答案解析)参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．

一、选择题（每小题2分，共计12分）

题号 1 2 3 4 5 6

答案 C D A B C D

二、填空题（每小题2分，共计20分）

7．6.5×10－5 8． 2 9．35 10．a＜0 11．10 12．55

13．38° 14．（5，1＋ 6） 15．43 16．5

三、解答题（本大题共11小题，共计88分）

17．（本题6分）

解：由①得，x＞－2．………………………………………………………… 2分

由②得，x≤1． ……………………………………………………… 4分

∴－2＜x≤1．…………………………………………………………… 5分

∴不等式组的整数解为－1，0，1．…………………………………… 6分

18．（本题6分）

解：原式＝1－a－2a?a(a＋1)(a＋2)( a－2) …………………………………………… 3分

＝1－a＋1a＋2 …………………………………………………………… 4分

＝1a＋2． ………………………………………………………………6分

19．（本题8分）

解：（1）画图正确．…………………………………………………………… 4分

（2）由题意得，点D是AB的中点．

∵∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝BD＝12AB. ……………………… 5分

在△ACD中，∵CD＝AD，ED平分∠ADC，

∴ED⊥AC．即∠CED＝90°．

同理∠DFC＝90°．……………………7分

∵∠ACB＝∠CED＝∠DFC＝90°，

∴四边形CEDF是矩形．…………… 8分

20．（本题8分）

解：（1）23．…………………………………………………………………… 2分

（2）小明任意拿出1件上衣和1条裤子，所有可能出现的结果有：红蓝、红蓝、红棕、蓝蓝、蓝蓝、蓝棕，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“上衣和裤子恰好都是蓝色’”（记为事件A）的结果有2种，所以P(A)＝13．…………………………………………………………… 8分

21．（本题8分）

解：（1）40，15．…………………………………………………………… 2分

（2）35，36．…………………………………………………………… 4分

（3）根据题意得：100×30%＝30（双），建议购买35号运动鞋30双．………8分

22．（本题8分）

解：设该产品产量平均每年的增长率为x．

由题意可得：10000(1＋x)2＝14400．……………………………………4分

解得：x1＝20%，x2＝－220%（舍去）．………………………………7分

答：该产品的该产品产量平均每年的增长率为20%．……………… 8分

23．（本题8分）

解：（1）②③（每个1分，多写不得分）…………………………………… 2分

（2）方案一：选②

作AD⊥BC于D，…………………………… 3分

则∠ADB＝∠ADC＝90°．

在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，

∴AD＝AB?sinB＝12，BD＝AB?cosB＝16．……………………………5分

在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，

∴CD＝ADtan∠ACB＝5．…………………………………………………7分

∴BC＝BD＋CD＝21．………………………………………………… 8分

方案二：选③

作CE⊥AB于E，则∠BEC＝90°．……………………………………3分

由S△ABC＝12AB?CE得CE＝12.6．………………………………………5分

在Rt△BEC中，∵∠BEC＝90°， ∴BC＝CEsinB＝21．……………………8分

24．（本题8分）

解：（1）4；40．………………………………………………………………… 2分

（2）①y＝40－19(x－15)，即y＝－19x＋325；……………………… 4分

②设洗衣机中的水量第一次到达某一水位的时间为x分钟，则第二次达到该水位时时间为(x＋13.9)分钟.

根据题意得10 x＝－19(x＋13.9)＋325．………………………… 6分

解得x＝2.1．……………………………………………………… 7分

此时y＝10×2.1＝21．答：该水位为21升．…………………………8分

25．（本题8分）

解：（1）令y＝0，则(x－1) (x－a－1)＝0．………………………………… 1分

解得x1＝1，x2＝1＋a．∴二次函数的图像与x轴的交点为(1，0)、(1＋a，0)．

∴不论a为何值，该二次函数的图像经过x轴上的定点(1，0)．………2分

（2）①由题意得，AB＝a， OC＝1＋a，（a＞0）

∴S△ABC＝12AB?OC＝12a(a＋1)． ∴12a(a＋1)＝1．…………………………… 4分

解得a1＝1，a2＝－2(舍去)．∵a＞0，∴a＝1． ………………………5分

（3）m＝3＋ 22或3－ 22或32.……………………………………………… 8分

26．（本题9分）

（1）证明：连接OC．

∵C是AB⌒ 的中点，∴∠COA＝12∠AOB＝90°．………………… 1分

∵AC＝CD，AO＝BO，∴CO是△ADB的中位线．

∴CO∥DB．……………………………………… 2分

∴∠ABD＝∠COA＝90°．

∴BD⊥OB．

又∵点B在⊙O上，

∴DB是⊙O的切线．…………………………………………………………4分

（2）解：∵CO∥DB，∴∠COE＝∠FBE，∠OCE＝∠BFE．

∵E是OB的中点，∴OE＝EB．∴△COE≌△FBE．…………………………5分

∴BF＝CO＝2．………………………………………………………………………………………6分

在Rt△ABF中，由勾股定理得，AF＝25． sin∠BAM＝BFAF＝55．

∵AB是直径，∴∠AMB＝90°．

在Rt△ABM中， sin∠BAM ＝BMAB＝55，∴BM＝455．……………………9分

27．（本题11分）

解：（1）C．……………………………………………………………………………2分

（2）∵BD＝AB＝AC，∴AD＝2AC．即ADAC＝2．

∵E是AB的中点，∴AB＝2AE．∴AC＝2AE．即ACAE＝2．………………3分

∴ADAC＝ACAE.又∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△AEC.∴CDCE＝ADAC＝2．

∴△DCE是倍边三角形．……………………………………………… 5分

（3）当BC＝2BD时，BD＝3．……………………………………………… 6分

当BC＝2CD时，如图①，

CD＝3，作CE⊥AB于E，

tanA＝CEAE＝BCAC＝2，设AE＝x，则CE＝2x，AC＝ 5x，

∴ 5x＝3．x＝35 5．

在△ACD中，∵CD＝AC＝3，CE⊥AB，

∴AD＝2 AE＝65 5．

∴BD＝AB－AD＝95 5．………………………………………………… 8分

当BD＝2CD时，如图②，作DF⊥BC于F，

tanB＝DFBF＝ACBC＝12，设DF＝y，则BF＝2y，BD＝ 5y，

∴CD＝ 52y，CF＝12y．

∵BC＝BF＋CF，∴6＝2y＋12y．

解得y＝125. BD＝125 5．

同理，当CD＝2BD时，DF＝2 19－45，BD＝2 95－4 55．

综上所述，BD＝3或95 5或125 5或2 95－4 55．…………………… 11分

（说明：最后一个答案保留6 5 19＋2不扣分）