葫芦岛市2015七年级数学下册期中测试卷(含答案解析)

一.选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题意的）

1． ﹣ 的绝对值是（）

A． ﹣ B． C． 2 D． ﹣2

考点： 绝对值．

分析： 根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．

解答： 解：|﹣ |= ，

故选：B．

点评： 本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．

2． 下列图形属于中心对称图形的是（）

A． B． C． D．

考点： 中心对称图形．

分析： 根据中心对称图形的定义即可作出判断．

解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；

B、不是中心对称图形，故选项错误；

C、是中心对称图形，故选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误．

故选C．

点评： 本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3． 从正面观察下面几何体，能看到的平面图形是（）

A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

解答： 解：从正面看易得第一层有1个正方形，在中间，

第二层从左到右有3个正方形．

故选A．

点评： 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

4． 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（）

A． B． C． D．

考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

分析： 先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．

解答： 解：解不等式①得：x＞﹣1；

解不等式②得：x≤2，

所以不等式组在数轴上的解集为：

故选C

点评： 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时"≥，≤"要用实心圆点表示；"＜，＞"要用空心圆点表示．

5． 张老师随机抽取6名学生，测试他们的打字能力，测得他们每分钟打字个数分别为：100，80，70，80，90，95，那么这组数据的中位数是（）

A． 80 B． 90 C． 85 D． 75

考点： 中位数．

分析： 根据中位数的概念求解．

解答： 解：这组数据按从小到大的顺序排列为：70，80，80，90，95，100，

则中位数为： =85．

故选C．

点评： 本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

6． 下列事件属于必然事件的是（）

A． 蒙上眼睛射击正中靶心

B． 买一张彩票一定中奖

C． 打开电视机 ，电视正在播放新闻联播

D． 月球绕着地球转

考点： 随机事件．

分析： 必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．

解答： 解：A、蒙上眼睛射击正中靶心是随机事件，故选项错误；

B、买一张彩票一定中奖是不可能事件，错误；

C、打开电视机，电视正在播放新闻联播是随机事件，故选项错误；

D、月球绕着地球转是必然事件，正确；

故选D

点评： 本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

7． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则 的长是（）

A． π B． π C． π D． π

考点： 弧长的计算；圆周角定理．

分析： 根据圆周角得出圆心角为90°，再利用弧长公式计算即可．

解答： 解：因为⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，

所以可得圆心角∠BOC=90°，

所以 的长= ，

故选B．

点评： 此题考查弧长公式，关键是根据圆周角得出圆心角为90°．

8． 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）

A． 60° B． 65° C． 55° D． 50°

考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理．

分析： 根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．

解答： 解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，

∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，

∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，

∴∠PDC+∠PCD= （∠BCD+∠CDE）=120°，

∴∠P=180°﹣120°=60°．

故选：A．

点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．

9． 已知k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）=0的两个根，且k＞b，则函数y=kx+b的图象不经过（）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 一次函数图象与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法．

分析： 首先利用因式分解法解一元二次方程求出k和b的值，然后判断函数y= x﹣ 的图象不经过的象限即可．

解答： 解：∵k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）=0的两个根，且k＞b，

∴k= ，b=﹣ ，

∴函数y= x﹣ 的图象不经过第二象 限，

故选B．

点评： 本题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是利用因式分解法求出k和b的值，此题难度不大．

10． 如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的 运动路程为x，△AE F的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）[来源:学科网ZXXK]

A． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象．

专题： 应用题．

分析： 分F在线段PD上，以及线段DQ上两种情况，表示出y与x的函数解析式，即可做出判断．

解答： 解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y= AEoAD=2x（0≤x≤2），

当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y= AEoAF= x（x﹣2）= x2﹣x（2＜x≤4），

图象为：

故选A

点评： 此题考查了动点问题的函数问题，解决本题的关键是读懂图意，得到相应y与x的函数解析式．

二.填空题（每小题3分，共24分）

11． 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 x≥0且x≠1　．

考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．

分析： 利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出即可．

解答： 解：∵ 有意义，

∴x≥0，x﹣1≠0，

∴实数x的取值范围是：x≥0且x≠1．

故答案为：x≥0且x≠1．

点评： 此题主要考查了二次根式有意义以及分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

12． 根据最新年度报告，全球互联网用户达到3 200 000 000人，请将3 200 000 000用科学记数法表示　3.2×109　．

考点： 科学记数法-表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值，由于3 200 000 000有10位，所以可以确定n=9．

解答： 解：3200000000=3.2×109，

故答案为：3.2×109．

点评： 本题考查学生对科学记数法的掌握，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．

13． 分解因式：4m2﹣9n2=　（2m+3n）（2m﹣3n）　．

考点： 因式分解-运用公式法．

分析： 直接利用平方差公式分解因式得出即可．

解答： 解：4m2﹣9n2=（2m+3n）（2m﹣3n）．

故答案为：（2m+3n）（2m﹣3n）．

点评： 此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．

14． 若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是　m＜ 　．

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．

分析： 据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，得出△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，从而求出m的取值范围．

解答： 解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，

∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，

∴m＜ ．

故答案为：m＜ ．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

15． 甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.8环，方差分别是：S甲2=1，S乙2=0.8，则射击成绩较稳定的是　乙　．（填"甲"或"乙"）

考点： 方差；算术平均数．

分析： 直接根据方差的意义求解．

解答： 解：∵S甲2=1，S乙2=0.8，1＜0.8，

∴射击成绩比较稳定的是乙，

故答案为：乙．

点评： 本题考查了方差：一组数 据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2= [（x1﹣x?）2+（x2﹣x?）2+…+（xn﹣x?）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好

16． 如图，在菱形ABCD中 ，AB=10，AC=12，则它的面积是　96　．

考点： 菱形的性质．

分析： 首先根据勾股定理可求出BO的长，进而求出BD的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．

解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵AC=12，

∴AO=6，

∵AB=10，

∴BO= =8，

∴BD=16，

∴菱形的面积S= ACoBD= ×16×12=96．

故答案为：96．

点评： 本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．

17． 如图，一次函数y=kx+2与 反比例函数y= （x＞0）的图象交于点A，与y轴交于点M，与x轴交于点N，且AM：MN=1：2，则k=　 　．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： 利用相似三角形的判定与性质得出A点坐标，进而代入一次函数解析式得出答案．

解答： 解：过点A作AD⊥x轴，

由题意可得：MO∥AO，

则△NOM∽△NDA，

∵AM：MN=1：2，

∴ = = ，

∵一次函数y=kx+2，与y轴交点为；（0，2），

∴MO=2，

∴AD=3，

∴y=3时，3= ，

解得：x= ，

∴A（ ，3），将A点代入y=kx+2得：

3= k+2，

解得：k= ．

故答案为： ．

点评： 此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及相似三角形的判定与性质等知识，得出A点坐标是解题关键．

18． 如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn﹣1的面积为　 　．

考点： 相似多边形的性质．

专题： 规律型．

分析： 根据已知和矩形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的面积．

解答： 解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD⊥DC，

∴AC= = = ，

∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，

∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为 ：2

∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，

∵矩形ABCD的面积=2×1=2，

∴矩形AB1C1C的面积= ，

依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4

∴矩形AB2C2C1的面积=

∴矩形AB3C3C2的面积= ，

按此规律第n个矩形的面积为：

故答案为： ．

点评： 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．

三.解答题

19．（10分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=3．

考点： 分式的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

解答： 解：原式= o = o = ，

当x=3时，原式=2．

点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（12分）某超市计划经销一些特产，经销前，围绕"A：绥中白梨，B：虹螺岘干豆腐，C：绥中六股河鸭蛋，D：兴城红崖子花生"四种特产，在全市范围内随机抽取了部分市民进行问卷调查："我最喜欢的特产是什么？"（必选且只选一种）．现将调查结果整理后，绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图．

请根据所给信息解答以下问题：

（1）请补全扇形统计图和条形统计图；

（2）若全市有280万市民，估计全市最喜欢"虹螺岘干豆腐"的市民约有多少万人？

（3）在一个不透明的口袋中有四个分别写上四种特产标记A、B、C、D的小球（除标记外完全相同），随机摸出一个小球然后放回，混合摇匀后，再随机摸出一个小球，则两次都摸到"A"的概率为　 　．

考点： 列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．

分析： （1）根据A的人数与所占的百分比列式求出随机抽取的总人数，再求出B的人数，最后补全两个统计图即可；

（2）用全市的总人数乘以B所占的百分比，计算即可得解；

（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．

解答： 解：（1）被抽查的总人数：290÷29%=1000，

B的人数：1000﹣290﹣180﹣120=410，

C所占的百分比：180÷1000=18%；

（2）280×41%=114.8（万人），

答：最喜欢"虹螺岘干豆腐"的市民约有114.8万人；

（3）根据题意作出树状图如下：

一共有16种情况，两次都摸到"A"的有1种情况，

所以P（A，A）= ．

故答案为： ．

点评： 本题考查了列表法和树状图法，扇形统计图和条形统计图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．（12分）如图，小岛A在港口B的北偏东50°方向，小岛C在港口B的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B出发向小岛A航行，经过5小时到达小岛A，这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向，求小岛A距离小岛C有多少海里？（最后结果精确到1海里， 参考数据： ≈1.1414， ≈1.732）

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．

分析： 过点B作BD⊥AC，垂足为点D，根据题意求出∠ABC和∠BAC的度数以及AB的长，再求出AD和BD的长，结合CD=BD，即可求出AC的长．

解答： 解：由题意得，∠ABC=25°+50°=75°，∠BAC=180°﹣70°﹣50°=60°，

∴在△ABC中，∠C=45°，

过点B作BD⊥AC，垂足为点D，

∵AB=20×5=100，

在Rt△ABD中，∠BAD=60°，

∴BD=ABsin60°=100× =50 ，

∴AD=ABcos60°=100× =50，

在Rt△BCD中，∠C=45°，

∴CD=BD=50 ，

∴AC=AD+CD=50+50 ≈137（海里），

答：小岛A距离小岛C约是137海里．

点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题的知识，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答，此题难度不大．

22．（12分）某中学要进行理、化实验加试，需用九年级两个班级的学生整理实验器材．已知一班单独整理需要30分钟完成．

（1）如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成任务，求二班单独整理这批实验器材需要多少分钟？

（2）如果一、二的工作效率不变，先由二班单独整理，时间不超过20分钟，剩余工作再由一班独立完成，那么整理完这批器材一班至少还需要多少分钟？

考点： 分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

分析： （1）设二班单独整理这批实验器材需要x分钟，则15（ + ）+ =1，求出x的值，再进行检验即可；

（2）设一班需要m分钟，则 + ≥1，求出m的取值范围即可．

解答： 解：（1）设二班单独整理这批实验器材需要x分钟，则15（ + ）+ =1，解得x=60．

经检验，x=60是原分式方程的根．

答：二班单独整理这批实验器材需要60分钟；

（2）方法一：设一班需要m分钟，则 + ≥1，解得m≥20，

答 ：一班至少需要20分钟．

方法二：设一班需要m分钟，则 + =1，解得m=20．

答：一班至少需要20分钟．

点评： 本题考查的是分式方程的应用，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．

23．（12分）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？

考点： 切线的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．

分析： （1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD即可；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，则四边形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解．

解答： 解：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O与AC相切于点D．

∴OD⊥AC，

∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠DAO=∠NAO，

∴OM=OD．

∴AB与⊙O相切；

（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．

∵O是BC的中点，

∴OB=2．

在直角△OBM中，∠MBO=60du6，

∴OM=OBosin60°= ，BM=OBocos60°=1．

∵BE⊥AB，

∴四边形OMBN是矩形．

∴ON=BM=1，BN=OM= ．

∵OF=OM= ，

由勾股定理得NF= ．

∴BF=BN+NF= + ．

点评： 本题考查了切线的性质与判定，以及等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是解决本题的关键．

24．（12分）小明开了一家网店，进行社会实践，计划经销甲、乙两种商品．若甲商品每件利润10元，乙商品每件利润20元，则每周能卖出甲商品40件，乙商品20件．经调查，甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元，这两种商品每周可各多销售10件．为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元．

（1）直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式：y甲=　10x+40　，y乙=　10x+20　；

（2）求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系式？如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的 ，那么当x定为多少元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大？

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）根据题意可以列出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式；

（2）根据每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的 ，列出不等式求出x的取值范围，根据题意列出二次 函数的解析式，根据二次函数的性质求出对称轴方程，得到答案．

解答： 解：（1）由题意得，y甲=10x+40；

y乙=10x+20；

（2）由题意得，

W=（10﹣x）（10x+40）+（20﹣x）（10x+20）

=﹣20x2+240x+800，

由题意得，10x+40≥ （10x+20）

解得x≤2，

W=﹣20x2+240x+800

=﹣20（x﹣6）2+1520，

∵a=﹣20＜0，

∴当x＜6时，y随x增大而增大，

∴当x=2时，W的值最大．

答：当x定为2元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大．

点评： 本题考查的是二次函数的应用，正确列出二次函数的关系式，掌握二次函数的性质是解题的关键．

25．（12分）在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．

（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；

（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，

（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．

考点： 四边形综合题．

分析： （1）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得∠HAD=90°，即可求得AG⊥GD，AG=GD；

（2）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得△HAD是等边三角形，即可证得AG⊥GD，AG= DG；

（3）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得△HAD是等腰三角形，即可证得DG=AGtan ．

解答： （1）AG⊥DG，AG=DG，

证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形DCEF是正方形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BC的中点，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DCF=90°，

∴∠DCB=90°，

∴∠ACD=45°，

∴∠ABH=∠ACD=45°，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS） ，

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∵∠BAH+∠HAC=90°，

∴∠CAD+∠HAC=90°，即∠HAD=90°，

∴AG⊥GD，AG=GD；

（2）AG⊥GD，AG= DG；

证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形DCEF是正方形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BC的中点，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60，

∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，

∴∠ABC=∠ACD=60°，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∴∠BAC=∠HAD=60°；

∴A G⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°，

∴tan∠DAG=tan30°= = ，

∴AG= DG．

（3）DG=AGtan ；

证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形DCEF是正方形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，

∵G是BC的中点，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中

∴△BGH≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，

∴BH=DC，

∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，

∴∠ABC=90°﹣ ，∠ACD=90°﹣ ，

∴∠ABC=∠ACD，

在△ABH和△ACD中

∴△ABH≌△ACD（SAS），

∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，

∴∠BAC=∠HAD=α；

∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG= ，

∴tan∠DAG=tan = ，

∴DG=AGtan ．

点评： 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，三角形求得的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质以及直角三角函数等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．

26．（14分）如图，直线y=﹣ x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+ x+c经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？

（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）首先根据直线y=﹣ x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y=ax2+ x+c经过B、C两点，求出ac的值是多少，即可求出抛物线的解析式．

（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，﹣ x2+ x+3），则点M的坐标是（x，﹣ x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．

（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．

解答： 解：（1）∵直线y=﹣ x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，

∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），

∵抛物线y=ax2+ x+c经过B、C两点，

∴

解得

∴y=﹣ x2+ x+3．

（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F， ，

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，

∴设点E的坐标是（x，﹣ x2+ x+3），

则点M的坐标是（x，﹣ x+3），

∴EM=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+ x，

∴S△ABC=S△BEM+S△MEC

=

= ×（﹣ x2+ x）×4

=﹣ x2+3x

=﹣ （x﹣2）2+3，

∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．

（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．

①如图2， ，

由（2），可得点M的横坐标是2，

∵点M在直线y=﹣ x+3上，

∴点M的坐标是（2， ），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∴ AM= = ，

∴AM所在的直线的斜率是： ；

∵y=﹣ x2+ x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+ x+3），

则

解得 或 ，

∵x＜0，

∴点P的坐标是（﹣3，﹣ ）．

②如图3， ，

由（2），可得点M的横坐标是2，

∵点M在直线y=﹣ x+3上，

∴点M的坐标是（2， ），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∴AM= = ，

∴AM所在的直线的斜率是： ；

∵y=﹣ x2+ x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+ x+3），

则

解得 或 ，

∵x＞0，

∴点P的坐标是（5，﹣ ）．

③如图4， ，

由（2），可得点M的横坐标是2，

∵点M在直线y=﹣ x+3上，

∴点M的坐标是（2， ），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∴AM= = ，

∵y=﹣ x2+ x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+ x+3），

则

解得 ，

∴点P的坐标是（﹣1， ）．

综上，可得

在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，

点P的坐标是（﹣3，﹣ ）、（5，﹣ ）、（﹣1， ）．

点评： （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．

（2）此题还考查了函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．

（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．