2013-07-04
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编者小语:奥数题往往从结构到解法都充满着神奇的魅力,易于小学生尝到探索的乐趣,而在探索解题方法的过程中,小学生又亲身体验到数学思想的博大精深和数学方法的创造力,因此对学习数学产生进一步的向往。查字典数学网为大家准备了小学五年级奥数题,希望小编整理的五年级奥数题及参考答案:抽屉原理问题2,可以帮助到你们,助您快速通往高分之路!!
例3 证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数。
分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质,如果两个整数a、b,它们除以自然数m的余数相同,那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质,本题只需证明这8个自然数中有2个自然数,它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数,根据抽屉原理,必有两个数在同一个抽屉中,也就是它们除以7的余数相同,因此这两个数的差一定是7的倍数。
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类,叫做m的剩余类或同余类,用[0],[1],[2],…,[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数,例如[1]中含有1,m+1,2m+1,3m+1,….在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理,可以证明:任意n+1个自然数中,总有两个自然数的差是n的倍数。
在有些问题中,“抽屉”和“苹果”不是很明显的,需要精心制造“抽屉”和“苹果”.如何制造“抽屉”和“苹果”可能是很困难的,一方面需要认真地分析题目中的条件和问题,另一方面需要多做一些题积累经验。
例4 从2、4、6、…、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34。
分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉:
凡是抽屉中有两个数的,都具有一个共同的特点:这两个数的和是34。
现从题目中的15个偶数中任取9个数,由抽屉原理(因为抽屉只有8个),必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点,这两个数的和是34。
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