提炼数学教学经验是进行数学教学效率研究的有效途径。数学教学经验的表达与提炼需要跨学科的知识。提炼的方法有3种。

1、借用或创造核心概念和概念框架，使数学教学经验概念化。2、研究内隐学习与外显学习的关系，并通过对教学过程的反思，使处于意识阈下呈前意识与潜意识状态的数学教学经验活跃起来，跳到阈上，使隐性的数学教学经验显性化。3、数学教学经验叙事化。疲劳战抑制了前意识与潜意识的活动，阻碍了隐性的数学教学经验显性化。因此，减轻数学教师的过重负担，是使隐性的数学教学经验显性化的前提条件。

成功数学教师的数学教学经验是构建高效率数学教与学基本理论的重要资源。现代数学教育的许多新观念和理论都是对优质数学教育实践提炼和升华的结果。

教师的教育经验虽然最初来源于教师的个人教育实践，但由于它是经过教师多次实践检验和无数次成功案例的积累，有其合理的内核和一定的理论背景(尽管教师本人可能未意识到)，甚至有些还润育着一些新理论的胚胎与幼苗，而且这些经验都具有极鲜明的直接为教育实践服务的特点，因此，一旦它上升到理论，成为公共教育知识，就有较大的指导教育实践的价值和作用。

通过教育科研的方法，探索优秀教师的教学经验中隐含的数学教育规律，并将其提炼上升到理论，再为广大的数学教育工作者所掌握，就能大面积的提高数学教育质量与数学教学效率。因此，提炼数学教学经验是大面积提高数学教育质量和进行数学教学效率研究的有效途径。

优秀教师的教学经验是教育理论产生的源泉，是学校教育的一大财富。如何对教师的教学经验进行提炼，使其上升为教育理论，为广大教师的教学服务，这是值得教育理论工作者和广大教师认真研究的一个问题。本文就此问题作一些探讨。

1、教学经验提炼的必要条件

不少优秀教师说：“我的数学教学是高效率的，在教学实践中我也很清楚地知道该怎样做，但若问为什要这样做?其背后有什么理论支撑?导致高效率的数学教学的决定因素是什么和为什么?就总是道不明说不清楚。”把自己的数学教学经验表达不清楚，提炼不出来，这是很多优秀教师长期的苦恼。为什么教师自己的教学经验会处于“会做不会说”“只可意会，难以(或不能)表达”的状态?怎样才能得心应手地从自己的数学教学经验中提炼出数学教学理论并清晰地表达出来?这是由于：

1.1、数学教学经验的提炼需要一定教育理论的支撑

数学教学经验已不是纯粹的数学知识，而是数学与心理学、哲学、逻辑学、脑科学、教育学、文学等多学科整合的知识。因此，对数学教学经验的提炼就需要用跨学科的知识。例如,我在教学单位圆时,强调了角的终边与单位圆交点的坐标是(COSα,sinα)，而学生们在以后的学习中就总会习惯性的把角的终边上任意一点坐标都写成(COSα,sinα)。学生们为什么产生这样的错觉呢?这显然用纯粹数学知识无法表达学生产生错觉的心理过程和原因。而要用数学以外的心理学知识来分析。再如，我们在进行高三复习课的听课中发现，许多复习课都存在桌效率不高的现象，我原先在进行高考复习时有一套成功的高考复习经验，这就促使我要把这种经验进行总结提炼并上升为理论去指导全区的高三复习。这就需要综合运用教育学、心理学、教学论、学习论和系统论等学科的理论知识去进行总结提炼。

一些数学老师数学知识丰富,但心理学等相关学科知识缺乏，因此，对涉及需要跨学科知识的数学教育经验，就感到缺乏或找不到能够恰当表达的理论和语言。

1.2、数学教学经验的提炼需要一定的归纳概括能力

对教学经验进行提来，除了要具有一定的理论知识作支撑外，还需要有一定的归纳概括

能力。具有一定的理论基础可以看出教学经验的价值，概括能力则是把教学经验的内核与隐含的理论总结概括出来，以通俗易懂的形式进行表述，形成理论成果。

2、数学教学经验概念化是从数学教学经验中提炼数学教育理论的一种基本方式

2.1、数学教学经验的概念化

数学教学经验是由一些纷繁杂乱的数学教育现象、教育事实和教育行为构成的一个动态变化的复杂的融合体。当我们敏感到一些有研究意义的教育现象和问题时，我们就可以去努力寻找一个或几个相应的核心概念来标识和表达我们的教学经验。当一个或几个核心概念不足以完整地表达数学教学经验时，往往还需要运用一些子概念和相应的范畴来构筑概念系统或概念框架，因为“单个概念只有在与其相关的概念框架体系内才能获得其准确的意义。”构筑概念框架实质上是建立起一个研究和解决问题的基本模型，作为帮助我们探究、分析和解决问题的思想支架，帮助我们看清实践中的问题，预示或找到解决实践问题的有效办法。运用这个合理的概念框架把教育实践中的问题放大，把问题的症结、要害或本质、原理、要领看得更加清楚和明白，澄清误解，消除曲解，加深对教育的认识和理解，探索正确的行动策略。正是在这种解释教学现象的过程中，我们不断地积累，澄清和表达着我们的教学经验，实现着教学经验向教育理论的升华。这种寻找核心概念、构筑概念框架(体系)，并用它作为帮助我们探究、分析和解决数学教育问题的思想支架(基本模型)去看清问题的症结、本质和原理，并用它标识，表达和解释数学教育现象的全过程，称为数学教育经验的概念化。它既是使数学教育经验走向数学教育理论的一种表达方式，又是一种简约化的机制，它可以帮助我们从存在各种纷繁杂乱的事实和现象的数学教学经验中确定问题的范围和核心所在“缩小包围圈”，在思想和行为上从繁杂纷乱中寻觅简单，建立起秩序，从而找到事物内部的本质特征和必然规律。因此，它还是一种探求数学教育理论的思想方法。因此，数学教学经验概念化是从数学教学经验中提炼数学教育理论的一种基本形式。

数学教育核心概念及其概念框架，可以从已有的概念中移植，借用和改造，也可以创造性地提出。下面举一个借用和一个创造核心概念及其概念框架的精典例子来说明数学教学经验概念化。

3.2借用

近年来，美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中发展起来一种APOS理论，对数学概念的学习过程进行解释。杜宾斯基认为，学生学习数学概念要经历四个阶段：

操作(Action),过程(Process),对象(Object),概型(Scheme)取这四个阶段英文单词的第一个字母，定名为APOS，理论模型。

APOS理论集中于对特定的数学概念学习过程的研究，对数学概念所特有的思维形式。“过程和对象的双重性”做出了切实分析。它揭示了数学概念学习的本质。它是解释数学学习心理活动的核心概念和概念框架。

“熟能生巧”是我国传统的教学经验。它既是许多优生勤奋努力，在国际考试中名列前茅的经验，也是造成“大运动量训练”的“题海战”、“疲劳战”使许多师生负担不堪承受，效率低下，挫伤学生学习兴趣，抑制学生的创造性和积极性的根源。李士奇教授就借用APOS这个核心概念和概念框架作为分析学生数学概念学习的思维活动过程的思想支架，对“熟能生巧”这一传统的教学经验进行了再反思，对数学概念学习的心理活动作了形象的描述、独到的分析，提炼出了数学概念学与教的重要启示，形成了新的数学教育理论。李士奇在1996年发表论文“熟能生巧”吗?成为我国率先达到世界领先水平的数学教育科研成果，迅速地融入到国际数学教育研究的主流之中。这一科研成果，对提高数学教学效率具有的作用，将会日益突出地显示出来。

3.3创造

我国和国际上的数学教育学都还正在创建之中，没有充足的核心概念和概念框架供我们选择使用，所以，我们在提炼数学教学经验时，要创造核心概念和概念框架。

例如：在数学命题学习中，当学生学习了一个命题，特别是学习了一组命题后，往往不会灵活应用这些命题，产生这一现象的原因是什么?数学命题学习是怎样使教材上静态的知识活化的?如何构建良好的数学认知结构?如何反映数学学习优生与差生数学认知结构的差异?如何从数学命题学习的经验中提炼和表征数学命题学习特有的心理现象和规律?

针对上述问题和现象研究的需要，2002年喻平教授和单尊教授创造了数学学习心理的CPFS结构理论;概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称为CPFS结构。以CPFS结构作为提炼数学命题学习经验的概念框架。对命题学习是怎样灵活起来的心理活动作了生动的描述，合理地解释了上述教育现象和现实。

我们子课题组在学习资料(一)和(二)中编印了李士奇和喻平的系列论文，正是为了给优秀数学教师提供数学教学经验的提炼的典例资料，以利于老师们学习和借鉴。这是我国数学教育研究最前沿的科研成果。如果我们能用APOS理论和CPFS结构理论对我们的教学经验进行提炼，或者自己创造出核心概念和概念框架来提炼数学教学经验，我们就走到了我国数学教育科研的最前沿，这也是我们课题研究所期望的。

4、隐性经念的显性化

4.1隐性的数学教学经验显性化

英国物理化学家、哲学家波兰尼在1959年提出：人类的知识有两种：“显性知识”和“隐性知识”。显性知识是指用“书面文字、图表和数学公式表述了的知识”，即是“显性”的，“明确”的，“言明的知识”。也称为“明确知识”。隐性知识，是指尚未被言语或者其他形式表述的知识。即是“尚未言明的”，“难以言传的”、尚处于“缄默”状态的知识。因此，隐性知识又被称为“缄默知识”或“默会知识”和“默然知识”。

1967年美国心理学家Reber提出人类学习的两种模式：外显学习和内隐学习。外显学习是，当环境刺激以某种结构出现时，人们会试图了解和掌握这种结构，并有意识地利用这种知识对环境刺激作出反应。这是一种需要通过意志、努力、策略使用完成学习的过程。内隐学习是，当人们在没有意识到(刺激呈现的强度低于意识觉知的界限或门坎--意识阈)环境刺激潜在结构的情况下由于个体反复暴露于刺激环境，已经获得的刺激或环境信息印迹自动在意识阈下(无意识水平)经过与个体已有经验的复杂整合，形成了极具个人性的、抽象的隐性知识。或者是，相关经验在经历当时由于各种原因没有进入主体意识，(例如，心理学家赫尔巴特认为：任何时候占意识中心的观念只容许与它自己可以和谐的观念出现在意识阈之上，而将与它不和谐的观念抑制下去，降入到意识阈之下，呈无意识状态)，但这种经验对主体以后的自我保护、环境适应意义重大，主体自动登录了它，予以编码，加工、储存在意识阈下，呈前意识状态或潜意识状态。日后遭遇类似的环境，便自动激活，跳跃到意识阈之上，影响主体的判断和行为。这是主体无意识习得环境中复杂知识的过程，是主体通过附带感知潜移默化地学习的过程。

隐性知识与显性知识是什么关系呢?波兰尼说：人类任何显性知识都植根于隐性知识之中，都依赖于隐性知识的存在，都必须有隐性知识的支撑。”“在许多情景中隐性知识是人类知识的内核和内容，而显性知识只是在内核上赋予了可以表述和转达的外型”。精神分析创始人S.Freud设想;人的心理活动好比浮在海面的冰山，意识阈就是水面，它是有意识与无意识的分界面。露出水面的部分是有意识心理部分，体积仅占整个冰山的一小部份，有意识心理之下是前意识部分，通常它处于意识的直接觉知之外。但如果主体(通过反思或类似情景设置)把注意焦点集中到这一部分，相应的知识经验可能被唤起到达意识层面。如同潮涨潮落，时而大块冰山凸现水面，时而又大部隐于水下。前意识再往下，是更庞大，更隐蔽的潜意识。

从上述我们可以看出，意象明晰，说得清楚的数学教学经验是显性知识。意象模糊，若隐若现，难以言明的数学教学经验是隐性知识。对属于隐性知识的数学教学经验的提炼，首先须要通过对教学过程的反思，努力回忆某种不明所以的直觉获得的过程，借助于背景信息的丰富性，激活记忆网络相近节点的相关信息，使模糊的直觉印象上升到意识层面;或借助于熟悉情景的记忆痕迹激活，使与事件相关的直觉印象易于上升到意识层面。隐性的数学教学经验显性化的实质，是前意识与潜意识的工作。是通过对数学教学过程的反思，使处于意识阈下的教学经验活跃起来，跳跃到阈上，使无意识状态变为有意识状态，使意象模糊的数学教学经验变为明晰清楚的意象，然后再从中寻觅导致高效率数学教学的决定性因素。

4.2减轻数学教师的过重负担，是使数学教学经验显性化的前堤条件

隐性的数学教学经验显性化的实质是前意识与潜意识的工作。没有前意识与潜意识的活动，隐性的数学教学经验就不可能显性化。对“精神高度集中后，思想放松状态下前意识与潜意识形成的过程”。我国的人们常只强调“精神高度集中”而忽略“思想放松状态”。但是，当精神高度集中到使人疲劳时，是觉察不到前意识与潜意识的活动的。只有在思想放松到疲劳完全消除，睡眠充足之后，前意识与潜意识思维活动才能开动起来充分展现，并被人所觉察到，人们才能及时抓住它。疲劳战使我国数学教师长期处于无休止的思想过度疲劳和睡眠严重不足之中，毫无“思想放松状态”。抑制了前意识与潜意识的活动，阻碍了隐性的数学教学经验显性化。因此，减轻数学教师的过重负担，是使隐性的数学教学经验显性化的前堤条件。

5、数学教学经验的案例

教师讲述自己数学教学教育的故事的过程，就是由教师本人“反思”和“叙述”自己在教学中所遭遇到的一系列教育事件。透过对教育事件的反思和叙述，教师澄清、积累、提炼自己的经验。