本文题目：高二数学教案：函数的极值与最值

23.函数的极值与最值

一、课前准备：

【自主梳理】

1.若函数f(x)在点x0的附近恒有 (或 )，则称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值)，称点x0为极大值点(或极小值点).

2.求可导函数极值的步骤：

①求导数 ;

②求方程 的根;

③检验 在方程 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极 值;如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极 值.

3.求可导函数最大值与最小值的步骤：

①求y=f(x)在[a,b]内的极值;

②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。

【自我检测】

1.函数 的极大值为 .

2.函数 在 上的最大值为 .

3.若函数 既有极大值又有极小值，则 的取值范围为 .

4.已知函数 ，若对任意 都有 ，则 的取值范围是 .

(说明：以上内容学生自主完成，原则上教师课堂不讲)

二、课堂活动：

【例1】填空题：

(1)函数 的极小值是__________.

(2)函数 在区间 上的最小值是________ ;最大值是__________.

(3)若函数 在 处取极值，则实数 = _.

(4)已知函数 在 时有极值0，则 = _.

【例2】设函数 .

(Ⅰ)求 的最小值 ;

(Ⅱ)若 对 恒成立，求实数 的取值范围.

【例3】如图6所示，等腰 的底边 ，高 ，点 是线段 上异于点 的动点，点 在 边上，且 ，现沿 将 折起到 的位置，使 ，记 ， 表示四棱锥 的体积.

(1)求 的表达式;

(2)当 为何值时， 取得最大值?

课堂小结

三、课后作业

1.若 没有极值，则 的取值范围为 .?

2.如图是 导数的图象，对于下列四个判断：?

① 在[-2，-1]上是增函数;?

② 是 的极小值点;?

③ 在[-1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数;?

④ 是 的极小值点.?

其中判断正确的是 .?

3.若函数 在(0，1)内有极小值，则 的取值范围为 .

4.函数 ,在x=1时有极值10，则 的值为 .

5.下列关于函数 的判断正确的是 .

①f(x)0的解集是{x|0

②f(- )是极小值，f( )是极大值;?

③f(x)没有最小值，也没有最大值.?

6.设函数 在 处取得极值，则 的值为 .

7.已知函数 ( 为常数且 )有极值9，则 的值为 .

8.若函数 在 上的最大值为 ，则 的值为 .

9.设函数 在 及 时取得极值.

(Ⅰ)求a、b的值;

(Ⅱ)若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围.

10.已知函数 ,求函数在[1，2]上的最大值.

四、纠错分析

错题卡 题 号 错 题 原 因 分 析

参考答案：

【自我检测】

1.7 2. 3. 4.

例1：(1)0 (2)1， (3)3 (4)11

例2：解：(Ⅰ) ，

当 时， 取最小值 ，

即 .

(Ⅱ)令 ，

由 得 ， (不合题意，舍去).

当 变化时 ， 的变化情况如下表：

递增 极大值

递减

在 内有最大值 .

在 内恒成立等价于 在 内恒成立，

即等价于 ，

所以 的取值范围为 .

例3：解：(1)由折起的过程可知，PE平面ABC， ，

V(x)= ( )

(2) ，所以 时， ，V(x)单调递增; 时 ，V(x)单调递减;因此x=6时，V(x)取得最大值 ;

课后作业

1.[-1，2] 2.②③ 3.0

5.?①② 6.1 7.2 8.

9.解：(Ⅰ) ，

因为函数 在 及 取得极值，则有 ， .

即

解得 ， .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， ，

.

当 时， ;

当 时， ;

当 时， .

所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， .

则当 时， 的最大值为 .

因为对于任意的 ，有 恒成立，

所以 ，

解得 或 ，

因此 的取值范围为 .

10.解： ∵ ，

令 ,即 ,得 .?

f(x)在(-,0), 上是减函数，在 上是增函数.?

①当 ,即 时, 在(1，2)上是减函数,? .

②当 ,即 时, 在 上是减函数,

? .

③当 ,即 时, 在 上是增函数,?

.

综上所述，当 时， 的最大值为 ,?

当 时， 的最大值为 ,

当 时， 的最大值为 .