一、选择题(每小题2分，共24分)

1.下面关于 的方程：① ;② ;③ ;

④ ;⑤ .其中是一元二次方程的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

2.(2013河南中考)方程 的解是( )

A. B. C. D.

3.(2013山东潍坊中考)已知关于 的方程 ，下列说法正确的是( )

A.当 时，方程无解

B.当 时，方程有一个实数解

C.当 时，方程有两个相等的实数解

D.当 时，方程总有两个不相等的实数解

4.若 ，则 的值是( )

A.2 B.3 C.-2或3 D.2或-3

5.(2013四川泸州中考)若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围为( )

A. B.

C. D.

6.(2013安徽中考)目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发 放的资助金额的平均增长率为 ，则下面列出的方程中正确的是( )

A. B.

C. D.

7.利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是 ，则第二

季度共生产零件( )

A.100万个 B.160万个 C.180万个 D.182万个

8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 ，则平均每次降价的百分率

是( )

A. B. C. D.

9.关于 的一元二次方程 的根的情况是( )

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.无法确定

10.已知 分别是三角形的三边长，则方程 的根的情况是()

A.没有实数根B.有且只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

11.(2013浙江丽水中考)一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个 一元一次方程是 ，则另一个一元一次方程是( )

A. B. C. D.

12.(2013兰州中考)用配方法解方程 时，配方后所得的方程是( )

A. B. C. D.

二、填空题(每小题3分，共 18分)

13.(2013天津中考)一元二次方程 的两个实数根中较大的根是 .

14.已知关于 的方程 的一个根是-1，则 _______.

15.(2013兰州中考)若 ，且一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 .

16.若 是关于 的一元二次方程，则 的值是________.

17.若 且 ，则一元二次方程 必有一个定根，它是_______.

18.若长方形的长是 ，宽为 ，一个正方形的面积等于该长方形的面积，则正方形的边长 是_______.

三、解答题(共78分)

19.(10分)在实数范围内定义运算 ，其法则为： ，求方程(4 3) 的解.

20.(10分)求证：关于 的方程 有两个不相等的实数根.

21.(10分)在长为 ，宽为 的长方形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原 长方形面积的80%，求所截去的小正方形的边长.

22.(10分)若方程 的两根是 和 ，方程 的正根是 ，试判断以 为边长的三角形是否存在?若存在，求出它的面积; 若不存在，说明理由.

23.(10分)(2013四川乐山中考)已知关于 的一元二次方程 .

(1)求证：方程有两个不相等的实数根;

(2)若△ 的两边 的长是这 个方程的两个实数根，第三边 的长为5，当

是等腰三角形时，求 的值.

24.(14分)(2013广东中考)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了一方有难，八方支援赈灾捐 款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率.

(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款?

25.(14分)李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为里程11千米，应收29.10元.该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价 .

里程(千米)

价格(元)

第23章 一元二次方程检测题参考答案

1.B 解析：方程①与 的取值有关;方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程;方程③是分式方程;方程④的二次项系数经过配方后可化为 ，不论 取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程;方程⑤不是整式方程，也可排除.故一元二次方程仅有2个.

2.D 解析：由 ，得 或 ，解得 .

3.C 解析：本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用.当 时，原方程变为一元一次方程 ，该方程的解是 ，故A项错误;当 时，原方程变为一元二次方程 ，方程有两个不相等的实数解： ，故B项错误;当 时，原方程为一元二次方程， ，方程总有两个实数解，当且仅当 时，方程有两个相等的实数解，故C项正确，D项错误.

4.C 解析：根据方程的特点可考虑用换元法求值.设 ，则原方程可化为

，解得 .

5.D 解析：因为一元二次方程 有两个不相等的实数根，所以 ，且 ，解得 且 .

6.B 解析：由每半年发放的资助金额的平均增长率为 ，得去年下半年发放给每个经济困难学生 元，今年上半年发放给每个经济困难学生 元.根据关键语句今年上半年发放了438元可得方程 .

7.D 解析：五月份生产零件 (万个)，六月份生产零件 (万个)， 所以第二季度共生产零件 (万个)，故选D.

8.A 解析：设平均每次降价的百分率为 ，由题意得 ，所以 ，所以 (舍去)， ，所以平均每次降价的百分率为

9.A 解析：因为

所以方程有两个不相等的实数根.

10.A解析：因为 ，

又因为 分别是三角形的三边长，所以 ，

所以 ，所以方程没有实数根.

11.D 解析：将 两边开平方，得 ，则另一个一元一次方程是 ，故选D.

12.D 解析：移项，得 .配方，得 ，即 ，故选D.

13. 解析：方程的两根是 ，所以较大的根是 .

14. 解析：把 代入方程，得 ，则 ，所以 .

15. 且 解析：因为 ， ，又 ，

所以 ， ，即 ， ，所以 ， ，

所以一元二次方程 变为 .

因为 有实数根，所以 ，解得 .

又因为 ，所以 且 .

16.-3或1 解析：由 得 或 .

17.1 解析：由 ，得 ，原方程可化为 ，

解得 .所以一元二次方程 的一个定根为1.

18. cm 解析：设正方形的边长为 cm，则 ，解得 ，由于边长不能为负，所以 舍去，故正方形的边长为 cm.

19.解：∵ ， .

. . .

20.证明：∵ 恒成立，

方程有两个不相等的实数根.

21.解：设小正方形的边长为 .

由题意，得 ，

整理，得 解得

所以截去的小正方形的边长为 .

22.解：不存在.理由：解方程 ，得 .

方程 的两根是 .

所以 的值分别是 .

因为 ，所以以 为边长的三角形不存在.

23.(1)证明：∵ ，

方程有两个不相等的实数根.

(2)解：一元二次方程 的解为 ，

即 .

当 ，且 时，△ 是等腰三角形，则 ;

当 ，且 时，△ 是等腰三角形，则 ，解得 .

所以 的值为5或4.

24.解：(1)设捐款增长率为 ，根据题意列方程，得 ，

解得 (不合题意，舍去).

答：捐款增长率为10%.

(2) (元).

答：第四天该单位能收到 元捐款.

25.解：依题意，得 ，

整理，得 ，解得 .

由于 ，所以 舍去，所以 .

答：起步价是10元.