一、选择题(每小题3分，共30分)

1.(2013湖南湘潭中考)下列命题正确的是()

A.三角形的中位线平行且等于第三边

B.对角线相等的四边形是等腰梯形

C.四条边都相等的四边形是菱形

D.相等的角是对顶角

2.有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数;②一个实数的立方根不是正数就是负数;

③无理数包括正无理数、0、负无理数;④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l或0.其中错误的个数是()

A.1 B. 2 C.3 D.4

3.下 列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )

A .一组对角相等 B.对角线互相平分

C.一组对边相等 D.对角线互相垂直

4.(2013四川攀枝花中考)下列命题错误的是( )

A.菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半

B.矩形的对角线相等

C.有两个角相等的梯形是等腰梯形

D.对角线相等的菱形是正方形

5.若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是( )

A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

6.如图，在 中， 的垂直平分线分别交 于点 ， 交 的延长线于点 ，已知 则四边形 的面积是()

A. B. C. D.

7.(2013四川遂宁中考)如图，在 中， 90， 30，以点 为圆心，任意长为半径画弧分别交 于点 和 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数 是( )

① 是 的平 分线;② 60③点 在 的中垂线上;④

.

A.1 B.2 C.3 D.4

8.用反证法证明在 中，若 ，则 ，第一步应假设()

A. B. C. D.

9.如图，将一个长为 ，宽为 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的

连线(虚线)剪下，将剪下的部分打开，得到的菱形的面积为( )

A. B. C. D.

10.如图，是一张矩形纸片 ， ，若将纸片沿 折叠，使 落在 上，点 的对应点为点 .若 ，则 ()

A. B. C. D.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.如图，在四边形 中，已知 ，再添加一个条件___________(写出一个即可)，则四边形 是平行四边形.(图形中不再添加辅助线)

12.命题：如果 那么 的逆命题是________________，该命题是_____命题(填真或假).

13.如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ，若再补充一个条件能使菱形 成为正方形，则这个条件是 .(只填一个 条件即可)

14.如图，在 中, ， 分别是 和 的角平分线，且 ， ，则 的周长是_______ .

15.如图，矩形 的对角线 ， ，则图中五个小矩形的周长之和为_______.

16.如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ， ，则上底 的长是_______ .

17.(2013山东莱芜中考改编)下列命题是真命题的是 .

① 与 互为倒数;②若 ，则 ;③梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半.

18 .写一个与直角三角形有关的 定理 .

三、解答题(共66分)

19.(6分)如图，在 中， 两点分别在 和 上，求证： 不可能互相平分.

20.(8分)已知 是整数， 能被3整除，求证： 和 都能

被3整除.(用反证法证明)

21.(8分)如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点 ， 过点 且分别交 于点 .求证： .

22.(10分)如图，在 中， , 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，点 在 上，且 .

⑴求证：四边形 是平行四边形.

⑵当 满足什么条件时，四边形 是菱形?并说明理由.

23.(10分)如图，在平行四边形 中， 是对角线 上的两点，且 .求证: .

24.(12分)如图， ， 是 上一点， 于点 ， 的延长线 交 的延长线于点 .求证： 是等腰三角形.

25.(12分)如图，在 中， ，垂足为 ， 是 外角 的平分线， ，垂足为 .

(1)求证：四边形 为矩形.

(2)当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形?并给出证明.

第2章 命题与证明检测题参考答案

1.C 解析：因为三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以选项A错误;因

为对角线相等的四边形还有矩形等，所以选项B错误;因为相等的角有很多，不一定都是

对顶角，所以选项D错误.故选C.

2.D 解析：①开方开不尽的数是无理数，但无理数就是开方开不尽的数是错误的，例如 ，故①错误;②一个实数的立方根不光是正数、负数，还可能是0，故②错误;③无理数包括正无理数和负无理数，不包括0，故③错误;④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l，0或 ，故④错误.故选D.

3.B 解析：利用平行四边形的判定定理知B正确.

4.C 解析：直角梯形有两个角相等，都是90，但它不是等腰梯形，故选项C是错误的.

5.C 解析：由四边形的两条对角线相等，知顺次连接该四边形各边中点所得的四边形的四条边相等，即所得四边形是菱形.

6.A 解析：∵ 是 的垂直平分线， 是 的中点， ，

， 四边形 是矩形.

∵ ， ， ， ，

，

， 四边形 的面积为 .

7.D 解析：①根据作图的过程可知， 是 的平分线，故①正确.

②因为在△ 中， 90， 30，所以 60.

又因为 是 的平分线，所以 30，

所以 90 60，故②正确.

③因为 30，所以 ，所以点 在 的中垂线上，故③正确.

④因为在 中， 30,所以 ，

所以 ，所以 .

因为 ，

所以 ，

所以 ，故④正确.

综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个，故选D.

8.D 解析： 与60的大小关系有 ， ， 三种情况，因而 的反面是 .因此用反证法证明 时，应先假设 .故选D.

9.A 解析：由题意知 ， ，

10.A 解析：由折叠的性质知 ，则四边形 为正方形，

.

11. 或 或 (答案不唯一)

12.如果 ，那么 假 解析：根据题意知，命题如果 ，那么 的条件是 ，结论是 ，故逆命题是如果 ，那么 ，该命题是假命题.

13. (或 ， 等)

14.5 解析：∵ 分别是 和 的角平分线，

， .

∵ ， ， ， ，

， ， ，

的周长 .

15.28 解析：由勾股定理得 ，又 ，所以 ，

所以五个小矩形的周长之和为 .

16.2 解析： .

∵ 在等腰梯形 中， ，

.

∵ , .

.

17. ①② 解析：对于③，因为 ，其中 分别是梯形上底的长、下底的长及高，而梯形中位线 ，所以 ，即梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积.

18.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 解析：本题是一道开放型题目，只要保证命题是真命题即可.

19.证明：假设 可以互相平分，如图，

连接 ，则四边形 是平行四边形，

，这与 相矛盾.

不可能互相平分.

20.证明：如果 不都能被3整除，那么有如下两种情况：

(1) 两数中恰有一个能被3整除，

不妨设 能被3整除， 不能被3整除，

令 ( 都是整数)，

于是 ，

不能被3整除，与已知矛盾.

(2) 两数都不能被3整除，令 ( 都是整数)，则

，

不能被3整除，与已知矛盾.

由此可知， 都是3的倍数.

21.证明：∵ 四边形 是平行四边形， ，

，故 .

22.(1)证明：由题意知 ， ， .

∵ ， .

又∵ ， ， ， 四边形 是平行四边形 .

(2)解：当 时，四边形 是菱形 .理由如下：

∵ ， .∵ 垂直平分 ， .

又∵ ， ， ， 平行四边形 是菱形.

23.证明:∵ 四边形 是平行四边形,

.

在 和 中， ，

， .

24.证明：∵ ， .

∵ 于点 ， ，

. .

∵ ， . △ 是等腰三角形.

25.(1)证明：在△ 中， ， ， .

∵ 是△ 外角 的平分线，

， .

又∵ ， ， ，

四边形 为矩形.

(2)解：给出正确条件即可.

例如，当 时，四边形 是正方形.

∵ ， 于点 ， .

又∵ ， .

由(1)知四边形 为矩形， 矩形 是正方形.