Ⅰ、综合问题精讲：

代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题.

Ⅱ、典型例题剖析

【例1】(温州，12分)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AEAC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且，EM切⊙O于M。

⑴ △ADC∽△EBA;⑵ AC2=BC

⑶如果AB=2，EM=3，求cotCAD的值。

解:⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，CDA=ABE，

∵，DCA=BAE，

△CAD∽△AEB

⑵ 过A作AHBC于H(如图)

∵A是中点，HC=HB=BC，

∵CAE=900，AC2=CHCE=BCCE

⑶∵A是中点，AB=2，AC=AB=2，

∵EM是⊙O的切线，EBEC=EM2 ①

∵AC2=BCCE，BCCE=8 ②

①+②得：EC(EB+BC)=17，EC2=17

∵EC2=AC2+AE2，AE=

∵△CAD∽△ABE，CAD=AEC，

cotCAD=cotAEC=

点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的.此题表现的非常突出.如，将CAD转化为AEC就非常关键.

【例2】(自贡)如图 2-5-2所示，已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，BAC=90○。过C作CDx轴，D为垂足.

(1)求点 A、B的坐标和AD的长;

(2)求过B、A、C三点的抛物线的解析式。

解：(1)在y=2x+2中

分别令x=0，y=0.

得 A(l，0)，B(0，2).

易得△ACD≌△BAO，所以 AD=OB=2.

(2)因为A(1，0)，B(0，2)，且由(1)，得C(3,l).

设过过B、A、C三点的抛物线为

所以

所以

点拨：此题的关键是证明△ACD≌△BAO.

【例3】(重庆，10分)如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.

(1) 求直线AB的解析式;(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似?

(3) 当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位?

解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b

由题意，得 解得

所以，直线AB的解析式为y=-x+6.

(2)由AO=6， BO=8 得AB=10

所以AP=t ，AQ=10-2t

1 当APQ=AOB时，△APQ∽△AOB.

所以 = 解得 t=(秒)

2 当AQP=AOB时，△AQP∽△AOB.

所以 = 解得 t=(秒)

(3)过点Q作QE垂直AO于点E.

在Rt△AOB中，SinBAO==

在Rt△AEQ中，QE=AQSinBAO=(10-2t)=8 -t所以，S△APQ=APQE=t(8-t)

=-+4t= 解得t=2(秒)或t=3(秒).

(注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分)

点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①APQ=AOB=90○②APQ=ABO.这样，就得到了两个时间限制.同时第(3)问也可以过P作 PEAB.

【例4】(南充，10分)如图2-5-7，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC上有一个动点P(不包括点A和点C).设AP=x，四边形PBCD的面积为y.

(1)写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围.

(2)有人提出一个判断：关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数.请你说明此判断是否正确，并说明理由.

解：(1)过动点P作PEBC于点E.

在Rt⊿ABC中，AC=10， PC=AC-AP=10-x.

∵ PEBC，ABBC，⊿PEC∽⊿ABC.

故 ，即

⊿PBC面积=

又⊿PCD面积=⊿PBC面积=

即 y，x的取值范围是0

(2)这个判断是正确的.

理由：由(1)可得，⊿PAD面积=

⊿PBC面积与⊿PAD面积之和=24.

点拨：由矩形的两边长6,8.可得它的对角线是10，这样PC=10-x，而面积y是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC、△PCD.这样问题就非常容易解决了.

Ⅲ、综合巩固练习

(100分 90分钟)

1、如图2-5-8所示，在直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为A (0，)，B(-1，0)、C(0，1)中，若△DEF各顶点坐标分别为D(，0)、E(0，1)、F(0，-1)，则下列判断正确的是( )

A.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90○得到;

B.△DEF由△ABC绕O点逆时针旋转90○得到;

C.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转60○得到;

D.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转120○得到

2.如图2-5-9,已知直线 y=2x+1与x轴交于A点，与y轴交于B点，直线y=2x1与x轴交于C点，与y轴交于D点，试判断四边形ABCD的形状.

3.如图2-5-10所示，在矩形ABCD中，BD=20，ADAB，设ABD=，已知sin是方程25z2-35z+ 12=0的一个实根.点E、F分别是BC、DC上的点，EC+CF=8，设BE=x，△AEF面积等于y.

⑴ 求出y与x之间的函数关系式;

⑵ 当E、F两点在什么位置时y有最小值?并求出这个最小值.

4.(10分)如图2-5-11所示，直线y=-x+ 4与x 轴、y轴分别交于点M、N.

(1)求M、N两点的坐标;

(2)如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线y=-x+ 4相切，求点P的坐标.

5.(10分)如图2-5-12所示，已知等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作PEBC.垂足为E;过点E作EFAC，垂足为F;过点F作FQAB，垂足为Q.设BP=x，AQ=y.

⑴ 写出y与x之间的函数关系式;

⑵ 当BP的长等于多少时，点P与点Q重合;

⑶ 当线段 PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围(不必写出解题过程)

6.(12分)如图2-5-13所示，已知A由两点坐标分另为(28，0)和(0，28)，动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动，动直线 EF从 x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动(即EF∥x轴)并且分别交y轴，线段AB交于E、F点.连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒.

⑴ 当t=1秒时，求梯形OPFE的面积，t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少?

⑵ 当梯形OPFE的面积等于△APF的面积时，求线段 PF的长.

⑶ 设t的值分别取t1，t2时(t1t2)，所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2 ，试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断.

7.(12分)如图2-5-14所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点，A的坐标为(1，0)，对角线的交点P的坐标为(，1)

⑴ 写出B、C、D三点的坐标;

⑵ 若在AB上有一点 E作，入过 E点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线l的解析式;

⑶ 若过C点的直线将矩形ABCD的面积分为4：3两部分，并与y轴交于点M，求过点C、D、M三点的抛物线的解析式.

8.(10分)已知矩形ABCD在平面直角坐标系中，顶点A、B、D的坐标分别为A(0，0)，B(m，0)，D(0，4)其中m0.

⑴ 写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标(用含m的代数式表示)

⑵ 若一次函数y=kx-1的图象把矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此一次函数的解析式(用含m的代数式表示)

⑶ 在⑵的前提下，又与半径为1的⊙M相切，且点 M(0，1)，求此矩形ABCD的中心P点的坐标.

9.(10分)如图2-5-15所示，等边三角形ABC的边长为6，点D、E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2，若点F从点B开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O.

⑴ 设△EGA的面积为S，写出S与 t的函数解析式;

⑵ 当t为何值时，AB

⑶ 请你证明△GFH的面积为定值.

10. (10分)如图2-5-16，在矩形ABCD中，AB=10。cm，BC=8cm.点P从A出发，沿ABCD路线运动，到D停止;点Q从D出发，沿DCBA路线运动，到A停止，若点P、点Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，a s时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/s，点Q的速度变为d cm/s，图 2-5-17是点 P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图象;图2-5-18是点Q出发xs后面AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图象.

⑴ 参照图2-5-17，求a、b及图中c的值;

⑵ 求d的值;

⑶ 设点P离开点A的路程为y1(cm)，点Q到点A还需走的路程为y2(cm)，请分别写出动点 P、Q改变速度后，y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数解析式，并求出P、Q相遇时x的值.

⑷ 当点Q出发_______s时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm.