练习一

1、(2005年盐城)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图(1)所示：

∵AOC是⊿ABO的外角

AOC=ABO+BAO

又∵OA=OB

OAB=OBAAOC=2ABO

即ABC=

AOC

如果ABC的两边都不经过圆心，如图(2)、(3),那么结论会怎样?请你说明理由.

2、课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大.

初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大.为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：

⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1).

若ACB=90，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式(不必写出x的取值范围)，并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少?

方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2).

若ABC=120，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小.

⑵假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大.画出你设计的草图，标上必要的数据(不要求写出解答过程).

3(绵阳)如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3.

(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系?(不必证明)

(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明;

(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件?证明你的结论;

(4)类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.

4.（江苏）取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1);

第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为

，得Rt△A

E，如图(2);

第三步：沿EB`线折叠得折痕EF，如图(3)。

利用展开图(4)探究：

(1)△AEF是什么三角形?

(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由。

5、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CGBC)，取线段AE的中点M。

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);(2)在你经历说明(1)的过程之后，可以从下列① 、 ② 、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分;选取②完成证明得7分;选取③完成证明得5分。

①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE;

②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45(如图2)，

其他条件不变;③在②的条件下且CF=2AD。

附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图3)，其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

例2(连云港)如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在

处，两直角边分别与

轴平行，纸板的另两个顶点

恰好是直线

与双曲线

的交点.

(1)求

和

的值;

(2)设双曲线

在

之间的部分为

，让一把三角尺的直角顶点

在

上

滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段

交于

两点，请探究是否存在点

使得

，写出你的探究过程和结论.

知识点：

解：(1)∵

在双曲线

上，

∥

轴，

∥

轴，

A，B的坐标分别

，

.

又点A，B在直线

上，

解得

或

当

且

时，点A，B的坐标都是

，不合题意，应舍去;

当

且

时，点A，B的坐标分别为

,

,符合题意.

且

.

(2)假设存在点

使得

.

∵

∥

轴，

∥

轴，

∥

，

，Rt

∽Rt

,

,

设点P坐标为

(1

，

.又

，

，即

(※)

∵

.方程(※)无实数根.

所以不存在点

使得