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2013湖北圆中考数学题解析

一、选择题

1. (2016湖北黄石3分)如图所示，扇形AOB的圆心角为120，半径为2，则图中阴影部分的面积为【 】

A. B. C. D.

【答案】A。

【考点】扇形面积的计算，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理。

【分析】过点O作ODAB，

∵AOB=120，OA=2，

。

OD= OA= 2=1， 。

，

。故选A。

2. (2016湖北黄石3分)如图所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于

点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动.当APB的度数最大时，则ABP的度数为【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】切线的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】连接BD，

∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，ADB=90。

∵当APB的度数最大时，点P和D重合，APB=90。

∵AB=2，AD=1， 。ABP=30。

当APB的度数最大时，ABP的度数为30。故选B。

3. (2016湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图，在Rt△ABC中，C=90，A=30，AC=6cm，CDAB于D，以C为圆心，CD为半径画弧，交BC于E，则图中阴影部分的面积为【 】

A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2

【答案】A。

【考点】扇形面积的计算，解直角三角形。

【分析】∵A=30，AC=6cm，CDAB，

B=60，BCD=30，CD=3cm，BD= cm，

。

阴影部分的面积为： cm2。故选A。

4. (2016湖北宜昌3分)已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】直线与圆的位置关系。1419956

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交d

线l和⊙O相离r(d为直线与圆的距离，r为圆的半径)。因此，

∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，

∵53，即：d

5. (2016湖北恩施3分)如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【 】

A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm

【答案】C。

【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。

【分析】如图，连接OC，AO，

∵大圆的一条弦AB与小圆相切，OCAB。AC=BC= AB

∵OA=5cm，OC=4cm，

在Rt△AOC中， 。

AB=2AC=6(cm)。故选C。

6. (2016湖北咸宁3分)如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为【 】.

A. 2 B. 23 C. 2 D. 23

【答案】A。

【考点】正多边形和圆，多边形内角和定理，等边三角形的判定和性质，切线的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，扇形面积。

【分析】∵六边形ABCDEF是正六边形，AOB=60。

又∵OA0OB，△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2。

设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OGAB，

OG=OAsin60=2 。

。故选A。

7. (2016湖北黄冈3分)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CDAB 于E，已知CD=12，则⊙O 的直径为【 】

A. 8 B. 10 C.16 D.20

【答案】D.

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】连接OC，根据题意，CE= CD=6，BE=2.

在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x-2，(x-2)2+62=x2，解得：x=10。

直径AB=20。故选D.

8. (2016湖北随州4分)如图，AB是⊙O的直径，若BAC=350，则么ADC=【 】

A.350 B.550 C.700 D.1100

【答案】B。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。

【分析】∵AB是⊙O的直径，ACB=90(直径所对的圆周角是直角)。

∵BAC=35，B=90BAC=90-35=55(直角三角形两锐角互余)

∵B与ADC是 所对的圆周角，

ADC=B=55(同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等)。故选B。

9. (2016湖北襄阳3分)△ABC为⊙O的内接三角形，若AOC=160，则ABC的度数是【 】

A.80 B.160 C.100 D.80或100

【答案】D。

【考点】圆周角定理。1028458

【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案ABC的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得ABC的度数：

如图，∵AOC=160，ABC= AOC= 160=80。

∵ABC+ABC=180，ABC=180﹣ABC=180﹣80=100。

ABC的度数是：80或100。故选D。

15.10. (2016湖北鄂州3分)如下图OA=OB=OC且ACB=30，则AOB的大小是【 】

A.40 B.50 C.60 D.70

【答案】C。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵OA=OB=OC，A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。

作⊙O。

∵ ACB和AOB是同弧 所对的圆周角和圆心角，且ACB=30，

根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得AOB=60。故选C。

二、填空题

1. (2016湖北荆门3分) 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F.已知A(2，0)，B(1，2)，则tanFDE= ▲ .

【答案】 。

【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。

【分析】连接PB、PE.

∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，PBBC，PEOA。

∵BC∥OA，B、P、E在一条直线上。

∵A(2，0)，B(1，2)，AE=1，BE=2。 。

∵EDF=ABE，tanFDE= 。

2. (2016湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(0，2)，半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为 ▲ .

【答案】( ，0)或( ，0)。

【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。

【分析】分别从⊙M与⊙N内切或外切去分析：

①⊙M与⊙N外切，MN=4+1=5， ，

圆心N的坐标为( ，0)。

②⊙M与⊙N内切，MN=4﹣1=3， ，

圆心N的坐标为( ，0)。

综上所述，圆心N的坐标为( ，0)或( ，0)。

3. (2016湖北咸宁3分)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度

线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半

圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 ▲ 度.

【答案】140。

【考点】圆周角定理。

【分析】连接OE，

∵ACB=90，点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上。

EOA=2ECA。

∵ECA=235=70，

AOE=2ECA=270=140，即点E在量角器上对应的读数是140。

4. (2016湖北孝感3分)把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积是

▲ (结果不取近似值).

【答案】3000。

【考点】圆柱的计算。

【分析】∵底面是边长为20cm的正方形，其内切圆的半径为10cm。

这个圆柱底面积为100cm2。这个圆柱体积为10030=3000(cm3)。

5. .(2016湖北襄阳3分)如图，从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60的扇形ABC，

并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 ▲ dm.

【答案】1。

【考点】圆锥的计算，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆锥的侧面展开图弧长与圆锥的底面周长的关系。1028458

【分析】如图，作ODAC于点D，连接OA，

OAD=30，AC=2AD，AC=2OAcos30=6。

。

根据圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长得，圆锥的底面圆的半径=2(2)=1。

三、解答题

1. (2016湖北武汉8分)在锐角△ABC中，BC=5，sinA= 4 5.

(1)如图1，求△ABC外接圆的直径;

(2)如图2，点I为△ABC的内心，BA=B C，求AI的长。

【答案】解：(1)作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD。

则CBD=900，A。

。

∵BC=5， 。

△ABC外接圆的直径为 。

(2)连接BI并延长交AC于点H，作IEAB于点E。

∵BA=BC，BHAC。IH=IE。

在Rt△ABH中，BH=ABsinBDH=4， 。

∵ ， ，即 。

∵IH=IE， 。

在Rt△AIH中， 。

【考点】三角形外心和内心的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD，由直径所对圆周角是直角的性质得CBD=900，由同圆中同弧所对圆周角相等得A，从而由已知 ，根据锐角三角函数定义即可求得△ABC外接圆的直径。

(2)连接BI并延长交AC于点H，作IEAB于点E，由三角形内心的性质和角平分线的判定

和性质，知IH=IE。在Rt△ABH中，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3，从而由 求得 。在Rt△AIH中，应用勾股定理求得AI的长。

2. (2016湖北荆门10分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m.设油罐横截面圆心为O，半径为5m，D=56，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据：sin530.8，tan561.5，3，结果保留整数)

【答案】解：如图，连接AO、BO.过点A作AEDC于点E，过点O作ONDC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F.则OFAB.

∵OA=OB=5m，AB=8m，

AF=BF= AB=4(m)，AOB=2AOF，

在Rt△AOF中， ，

AOF=53，AOB=106。

∵ (m)，由题意得：MN=1m，FN=OM-OF+MN=3(m)。

∵四边形ABCD是等腰梯形，AEDC，FNAB，AE=FN=3m，DC=AB+2DE。

在Rt△ADE中， ，DE=2m，DC=12m。

(m2)。

答：U型槽的横截面积约为20m2。

【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。

【分析】连接AO、BO.过点A作AEDC于点E，过点O作ONDC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OFAB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由 即可得出结果。

3. (2016湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田8分)如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分ACD.

(1)求证：CD是⊙O的切线;(2)若AC=2，BC=3，求AB的长.

【答案】(1)证明：过O点作OECD，垂足为E，

∵AC是切线，OAAC。

∵CO平分ACD，OECD，ACO=ECO，CAO=CEO，

又∵OC=OC，△ACO≌△ECO(AAS)。OA=OE。

CD是⊙O的切线。

(2)解：过C点作CFBD，垂足为F，

∵AC，CD，BD都是切线，AC=CE=2，BD=DE=3。

CD=CE+DE=5。

∵CAB=ABD=CFB=90，四边形ABFC是矩形。

BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1。

在Rt△CDF中，CF2=CD2﹣DF2=52﹣12=24，AB=CF=2 。

【考点】切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)过O点作OECD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。

(2)过点D作DFBC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，从而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，可得出AB的长度。

4. (2016湖北宜昌8分)如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为 的中点.

(1)求证：OF∥BD;

(2)若 ，且⊙O的半径R=6cm.

①求证：点F为线段OC的中点;

②求图中阴影部分(弓形)的面积.

【答案】(1)证明：∵OC为半径，点C为 的中点，OCAD。

∵AB为直径，BDA=90，BDAD。OF∥BD。

(2)①证明：∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，OF= BD。

∵FC∥BD，FCE=DBE。

∵FEC=DEB，△ECF∽△EBD，

，FC= BD。

FC=FO，即点F为线段OC的中点。

②解：∵FC=FO，OCAD，AC=AO，

又∵AO=CO，△AOC为等边三角形。

根据锐角三角函数定义，得△AOC的高为 。

(cm2)。

答：图中阴影部分(弓形)的面积为 cm2。

【考点】圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。

【分析】(1)由垂径定理可知OCAD，由圆周角定理可知BDAD，从而证明OF∥BD。

(2)①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为△ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点;

②根据S阴=S扇形AOC﹣S△AOC，求面积。

5. (2016湖北恩施12分)如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB.

(1)求证：BC是⊙O的切线;

(2)连接AF，BF，求ABF的度数;

(3)如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半径.

【答案】解：(1)证明：连接OB，

∵OB=OA，CE=CB，

OBA，CEB=ABC。

又∵CDOA，

AED=CEB=90。

OBA+ABC=90。OBBC。

BC是⊙O的切线。

(2)连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CDOA，

△OAF是等边三角形。

AOF=60。

ABF= AOF=30。

(3)过点C作CGBE于点G，由CE=CB，

EG= BE=5。

易证Rt△ADE∽Rt△CGE，

sinECG=sinA= ，

。

。

又∵CD=15，CE=13，DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得 ，即 ，解得 。

⊙O的半径为2AD= 。

【考点】等腰(边)三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】(1)连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明OBC=90即可证明BC是⊙O的切线。

(2)连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出ABF的度数。

(3)过点C作CGBE于点G，由CE=CB，可求出EG= BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。

6. (2016湖北咸宁9分)如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC.

(1)已知AB=18，BC=6，求弦CD的长;

(2)连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置?试说明理由.

【答案】解：(1)∵BF与⊙O相切，BFAB。

又∵BF∥CD，CDAB。

又∵AB是直径，CE=ED。

连接CO，设OE=x，则BE=9-x。

由勾股定理得： ，

即 ，解得 。

。

(2)∵四边形BDCF为平行四边形，BF=CD。

而 ， 。

∵BF∥CD， △AEC∽△ABF。 。点E是AB的中点。

【考点】切线的性质，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质。相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由BF与⊙O相切，根据切线的性质，可得BFAB，又由BF∥CD，易得CDAB，由垂径定理即可求得CE=DE，然后连接CO，设OE=x，则BE=9-x，由勾股定理即可求得OE的长，从而求得CD的长。

(2)由四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可CD=BF，又由△AEC∽△ABF，即可求得点E是AB的中点。

7. (2016湖北荆州9分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m.设油罐横截面圆心为O，半径为5m，D=56，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据：sin530.8，tan561.5，3，结果保留整数)

【答案】解：如图，连接AO、BO.过点A作AEDC于点E，过点O作ONDC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F.则OFAB.

∵OA=OB=5m，AB=8m，

AF=BF= AB=4(m)，AOB=2AOF，

在Rt△AOF中， ，

AOF=53，AOB=106。

∵ (m)，由题意得：MN=1m，FN=OM-OF+MN=3(m)。

∵四边形ABCD是等腰梯形，AEDC，FNAB，AE=FN=3m，DC=AB+2DE。

在Rt△ADE中， ，DE=2m，DC=12m。

(m2)。

答：U型槽的横截面积约为20m2。

【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。

【分析】连接AO、BO.过点A作AEDC于点E，过点O作ONDC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OFAB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由 即可得出结果。

8. (2016湖北荆州12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE.已知tanCBE= ，A(3，0)，D(﹣1，0)，E(0，3).

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线;

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由;

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0

【答案】解：(1)∵抛物线经过点A(3，0)，D(﹣1，0)，设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1)。

将E(0，3)代入上式，解得：a=﹣1。

抛物线的解析式为y=-(x﹣3)(x+1)，即y=﹣x2+2x+3。

又∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，点B(1，4)。

(2)证明：如图1，过点B作BMy于点M，则M(0，4).

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

2=45， 。

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

MEB=MBE=45， 。

BEA=180﹣1﹣MEB=90。

AB是△ABE外接圆的直径。

在Rt△ABE中， ，BAE=CBE。

在Rt△ABE中，BAE+3=90，CBE+3=90。CBA=90，即CBAB。

CB是△ABE外接圆的切线。

(3)存在。点P的坐标为(0，0)或(9，0)或(0，﹣ )。

(4)设直线AB的解析式为y=kx+b.

将A(3，0)，B(1，4)代入，得 ，解得 。

直线AB的解析式为y=﹣2x+6。

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x= ，F( ，3)。

情况一：如图2，当0

则ON=AD=t，过点H作LKx轴于点K，交EF于点L.

由△AHD∽△FHM，得 ，即 ，解得HK=2t。

= 33﹣ (3﹣t)2﹣ t2t=﹣ t2+3t。

情况二：如图3，当

由△IQA∽△IPF，得 .即 ，

解得IQ=2(3﹣t)。

= (3﹣t)2(3﹣t)﹣ (3﹣t)2= (3﹣t)2= t2﹣3t+ 。

综上所述： 。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。

【分析】(1)已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。

(2)过B作BMy轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得BEA=90，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得，能求出tanBAE的值，结合tanCBE的值，可得到CBE=BAE，由此证得CBA=CBE+ABE=BAE+ABE=90，从而得证。

(3)在Rt△ABE中，AEB=90，tanBAE= ，sinBAE= ，cosBAE= 。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。

①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。

由D(﹣1，0)、E(0，3)，得OD=1、OE=3，

即tanDEO= =tanBAE，

即DEO=BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。

因此 O点是符合条件的P1点，坐标为(0，0)。

②DE为短直角边时，P2在x轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似DEP2=AEB=90sinDP2E=sinBAE= 。

而DE= ，则DP2=DEsinDP2E= =10，OP2=DP2﹣OD=9。

即P2(9，0)。

③DE为长直角边时，点P3在y轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，

则EDP3=AEB=90cosDEP3=cosBAE= 。

则EP3=DEcosDEP3= ，OP3=EP3﹣OE= 。即P3(0，﹣ )。

综上所述，得：P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，﹣ )。

(4)过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形;当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。

9. (2016湖北黄冈8分)如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB 为直径作半圆⊙O，交AC 于点D.连结DB，

过点D 作DEBC，垂足为点E.

(1)求证：DE 为⊙O 的切线;

(2)求证：DB2=ABBE.

【答案】证明：(1)连接OD、BD，则ADB=90(圆周角定理)，

∵BA=BC，CD=AD(三线合一)。

又∵AO=BO，OD是△ABC的中位线。

OD∥BC。

∵DEB=90，ODE=90，即ODDE。

DE为⊙O的切线。

(2)∵BED=BDC =900，EBD=DBC，

△BED∽△BDC， 。

又∵AB=BC， 。BD2=ABBE。

【考点】切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接OD、BD，根据圆周角定理可得ADB=90，从而得出点D是AC中点，判断出OD是△ABC的中位线，利用中位线的性质得出ODE=90，这样可判断出结论。

(2)根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD2=BCBE，将BC替换成AB即可得出结论。

10. (2016湖北十堰10分)如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且CBD=BAC，OD交⊙O于点E.

(1)求证：BD是⊙O的切线;

(2)若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;

(3)作CFAB于点F，连接AD交CF于点G(如图2)，求 的值.

【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到BCA=90，则ABC+BAC=90，

而CBD=BA，得到ABC+CBD=90，即OBBD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切

线。

(2)连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是BOE=60，又因为AC∥OD，则OAC=60，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。

(3)由CFAB得到AFC=OBD=90，而OD∥AC，则CAF=DOB，根据相似三角形的

判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有 ，即 ，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则 ，即 ，然后求FG与FC的比即可。

11. (2016湖北孝感10分))如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、

BN于点D、C，DO平分ADC.

(1)求证：CD是⊙O的切线;

(2)若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R.

【答案】解：(1)证明：过O点作OECD于点E，

∵AM切⊙O于点A，OAAD。

又∵DO平分ADC，OE=OA。

∵OA为⊙O的半径，OE为⊙O的半径。

CD是⊙O的切线。

(2)过点D作DFBC于点F，

∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，

ABAD，ABBC。

四边形ABFD是矩形。AD=BF，AB=DF。

又∵AD=4，BC=9，FC=9-4=5。

∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，

DA=DE，CB=CE。DC=AD+BC=4+9=13。

在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2， 。

AB=12。⊙O的半径R是6。

【考点】切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质。

【分析】(1)过O点作OECD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。

(2)过点D作DFBC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，从而可得出半径。

12. (2016湖北襄阳10分)如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.

(1)求证：直线PA为⊙O的切线;

(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明;

(3)若BC=6，tanF= ，求cosACB的值和线段PE的长.

【答案】解：(1)连接OB，

∵PB是⊙O的切线，PBO=90。

∵OA=OB，BAPO于D，

AD=BD，POA=POB。

又∵PO=PO，△PAO≌△PBO(SAS)。

PAO=PBO=90。直线PA为⊙O的切线。

(2)EF2=4ODOP。证明如下：

∵PAO=PDA=90，OAD+AOD=90，OPA+AOP=90。

OAD=OPA。△OAD∽△OPA， ，即OA2=ODOP。

又∵EF=2OA，EF2=4ODOP。

(3)∵OA=OC，AD=BD，BC=6，OD= BC=3(三角形中位线定理)。

设AD=x，

∵tanF= ，FD=2x，OA=OF=2x﹣3。

在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x﹣3)2=x2+32，

解得，x1=4，x2=0(不合题意，舍去)。AD=4，OA=2x﹣3=5。

∵AC是⊙O直径，ABC=90。

又∵AC=2OA=10，BC=6，cosACB= 。

∵OA2=ODOP，3(PE+5)=25。PE= 。

【考点】切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角

形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。1028458【分析】(1)连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，POA=POB，从而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论。

(2)先证明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=2OA代入关系式即可。

(3)根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，从而能求出cosACB，再由(2)可得OA2=ODOP，代入数据即可得出PE的长。

13. (2016湖北鄂州10分)如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长

为直径作圆，交BC于E，过E作EHAB于H。

(1)求证：OE∥AB;

(2)若EH= CD，求证：AB是⊙O的切线;

(3)若BE=4BH，求 的值。

【答案】解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，C。

∵OE=OC，OEC=C，OEC。OE∥AB。

(2)证明：过点O作OFAB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G。

∵AB=DC，C。

OC=OE，OEC=C。OEC=B。OE∥GB。

又∵EHAB，FO∥HE。四边形OEHF是平行四边形。OF=EH。

又∵EH= CD，OF= CD，即OF是⊙O的半径。

AB是⊙O的切线。

(3)连接DE。

∵CD是直径，DEC=90。DEC=EHB。

又∵C，△EHB∽△DEC。 。

∵BE=4BH，设BH=k，则BE=4k，

，

CD=2EH=2 。 。

【考点】等腰梯形(三角形)的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)判断出OEC，根据同位角相等得出OE∥AB。

(2)过点O作OFAB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G，证明OF是⊙O的半径即可。

(3)求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答。

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