2016-04-29 收藏
以下是查字典数学网为您推荐的 2013年浙江省中考数学圆试题解析,希望本篇文章对您学习有所帮助。
2013年浙江省中考数学圆试题解析
1. (2016浙江杭州3分)若两圆的半径分别为2cm和6cm,圆心距为4cm,则这两圆的位置关系是【 】
A.内含B.内切C.外切D.外离
【答案】B。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此,
∵两圆的半径分别为2cm和6cm,圆心距为4cm.则d=6﹣2=4。
两圆内切。故选B。
2.(2016浙江湖州3分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC是⊙O的直径,C=50,ABC的平分线BD交⊙O于点D,则BAD的度数是【 】
A.45 B.85 C.90 D.95
【答案】B。
【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系圆心角、弧、弦的关系。
【分析】∵AC是⊙O的直径,ABC=90。
∵C=50,BAC=40。
∵ABC的平分线BD交⊙O于点D,ABD=DBC=45。CAD=DBC=45。
BAD=BAC+CAD=40+45=85。故选B。
3. (2016浙江嘉兴、舟山4分)如图,AB是⊙O的弦,BC与⊙O相切于点B,连接OA、OB.若ABC=70,则A等于【 】
A. 15 B. 20 C. 30 D. 70
【答案】B。
【考点】切线的性质,等腰三角形的性质。
【分析】∵BC与⊙O相切于点B,OBBC。OBC=90。
∵ABC=70,OBA=OBC﹣ABC=90﹣70=20。
∵OA=OB,OBA=20。故选B。
4. (2016浙江嘉兴、舟山4分)已知一个圆锥的底面半径为3cm,母线长为10cm,则这个圆锥的侧面积为()
A. 15cm2 B. 30cm2 C. 60cm2 D. 3 cm2
【答案】B。
【考点】圆锥的计算。
【分析】直接根据圆锥的侧面积计算即可:这个圆锥的侧面积= cm2。故选B。
5. (2016浙江宁波3分)如图,用邻边分别为a,b(a
A.b= aB.b= C.b= D.b=
【答案】D。
【考点】圆锥的计算。
【分析】∵半圆的直径为a,半圆的弧长为 。
∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面,小圆恰好能作为底面,
设小圆的半径为r,则: ,解得:
如图小圆的圆心为B,半圆的圆心为C,作BACA于A点,
则由勾股定理,得:AC2+AB2=BC2,
即: ,整理得:b= 。故选D。
6. (2016浙江衢州3分)如图,点A、B、C在⊙O上,ACB=30,则sinAOB的值是【 】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】圆周角定理,特殊角的三角函数值。
【分析】由点A、B、C在⊙O上,ACB=30,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得AOB=2ACB=60,然后由特殊角的三角函数值得:
sinAOB=sin60= 。故选C。
7. (2016浙江衢州3分)用圆心角为120,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示),则这个纸帽的高是【 】
A. cmB.3 cmC.4 cmD.4cm
【答案】C。
【考点】圆锥的计算,扇形的弧长,勾股定理。
【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长;根据扇形的弧长=圆锥的底面周长,让扇形的弧长除以2即为圆锥的底面半径,利用勾股定理可得圆锥形筒的高:
∵扇形的弧长= cm,圆锥的底面半径为42=2cm,
这个圆锥形筒的高为 cm。故选C。
8. (2016浙江绍兴4分)如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是:
甲:1、作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点,
2、连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形
乙:1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点。
2、连接AB,BC,CA.△ABC即为所求的三角形。
对于甲、乙两人的作法,可判断【 】
A. 甲、乙均正确 B. 甲、乙均错误 C.甲正确、乙错误 D.甲错误,乙正确
【答案】A。
【考点】垂径定理,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角形外角性质,含30度角的直角三角形。
【分析】根据甲的思路,作出图形如下:
连接OB,∵BC垂直平分OD,E为OD的中点,且ODBC。OE=DE= OD。
又∵OB=OD,在Rt△OBE中,OE= OB。OBE=30。
又∵OEB=90,BOE=60。
∵OA=OB,OAB=OBA。
又∵BOE为△AOB的外角,OAB=OBA=30,ABC=ABO+OBE=60。
同理C=60。BAC=60。
ABC=BAC=C=60。△ABC为等边三角形。故甲作法正确。
根据乙的思路,作图如下:
连接OB,BD。
∵OD=BD,OD=OB,OD=BD=OB。△BOD为等边三角形。OBD=BOD=60。
又∵BC垂直平分OD,OM=DM。BM为OBD的平分线。OBM=DBM=30。
又∵OA=OB,且BOD为△AOB的外角,BAO=ABO=30。
ABC=ABO+OBM=60。
同理ACB=60。BAC=60。
ABC=ACB=BAC。△ABC为等边三角形。故乙作法正确。
故选A。
9. (2016浙江绍兴4分)如图,扇形DOE的半径为3,边长为 的菱形OABC的顶点A,C,B分别在OD,OE, 上,若把扇形DOE围成一个圆锥,则此圆锥的高为【 】
A. B. C. D.
【答案】 D。
【考点】圆锥的计算,菱形的性质。
【分析】连接OB,AC,BO与AC相交于点F。
∵在菱形OABC中,ACBO,CF=AF,FO=BF,COB=BOA,
又∵扇形DOE的半径为3,边长为 ,FO=BF=1.5。cosFOC= 。
FOC=30。EOD=230=60。 。
底面圆的周长为:2,解得:r= 。
∵圆锥母线为:3,此圆锥的高为: 。故选D。
10. (2016浙江台州4分)如图,点A、B、C是⊙O上三点,AOC=130,则ABC等于【 】
A. 50 B.60 C.65 D.70
【答案】C。
【考点】圆周角定理。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得ABC= AOC=65。故选C。
11. (2016浙江温州4分)已知⊙O1与⊙O2外切,O1O2=8cm,⊙O1的半径为5cm,则⊙O2的半径是【 】
A. 13cm. B. 8cm C. 6cm D. 3cm
【答案】D。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。
因此,根据两圆外切,圆心距等于两圆半径之和,得该圆的半径是8-5=3(cm)。故选D。
二、填空题
1. (2016浙江嘉兴、舟山5分)如图,在⊙O中,直径AB丄弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为 ▲ .
【答案】24。
【考点】垂径定理,勾股定理。
【分析】连接OC,∵AM=18,BM=8,AB=26,OC=OB=13。OM=13﹣8=5。
在Rt△OCM中, 。
∵直径AB丄弦CD,CD=2CM=212=24。
2. (2016浙江丽水、金华4分)半径分别为3cm和4cm的两圆内切,这两圆的圆心距为 ▲ cm.
【答案】1。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此,
∵两个圆内切,且其半径分别为3cm和4cm,两个圆的圆心距为4-3=1(cm)。
3. (2016浙江宁波3分)如图,△ABC中,BAC=60,ABC=45,AB=2 ,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为 ▲ .
【答案】 。
【考点】垂线段的性质,垂径定理,圆周角定理,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,此时线段EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60,当半径OE最短时,EF最短。如图,连接OE,OF,过O点作OHEF,垂足为H。
∵在Rt△ADB中,ABC=45,AB=2 ,
AD=BD=2,即此时圆的直径为2。
由圆周角定理可知EOH= EOF=BAC=60,
在Rt△EOH中,EH=OEsinEOH=1 。
由垂径定理可知EF=2EH= 。
4. (2016浙江衢州4分)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为 ▲ mm.
【答案】8。
【考点】垂径定理的应用,勾股定理。
【分析】连接OA,过点O作ODAB于点D,则AB=2AD,
∵钢珠的直径是10mm,钢珠的半径是5mm。
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,OD=3mm。
在Rt△AOD中,∵ mm,
AB=2AD=24=8mm。
5. (2016浙江台州5分)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=16厘米,则球的半径为 ▲ 厘米.
【答案】10。
【考点】垂径定理,勾股定理,矩形的性质,解方程组。
【分析】如图,过球心O作IGBC,分别交BC、AD、劣弧 于点G、H、I,连接OF。设OH=x,HI=y,则依题意,根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质,得 ,解得 。球的半径为x+y=10(厘米)。
三、解答题
1. (2016浙江杭州12分)如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OBAT于点B,已知EAT=30,AE=3 ,MN=2 .
(1)求COB的度数;
(2)求⊙O的半径R;
(3)点F在⊙O上( 是劣弧),且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比.
【答案】解:(1)∵AE切⊙O于点E,AECE。
又∵OBAT,AEC=CBO=90,
又∵BCO=ACE,△AEC∽△OBC。
又∵A=30,COB=A=30。
(2)∵AE=3 ,A=30,
在Rt△AEC中,tanA=tan30= ,即EC=AEtan30=3。
∵OBMN,B为MN的中点。
又∵MN=2 ,MB= MN= 。
连接OM,在△MOB中,OM=R,MB= ,
。
在△COB中,BOC=30,
∵cosBOC=cos30= ,BO= OC。
。
又∵OC+EC=OM=R,
。
整理得:R2+18R﹣115=0,即(R+23)(R﹣5)=0,解得:R=﹣23(舍去)或R=5。
R=5。
(3)在EF同一侧,△COB经过平移、旋转和相似变换后,这样的三角形有6个,
如图,每小图2个,顶点在圆上的三角形,如图所示:
延长EO交圆O于点D,连接DF,如图所示,
△FDE即为所求。
∵EF=5,直径ED=10,可得出FDE=30,
FD=5 。
则C△EFD=5+10+5 =15+5 ,
由(2)可得C△COB=3+ ,
C△EFD:C△COB=(15+5 ):(3+ )=5:1。
【考点】切线的性质,含30度角的直角三角形的性质,锐角三角函数定义,勾股定理,垂径定理,平移、旋转的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由AE与圆O相切,根据切线的性质得到AECE,又OBAT,可得出两直角相等,再由一对对顶角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△AEC∽△OBC,根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与A相等,由A的度数即可求出所求角的度数。
(2)在Rt△AEC中,由AE及tanA的值,利用锐角三角函数定义求出CE的长,再由OBMN,根据垂径定理得到B为MN的中点,根据MN的长求出MB的长,在Rt△OBM中,由半径OM=R,及MB的长,利用勾股定理表示出OB的长,在Rt△OBC中,由表示出OB及cos30的值,利用锐角三角函数定义表示出OC,用OE﹣OC=EC列出关于R的方程,求出方程的解得到半径R的值。
(3)把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有6个。
顶点在圆上的三角形,延长EO与圆交于点D,连接DF,△FDE即为所求。
根据ED为直径,利用直径所对的圆周角为直角,得到△FDE为直角三角形,由FDE为30,利用锐角三角函数定义求出DF的长,表示出△EFD的周长,再由(2)求出的△OBC的三边表示出△BOC的周长,即可求出两三角形的周长之比。
2. (2016浙江湖州10分)已知,如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,DA=DC,以点D为圆心,DA长为半径的⊙D与AB相切于A,与BC交于点F,过点D作DEBC,垂足为E.
(1)求证:四边形ABED为矩形;
(2)若AB=4, ,求CF的长.
【答案】(1)证明:∵⊙D与AB相切于点A,ABAD。
∵AD∥BC,DEBC,DEAD。
DAB=ADE=DEB=90。
四边形ABED为矩形。 (2)解:∵四边形ABED为矩形,DE=AB=4。
∵DC=DA,点C在⊙D上。
∵D为圆心,DEBC,CF=2EC。
∵ ,设AD=3k(k0)则BC=4k。BE=3k,EC=BC-BE=4k-3k=k,DC=AD=3k。
由勾股定理得DE2+EC2=DC2,即42+k2=(3k)2,k2=2。
∵k0,k= 。CF=2EC=2 。
【考点】切线的性质,矩形的判定和性质,勾股定理,待定系数法,垂径定理。
【分析】(1)根据AD∥BC和AB切圆D于A,求出DAB=ADE=DEB=90,即可推出结论。
(2)根据矩形的性质求出AD=BE=AB=DE=4,根据垂径定理求出CF=2CE,设AD=3k,则BC=4k,BE=3k,EC=k,DC=AD=3k,在△DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程,求出k的值,即可求出答案。
3. (2016浙江丽水、金华8分)如图,AB为⊙O的直径,EF切⊙O于点D,过点B作BHEF于点H,交⊙O于点C,连接BD.
(1)求证:BD平分
(2)如果AB=12,BC=8,求圆心O到BC的距离.
【答案】(1)证明:连接OD,
∵EF是⊙O的切线,ODEF。,
又∵BHEF,OD∥BH。ODB=DBH。
∵OD=OB,ODB=OBD。OBD=DBH。
BD平分ABH。.
(2)解:过点O作OGBC于点G,则BG=CG=4。
在Rt△OBG中, .
【考点】切线的性质,平行的判定和性质,等腰三角形的性质,垂径定理,勾股定理。
【分析】(1)连接OD,根据切线的性质以及BHEF,即可证得OD∥BC,然后根据等边对等角即可证得;
(2)过点O作OGBC于点G,则利用垂径定理即可求得BG的长,然后在Rt△OBG中利用勾股定理即可求解。
4. (2016浙江宁波8分)如图,在△ABC中,BE是它的角平分线,C=90,D在AB边上,以DB为
直径的半圆O经过点E,交BC于点F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知sinA= ,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.
【答案】解:(1)连接OE。
∵OB=OE,OBE=OEB。
∵BE是△ABC的角平分线,OBE=EBC。
OEB=EBC。OE∥BC 。
∵C=90,AEO=C=90 。
AC是⊙O的切线。
(2)连接OF。
∵sinA= ,A=30 。
∵⊙O的半径为4,AO=2OE=8。
AE=4 ,AOE=60,AB=12。
BC= AB=6,AC=6 。CE=AC﹣AE=2 。
∵OB=OF,ABC=60,△OBF是正三角形。
FOB=60,CF=6﹣4=2。EOF=60。
S梯形OECF= (2+4)2 =6 , S扇形EOF= 。
S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6 ﹣ 。
【考点】切线的判定,等腰三角形的性质,平行的判定和性质,特殊角的三角函数值,扇形面积的计算。
【分析】(1)连接OE.根据OB=OE得到OBE=OEB,然后再根据BE是△ABC的角平分线得到OEB=EBC,从而判定OE∥BC,最后根据C=90得到AEO=C=90证得结论AC是⊙O的切线。
(2)连接OF,利用S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF求解即可。
4. (2016浙江衢州8分)如图,在Rt△ABC中,C=90,ABC的平分线交AC于点D,点O是AB上一点,⊙O过B、D两点,且分别交AB、BC于点E、F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知AB=10,BC=6,求⊙O的半径r.
【答案】(1)证明:连接OD。
∵OB=OD,OBD=ODB。
∵BD平分ABC,ABD=DBC
ODB=DBC。OD∥BC。
又∵C=90,ADO=90。
ACOD,即AC是⊙O的切线。
(2)解:由(1)知,OD∥BC,△AOD∽△ABC。
,即 。
解得 ,即⊙O的半径r为 。
【考点】切线的判定,等腰三角形的性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)连接OD.欲证AC是⊙O的切线,只需证明ACOD即可。
(2)利用平行线知△AOD∽△ABC,即 ;然后将图中线段间的和差关系代入该比例式,通过解方程即可求得r的值,即⊙O的半径r的值。
5. (2016浙江温州10分)如图,△ABC中,ACB=90,D是边AB上的一点,且A=2DCB.E是BC上的一点,以EC为直径的⊙O经过点D。
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若CD的弦心距为1,BE=EO.求BD的长.
【答案】(1)证明:如图,连接OD,
∵OD=OC,DCB=ODC。
又∵DOB和DCB为弧 所对的圆心角和圆周角,
DOB =2DCB。
又∵A=2DCB,DOB。
∵ACB=90,B=90。DOB+B=90。BDO=90。ODAB。
AB是⊙O的切线。
(2)如图,过点O作OMCD于点M,
∵OD=OE=BE= BO,BDO=90,B=30。DOB=60。
∵OD=OC,DCB=ODC。
又∵DOB和DCB为弧 所对的圆心角和圆周角,DOB =2DCB。
DCB=30。
∵在Rt△OCM中,DCB=30,OM=1,OC=2OM=2。
OD=2,BO=BE+OE=2OE=4。
在Rt△BDO中,根据勾股定理得: 。
【考点】切线的判定,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,垂径定理,圆周角定理,勾股定理,三角形内角和定理。
【分析】(1)连接OD,由OD=OC,根据等边对等角得到一对角相等,再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,可得出DOB=2DCB。又A=2DCB,可得出DOB,又ACB=90,可得出直角三角形ABC中两锐角互余,等量代换可得出B与ODB互余,即OD垂直于BD,确定出AB为圆O的切线。
(2)过O作OM垂直于CD,根据垂径定理得到M为DC的中点,由BD垂直于OD,得到三角形BDO为直角三角形,再由BE=OE=OD,得到OD等于OB的一半,可得出B=30,从而确定出
DOB=60,又OD=OC,利用等边对等角得到一对角相等,再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,可得出DOB=2DCB。可得出DCB=30,在三角形CMO中,根据30角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM,由弦心距OM的长求出OC的长,从而确定出OD及OB的长,利用勾股定理即可求出BD的长。
本题另解:如图,过O作OM垂直于CD,连接ED,由垂径定理得到M为CD的中点,又O为EC的中点,得到OM为三角形EDC的中位线,利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半,由弦心距OM的长求出ED的长,再由BE=OE,得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,由DE的长求出OB的长,再由OD及OB的长,利用勾股定理即可求出BD的长。
6. (2016浙江义乌8分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,EAC=D=60.
(1)求ABC的度数;
(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.
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