教学建议

知识结构

.

重难点分析

本节的重点是 的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行，而 的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论.

本节的难点是正确理解与应用公式

.

这个公式的表达形式对学生来说，比较生疏，而实际运用时，则要牵涉到对字母取值范围的讨论，学生往往容易出现错误.

教法建议

1.性质的引入方法很多，以下2种比较常用：

(1)设计问题引导启发：由设计的问题

1) 、 、 各等于什么?

2) 、 、 各等于什么?

启发、引导学生猜想出

(2)从算术平方根的意义引入.

2.性质的巩固有两个方面需要注意：

(1)注意与性质 进行对比，可出几道类型不同的题进行比较;

(2)学生初次接触这种形式的表示方式，在教学时要注意细分层次加以巩固，如单个数字，单个字母，单项式，可进行因式分解的多项式，等等.

(第1课时)

一、教学目标

1.掌握二次根式的性质

2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

二、教学设计

对比、归纳、总结

三、重点和难点

1.重点：理解并掌握二次根式的性质

2.难点：理解式子 中的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式.

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学过程

一、导入新课

我们知道，式子 ( )表示非负数 的算术平方根.

问：式子 的意义是什么?被开方数中的 表示的是什么数?

答：式子 表示非负数 的算术平方根，即 ，且 ，从而 可以取任意实数.

二、新课

计算下列各题，并回答以下问题：

(1) ; (2) ; (3) ;

(4) ; (5) ; (6)

(7) ; (8)

1.各小题中被开方数的幂的底数都是什么数?

2.各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系?

3.用字母 表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论?并用语言叙述你的结论.

答：

(1) ; (2) ; (3) ;

(4) ; (5) ; (6)

(7) ; (8) .

1.(1)，(2)，(3)各题中的被开方数的幂的底数都是正数;(4)，(5)，(6)，(7)各题中的被开方数的幂的底数都是负数;(8)题被开方数的幂的底数是0.

2.(1)，(2)，(3)，(8)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等;(4)，(5)，(6)，(7)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数.

3.用字母 表示(1)，(2)，(3)，(8)各题中被开方数的幂的底数，有

( )，

用字母 表示(4)，(5)，(6)，(7)各题中被开方数的幂的底数，有

( ).

一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身;一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数.

问：请把上述讨论结论，用一个式子表示.(注意表示条件和结论)

答：

请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系?

答：

填空：

1.当 _________时， ;

2.当 时， ，当 时， ;

3.若 ，则 ________;

4.当 时， .

答：

1.当 时， ;

2.当 时， ，

当 时， ;

3.若 ，则 ;

4.当

.

例1 化简 ( ).

分析：可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简.

解 ，因为 ，所以 ，所以

.

指出：在化简和运算过程中，把 先写成 ，再根据已知条件中 的取值范围，确定其结果.

例2 化简 ( ).

分析：根据二次根式的性质，当 时， .

解 .

例3 化简：(1) ( ); (2) ( ).

分析：根据二次根式的性质，当 时， .

解 (1) .

(2) .

注意：(1)题中的被开方数 ，因为 ，所以 .

(2)题中的被开方数 ，因为 ，所以 .

这里 的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出.

例4 化简 .

分析：根据二次根式的性质，有

.

所以要比较 与3及1与 的大小以确定 及 的符号，然后再进行化简.

解 因为 ， ，所以

， .

所以

.

三、课堂练习

1.求下列各式的值：

(1) ; (2) .

2.化简：

(1) ; (2) ;

(3) ( ); (4) ( ).

3.化简：

(1) ; (2) ;

(3) ; (4) ;

(5) ; (6) ( ).

答案：

1.(1)0.1; (2) .

2.(1) ; (2) ; (3) ; (4) .

3.(1)4; (2)1.5; (3)0.09; (4)-1; (5)4; (6)-1.

四、小结

1.二次根式 的意义是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意实数.

2.化简形如 的二次根式，首先可把 写成 的形式，再根据已知条件中字母 的取值范围，确定其结果.

3.在化简中，注意运用题设中的隐含条件，如二次根式 有意义的条件是被开方 ，这是隐含条件.

五、作业

1.化简：

(1) ; (2) ;

(3) ( ); (4) ( );

(5) ; (6) ( ， );

(7) ( ).

2.化简：

(1) ;

(2) ( );

(3) ( ， ).

答案：

1.(1)-30; (2) ; (3) ;

(4) ; (5) ; (6) ; (7) .

2.(1)2; (2)0; (3) .