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二元一次方程与一次函数

一、教材分析

《二元一次方程与一次函数》是北师大版教科书八年级(上)第七章第六节内容.

本节内容共安排2个课时完成，本节课为第1课时.该节内容是二元一次方程(组)与一次函数及其图像的综合应用.通过探索方程与函数图像的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了数(二元一次方程)与形(一次函数的图像(直线))之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力.本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的.

二、学情分析

学生已有了解方程(组)的基本能力和一次函数及其图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理解二元一次方程和一次函数之间的内在联系，体会数和形间的相互转化，从中使学生进一步感受到数的问题可以通过形来解决，形的问题也可以通过数来解决.

三、目标分析

1.教学目标

知识与技能目标

(1) 初步理解二元一次方程和一次函数的关系;

(2) 掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系;

(3) 掌握二元一次方程组的图像解法.

过程与方法目标

(1) 教材以问题串的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法;

(2) 通过做一做引入例1，进一步发展学生数形结合的意识和能力.

(3) 情感与态度目标

(1) 在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神.

(2) 在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力.

2.教学重点

(1)二元一次方程和一次函数的关系;

(2)二元一次方程组和对应的两条直线的关系.

3.教学难点

数形结合和数学转化的思想意识.

四、教法学法

1.教法学法

启发引导与自主探索相结合.

2.课前准备

教具：多媒体课件、三角板.

学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸.

五、教学过程

本节课设计了六个教学环节：第一环节 设置问题情境，启发引导;第二环节 自主探索，建立方程与函数图像的模型;第三环节 典型例题，探究方程与函数的相互转化;第四环节 反馈练习;第五环节 课堂小结;第六环节 作业布置.

第一环节: 设置问题情境，启发引导

内容：1.方程x+y=5的解有多少个? 是这个方程的解吗?

2.点(0，5)，(5，0)，(2，3)在一次函数y= 的图像上吗?

3.在一次函数y= 的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗?

4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y= 的图像相同吗?

由此得到本节课的第一个知识点：

二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：

(1) 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上;

(2) 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.

意图：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y= 相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.

效果：以问题串的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识.

前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系.顺其自然进入下一环节.

第二环节 自主探索方程组的解与图像之间的关系

内容：1.解方程组

2.上述方程移项变形转化为两个一次函数y= 和y=2x ,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像.

3.方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系?由此得到本节课的第2个知识点：二元一次方程和相应的两条直线的关系以及二元一次方程组的图像解法;

(1) 求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标;

(2) 求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.

(3) 解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.

注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.

意图：通过自主探索，使学生初步体会数(二元一次方程)与形(两条直线)之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础.

效果：由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了数的问题可以转化为形来处理，反之形的问题可以转化成数来处理，培养了学生的创新意识和变式能力.

第三环节 典型例题

探究方程与函数的相互转化

内容：例1 用作图像的方法解方程组

例2 如图，直线 与 的交点坐标是 .

意图：设计例1进一步揭示数的问题可以转化成形来处理，但所求解为近似解.通过例2，让学生深刻感受到由形来处理的困难性，由此自然想到求这两条直线对应的函数表达式，把形的问题转化成数来处理.这两例充分展示了数形结合的思想方法，为下一课时解决实际问题作了很好的铺垫.

效果：进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化.

第四环节 反馈练习

内容：1.已知一次函数 与 的图像的交点为 ,则 .

2.已知一次函数 与 的图像都经过点A(2，0)，且与 轴分别交于B，C两点，则 的面积为( ).

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

3.求两条直线 与 和 轴所围成的三角形面积.

4.如图，两条直线 与 的交点坐标可以看作哪个方程组的解?

意图：4个练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握情况.

效果：加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性.

第五环节 课堂小结

内容：以问题串的形式，要求学生自主总结有关知识、方法：

1.二元一次方程和一次函数的图像的关系;

(1) 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上;

(2) 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.

2.方程组和对应的两条直线的关系：

(1) 方程组的解是对应的两条直线的交点坐标;

(2) 两条直线的交点坐标是对应的方程组的解;

3.解二元一次方程组的方法有3种：

(1)代入消元法;

(2)加减消元法;

(3)图像法. 要强调的是由于作图的不准确性，由图像法求得的解是近似解.

意图：旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力;使学生进一步明确学什么，学了有什么用.

第六环节 作业布置

习题7.7

附： 板书设计

六、教学反思

本节课在学生已有了解方程(组)的基本能力和一次函数及其图像的基本知识的基础上，通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和函数图像之间的对应关系，从而引出了二元一次方程组的图像解法，以及应用代数方法解决有关图像问题，培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化.教学过程中教师一定要讲清楚图像解法的局限性，这是由于画图的不准确性，所求的解往往是近似解.因此为了准确地解决有关图像问题常常把它转化为代数问题来处理，如例2及反馈练习中的4个问题.