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整式的乘除与因式分解

一、学习目标：

1.掌握与整式有关的概念;

2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则;

3.掌握单项式、多项式的相关计算;

4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。

5..掌握因式分解的常用方法。

二、知识点总结：

1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如： 的 系数为 ，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如： ，项有 、 、 、1，二次项为 、 ，一次项为 ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升(降)幂排列：

如：

按 的升幂排列：

按 的降幂排列：

按 的升幂排列：

按 的降幂排列：

5、同底数幂的乘法法则： ( 都是正整数)

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：

6、幂的乘方法则： ( 都是正整数)

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：

幂的乘方法则可以逆用：即

如：

7、积的乘方法则： ( 是正整数)

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：( =

8、同底数幂的除法法则： ( 都是正整数，且

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：

9、零指数和负指数;

，即任何不等于零的数的零次方等于1。

( 是正整数)，即一个不等于零的数的 次方等于这个数的 次方的倒数。

如：

10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：

11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即 ( 都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]

如：

12、多项式与多项式相乘的法则;

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：

13、平方差公式： 注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：

14、完全平方公式：

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

15、三项式的完全平方公式：

16、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：

17、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：

18、因式分解：

常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法

三、知识点分析：

1.同底数幂、幂的运算：

aman=am+n(m，n都是正整数).

(am)n=amn(m，n都是正整数).

例题1.若 ，则a= ;若 ，则n= .

例题2.若 ，求 的值。

例题3.计算

练习

1.若 ，则 = .

2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于 。

2.积的乘方

(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例题1. 计算：

3.乘法公式

平方差公式：

完全平方和公式：

完全平方差公式：

例题1. 利用平方差公式计算：20092007-20082

例题2.利用平方差公式计算： .

例题3.利用平方差公式计算： .

例题4.(a-2b+3c-d)(a+2b-3c-d)

变式练习

1.广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少?

2.(3+1)(32+1)(34+1)(32008+1)- .

3. 已知 求 的值

4、已知 ，求xy的值

5.如果a +b -2a +4b +5=0 ，求a、b的值

6.试说明

(1) 两个连续整数的平方差必是奇数

(2) 若a为整数，则 能被6整除

7.一个正方形的边长增加4cm ，面积就增加56cm ，求原来正方形的边长

4.单项式、多项式的乘除运算

(1)(a- b)(2a+ b)(3a2+ b2);

(2)[(a-b)(a+b)]2(a2-2ab+b2)-2ab.

(3).已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值.

5. 因式分解：

1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。

例1把 分解因式.

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式 与 ，这时另一个因式正好都是 ，这样可以继续提取公因式.

解：

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.

例2把 分解因式.

分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式.

解：

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.

2. 公式法：根据平方差和完全平方公式

例题1 分解因式

3.配方法：

例1分解因式

解：

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.

4.十字相乘法：

(1). 型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.

因此，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

例1把下列各式因式分解：

(1) (2)

解：(1)

.

(2)

说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同.

例2把下列各式因式分解：

(1) (2)

解：(1)

(2)

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.

例3把下列各式因式分解：

(1) (2)

分析：(1) 把 看成 的二次三项式，这时常数项是 ，一次项系数是 ，把 分解成 与 的积，而 ，正好是一次项系数.

(2) 由换元思想，只要把 整体看作一个字母 ，可不必写出，只当作分解二次三项式 .

解：(1)

(2)

(2).一般二次三项式 型的因式分解

大家知道， .

反过来，就得到：

我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行.

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.

例4把下列各式因式分解：

(1) (2)

解：(1)

(2)

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法凑，看是否符合一次项系数，否则用加法凑，先凑绝对值，然后调整，添加正、负号.

练习

1、 已知 ， ，求 的值。

2、 若x、y互为相反数，且 ，求x、y的值

提高练习

1.(2x2-4x-10xy)( )= x-1- y.

2.若x+y=8，x2y2=4，则x2+y2=_________.

3.代数式4x2+3mx+9是完全平方式则m=___________.

4.(-a+1)(a+1)(a2+1)等于( )

(A)a4-1 (B)a4+1 (C)a4+2a2+1 (D)1-a4

5.已知a+b=10，ab=24，则a2+b2的值是 ( )

(A)148 (B)76 (C)58 (D)52

6.(2)( +3y)2-( -3y)2;(2)(x2-2x-1)(x2+2x-1);

7.(1- )(1- )(1- )(1- )(1- )的值.

8.已知x+ =2，求x2+ ，x4+ 的值.

9.已知(a-1)(b-2)-a(b-3)=3，求代数式 -ab的值.

10.若(x2+px+q)(x2-2x-3)展开后不含x2，x3项，求p、q的值.

《整式的乘除与因式分解》单元试题

一、选择题：(每小题3分，共18分)

1、下列运算中，正确的是( )

A.x2x3=x6 B.(ab)3=a3b3 C.3a+2a=5a2 D.(x)= x5

2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )

(A) (B)

(C) (D)

3、下列各式是完全平方式的是( )

A、 B、 C、 D、

4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )

(A) (B) (C) (D)

5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为( )

A. 3 B. 3 C. 0 D. 1

6、一个正方形的边长增加了 ，面积相应增加了 ，则这个正方形的边长为( )

A、6cm B、5cm C、8cm D、7cm

二、填空题：(每小题3分，共18分)

7、在实数范围内分解因式

8、 ___________

9、若3x= ，3y= ，则3x-y等于

10、绕地球运动的是7.910米/秒，则卫星绕地球运行8105秒走过的路程是

三、计算题：(每小题4分，共12分)

11、 12、

13、[(x-2y) +(x-2y)(2y+x)-2x(2x-y)]2x.

四、因式分解：(每小题4分，共16分)

14、 15、2x2y-8xy+8y

16、a2(x-y)-4b2(x-y)

五、解方程或不等式：(每小题5分，共10分)

17、

六、解答题：(第22～24小题各6分，第25小题8分，共26分)

18、若 ，求 的值。

23、自己作图：大正方形的边长为a, 小正方形的边长为b,利用此图证明平方差公式。

24、如图，某市有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米?并求出当 ， 时的绿化面积.

25、察下列各式

(x-1)(x+1)=x2-1

(x-1)(x2+x+1)=x3-1

(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1

(1)根据规律可得(x-1)(xn-1++x +1)= (其中n为正整数)

(2)计算：

(3)计算：