求二次函数表达式的基本方法是待定系数法，二次函数的表达式有三种形式，每种形式都有三个待定系数，于是只要有三个条件即可得到相应的方程，组成方程组，从而通过解方程（组）获得问题的答案.

当已知条件是图象上三个点坐标时选择一般式方程：y=ax2+bx+c（a≠0）；

当已知抛物线与x轴的两交点坐标时选择交点式方程：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）；

当已知二次函数图象顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值时选择顶点式方程：y=a（x-h）2+k（a≠0）.

1.根据代数条件求二次函数解析式

【例1】已知抛物线经过点（1，0），（-5，0），且顶点纵坐标为 ，求这个二次函数的解析式.

【分析】 设一般式，将已知条件直接代入将得到一个三元一次方程组，计算较繁，进一步分析，（1，0），（-5，0）是抛物线与x轴两交点，由此可知抛物线对称轴为直线x=-2， 所以顶点坐标为（－2， ）.

解：∵ 点（1，0），（-5，0）是抛物线与x的两交点,

∴ 抛物线对称轴为直线x=-2，

∴ 抛物线的顶点坐标为（－2， ），

设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则有

∴ 所求二次函数解析式为

2.根据几何图形的性质求二次函数的解析式

【例2】 已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1【分析】 我们可把已知点C（0，5）代入函数解析式，再由a+b+c=0和S△ABC=15这两个条件进行求解.

解法1：∵ C（0，5）， ∴ c=5，OC=5，

∵ a+b+c=0，

∴ a+b+5=0， ∴ b=-5-a.

∴ 解析式为y=ax2+（-5-a）x+5，∵ S△ABC= ×AB·5=15.

∴ AB=6，即|x1-x2|=6.

又x1两边平方得（x2-x1）2=36，

∴ （x1+x2）2-4x1x2=36， =36，7a2+2a-5=0.

解得

∵ 抛物线开口向下，∴ 舍，

∴ a2=-1， ∴ y=-x2-4x+5.

解法2：由解法1可得AB=6，

∵ a+b+c=0，

∴ （1，0）在抛物线上.

又抛物线开口向下且过（0，5），

∴ B（1，0）， ∴ OB=1，

则OA=AB-OB=5，A在x轴负半轴上，∴ A（-5，0）.

设y=a（x-1）（x+5），把（0，5）代入得-5a=5 ，∴ a=-1.

∴ y=-x2-4x+5.

【小结】 比较以上两种解法，解法2简捷，如果题目中不给开口方向，那么就有两种答案，用解法1直接求得两个解，而解法2就可能丢解。

几何条件求抛物线解析式时需根据图形性质求线段长再转化成点坐标，在转化过程中注意点的位置与点坐标的符号。

3.根据二次函数图象的性质求解析式的开放型问题

【例3】 （2006·四川乐山）若二次函数y=ax2+bx+c的图象满足下列条件：

① 当x＜2时，y随x的增大而增大；

②当x≥2时，y随x的增大而减小.

则这样的二次函数解析式可以是____.

【分析】 根据条件①、②可知二次函数开口向下，对称轴为2.这样我们知道a值为负， ＝2.我们可令a＝－1，则b＝4，c可取任意值。

解：y＝－x2＋4x＋3.

【例4】 （2006?武汉）已知二次函数的图象开口向下，且经过原点.请写出一个符合条件的二次函数的解析式_____.

【分析】 如果设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，因为图象开口向下，所以a为负数，图象过原点，即c＝0，满足这两个条件的解析式有无数个.

解：y＝－x2＋3x.

【小结】 开放型问题答案不惟一，给出的答案只要满足题目已知条件即可