五年级寒假作业答案：奥数寒假作业答案(一)

1.体育课上，30名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，30，然后，老师让所报的数是2的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是3的倍数的同学向后转，最后让所报的数是5的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人?

解：此题是容斥原理(包含排除、重叠问题)与奇偶分析的综合题。低年级的孩子可以用枚举的方法(容斥原理没听课，所以需要补上)：

2的倍数15个：

2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30

3的倍数10个：

3、6、9、12、15、18、21、24、27、30

5的倍数6个：

5、10、15、20、25、30

既是2又是3的倍数5个：

6、12、18、24、30

既是2又是5的倍数3个：

10、20、30

既是3又是5的倍数2个：

15、30

是2、3、5的倍数1个：

30

想要最后面向老师，那么符合这样条件的学生，要么转动了0次，要么转动了2次。

结合上面的分析，应该很好理解了。

最后的结果为：

30 -(15 + 10 +6-5-3 - 2+1)+(5+3+2 - 3×1)=15人

而使用容斥原理可直接用上述式子得出。

2.对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121;当n为偶数时，除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100?为什么?

解：231是11的倍数，操作只有两个，一个是加121，而121也是11的倍数，另一个操作是除以2(一个是11倍数的偶数的一半，仍然是11的倍数)，这两个操作都无法改变得数仍然是11倍数的这一性质，即在运算过程中出现的数一定都是11的倍数，因为100不是11的倍数，所以在题目中定义的运算里是不可能出现100的。

如果将以上题目的231改变为任意一个11的倍数，包括0(要先加121，即121)和11本身，那么得数中肯定不会有100，这个结论是可靠的。但如果将231改变为任意一个不是11的倍数的数，比如1、2、3、343甚至更大，只要不是11的倍数，就会出现100，比如1，会在第105步得到100;2会在第106步得到100;而34只用了16步：

第1 步：34 ÷2 = 17　第2 步：17 + 121 = 138第3 步：138 ÷2 = 69第4 步：69 + 121 = 190

第5 步：190 ÷2 = 95第6 步：95 + 121 = 216第7 步：216 ÷2 = 108第8 步：108 ÷2 = 54

第9 步：54 ÷2 = 27第10 步：27 + 121 = 148第11 步：148 ÷2 = 74第12 步：74 ÷2 = 37

第13 步：37 + 121 = 158第14 步：158 ÷2 = 79第15 步：79 + 121 = 200第16 步：200 ÷2 = 100

那么我们能不能就说只要不是11的倍数，应用上述规则进行计算，结果中就一定会出现100呢?尽管做了可能的很多试验，这个结论是正确的，但还必须经过数学证明才能下此结论。