不等式的基本性质知识点

1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。

① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

如证明y=x³为单增函数，
设x₁, x₂∈(-∞,+∞), x₁<x₂，f(x₁)-f(x₂)=x₁³-x₂³=(x₁-x₂)(x₁²+x₁x₂+x₂²)=(x₁-x₂)[(x₁+)²
+x₂²]
再由(x₁+)²+x₂²>0, x₁-x₂<0,可得f(x₁)<f(x₂), ∴ f(x)为单增。

2．不等式的性质：

① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：

(1) a>bb<a (对称性)

(2) a>b, b>ca>c (传递性)

(3) a>ba+c>b+c (c∈R)

(4) c>0时，a>bac>bc
c<0时，a>bac<bc。

运算性质有：

(1) a>b, c>da+c>b+d。

(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。

(3) a>b>0aⁿ>bⁿ(n∈N, n>1)。

(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：

(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。