解：∵ an=1+++……+　　=

∴an=2-

 

　　则原数列可以表示为：

　　(2-1)，，，，…

 

　　前n项和Sn=(2-1)+++…+

 

　　=2n-

 

　　=2n-=2n-2

 

　　=+2n-2

 

　　例7. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n.

　　(1)求证：{an}为等差数列;

　　(2)求S n的最小值及相应的n;

　　(3)记数列{}的前n项和为Tn，求Tn的表达式。

 

　　解：(1)n=1时，a1=S1=-8

　　n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10

　　∴ an=2n-10 an+1-an=2

　　∴ {an}是等差数列.

　　(2)Sn=n2-9n=(n-)2-

 

　　∴当n=4或n=5时，Sn有最小值-20.

　　(3)an=2n-10 ∴ | an |=| 2n-10 |

　　令an≥0 n≥5 ∴ 当n≤4时，| an |=10-2n

 

　　Tn=，当n≥5时，

 

　　Tn=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+an

　　=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=Sn-2S4

　　=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40

　　∴ Tn=

 

　　例8. 求数列的前99项的和。

 

　　

 

　　数列的前99项的和为2100-101。

 

　　例9. 试求的前项和。

 

　　

 

　　例10. (1)求和

 

　　(2)已知通项，求前项和。

 

　　

 

　　

 

　　例11. 已知函数f(x)=(x-1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1)，若a1=f(d-1)，a3=f(d+1)，b1=f(q-1)，b3=f(q+1)，

　　(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;

　　(2)设数列{cn}对任意的自然数n均有：，求数列{cn}的前n项和Sn.

 

　　解：(1) a1=(d-2)2，a3=d2，a3-a1=2d

　　即d2-(d-2)2=2d，解之得d=2

　　∴a1=0，an=2(n-1)

　　又b1=(q-2)2，b3=q2，b3=b1q2

　　即q2=(q-2)2 q2，解之得q=3

　　∴b1=1，bn=3n-1

　　(2)

 

　　Sn=c1+c2+c3+…+cn

　　=4(1×30+2×31+3×32+…+n×3 n-1)

　　设1×30+2×31+3×32+…+n×3 n-1

 

　　31×31+2×32+3×33+…+n×3 n

　　-21+3+32+33+…+3 n-1-n×3 n=-3 n·n

 

　　

 

　　∴Sn=2n·3n-3n+1

　　【模拟试题】

　　1. 数列的通项公式是

 

　　2. =

 

　　3. 数列{}的前n项和为，则数列的前20项和为

 

　　4. 已知数列，，则的通项公式为

 

　　5. 设且则的值为

 

　　6. 求数列1，的前项和。

 

　　7. 数列的前项和，则=_____________

 

　　8. 一个数列的前项和则___________

 

　　9. 数列的前项和为

 

　　10. 求和：

 

　　11. 设利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得

 

　　的值为____________

 

　　12. 已知，，求：的值。

 

　　13. 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x)=(x-1)2，且a1 = f (d-1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q-1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。

 

　　【试题答案】

　　1.

 

　　2. 2076

　　3. 250

　　4.

 

　　5. 6

　　6. 解：，

 

　　7.

 

　　8. 1

　　9.

 

　　10.

　　

 

　　11.

 

　　12. 解：∵时，