2012-12-25
收藏
M:帕特先生沿着一条小路向山顶进发。他早晨七点动身,当晚七点到达山顶。
M:他在山顶做了一夜的考察工作,第二天早晨七点沿同一条小路下山。
M:那天晚上七点钟,他到达山脚。在那里,他遇到了他的拓扑学老师克莱因夫人。
克莱因:你好,帕特!你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点,你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同?
帕特:您一定是在开我的玩笑!这绝对不可能。我走路时快时慢,有时还停下来吃饭和休息。
M:尽管这样,克莱因夫人还是对的。
克莱因:当你开始登山的时候,设想你有个替身在同一时刻开始下山,你们必定会在小路上的某一点相遇。
克莱因:我不能断定你们在哪一点相遇,但一定会有这样一点。你和你的替身当然是在同一时刻经过这一点。正因为这样,我才说在小路上一定有这样一点,你上山和下山时经过这点的时刻完全相同。
这个故事为拓扑学家所称的“不动点定理”提供了一个很简单的例证。其证明是个“存在性证明”,它告诉我们至少存在一个这样的点,并没告诉我们这个点在什么地方。当把拓扑学应用于其它数学分支或其它各门科学时,不动点定理起着非常重要的作用。
学生们一定会对下面这个著名的不动点定理感兴趣。这个定理可以这样来说明:取一个浅盒和一张纸,纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来,随机地揉成一个小球,再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明,不管小球是怎样揉成的,也不管它落在盒底的什么地方,在揉成小球的纸上至少有一个这样的点,它恰好处在它盒底原来配对点的正上方!关于这个定理可参见理查德·库朗和赫伯特·罗宾斯所著《什么是数学?》一书中“一个不动点定理”这一节。
这个定理首先为荷兰数学家L.E.J. 布劳尔在1912年所证明。它具有许多奇妙的应用。例如,由这个定理可以断言:在任一时刻,在地球上至少有一个地点没有风。用它还证明了这样的事实:如果一个球面完全被毛发所覆盖那么无论如何也不能把所有的毛发疏平。有趣的是,我们却可以把覆盖整个圆环面上的毛发疏平。
2014年新人教A版数学必修二 2.1《空间点、直线、平面之间的位置关系》课件三
2013新人教B版必修二2.2.3《两条直线的位置关系》ppt课件1
2013新人教B版必修二2.3.2《圆的一般方程》ppt课件
2013新人教B版必修二2.3.1《圆的标准方程》ppt课件1
2013新人教B版必修二2.3.4《圆与圆的位置关系》ppt课件1
2014年新人教A版数学必修二 2.1《空间点、直线、平面之间的位置关系》课件二
2013新人教B版必修二1.1.2《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》ppt课件3
2013新人教B版必修二2.3.2《圆的一般方程》ppt课件1
2013新人教B版必修二1.1.1《构成空间几何体的基本元素》ppt课件1
2013新人教B版必修二2.3.3《直线与圆的位置关系》ppt公开课课件
2013新人教B版必修二2.2.3《两条直线的位置关系》ppt课件
2013新人教B版必修二2.3.4《圆与圆的位置关系》ppt课件3
2013新人教B版必修二1.1.3《圆柱、圆锥、圆台和球》ppt课件1
2014年新人教A版数学必修二 2.1《空间点、直线、平面之间的位置关系》课件
2014年新人教A版数学必修二 2.1《空间点、直线、平面之间的位置关系》课件一
2013新人教B版必修二1.1.1《构成空间几何体的基本元素》ppt课件2
2013新人教B版必修二2.2.1《直线方程的概念与直线的斜率》ppt课件2
2013新人教B版必修二2.3.1《圆的标准方程》ppt课件2
2013新人教B版必修二2.2.4《点到直线的距离》ppt课件1
2013新人教B版必修二2.3.4《圆与圆的位置关系》ppt课件
2013新人教B版必修二2.3.2《圆的一般方程》ppt课件2
2013新人教B版必修二1.1.2《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》ppt课件2
2013新人教B版必修二2.3.1《圆的标准方程》ppt课件
2014年新人教A版数学必修二 2-3-1-2《直线、平面垂直的判定及其性质》课件
2013新人教B版必修二2.2.2《直线方程的几种形式》ppt课件2
2013新人教A版必修二《面面平行的判定与性质》ppt课件
2013新人教B版必修二2.2.3《两条直线的位置关系》ppt课件4
2013新人教B版必修二1.1.3《圆柱、圆锥、圆台和球》ppt课件
2013新人教B版必修二1.1.2《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》ppt课件
2013新人教B版必修二2.2.4《点到直线的距离》ppt课件2
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |