M：帕特先生沿着一条小路向山顶进发。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。

M：他在山顶做了一夜的考察工作，第二天早晨七点沿同一条小路下山。

M：那天晚上七点钟，他到达山脚。在那里，他遇到了他的拓扑学老师克莱因夫人。

克莱因：你好，帕特！你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？

帕特：您一定是在开我的玩笑！这绝对不可能。我走路时快时慢，有时还停下来吃饭和休息。

M：尽管这样，克莱因夫人还是对的。

克莱因：当你开始登山的时候，设想你有个替身在同一时刻开始下山，你们必定会在小路上的某一点相遇。

克莱因：我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。你和你的替身当然是在同一时刻经过这一点。正因为这样，我才说在小路上一定有这样一点，你上山和下山时经过这点的时刻完全相同。

这个故事为拓扑学家所称的“不动点定理”提供了一个很简单的例证。其证明是个“存在性证明”，它告诉我们至少存在一个这样的点，并没告诉我们这个点在什么地方。当把拓扑学应用于其它数学分支或其它各门科学时，不动点定理起着非常重要的作用。

学生们一定会对下面这个著名的不动点定理感兴趣。这个定理可以这样来说明：取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方！关于这个定理可参见理查德·库朗和赫伯特·罗宾斯所著《什么是数学？》一书中“一个不动点定理”这一节。

这个定理首先为荷兰数学家L.E.J. 布劳尔在1912年所证明。它具有许多奇妙的应用。例如，由这个定理可以断言：在任一时刻，在地球上至少有一个地点没有风。用它还证明了这样的事实：如果一个球面完全被毛发所覆盖那么无论如何也不能把所有的毛发疏平。有趣的是，我们却可以把覆盖整个圆环面上的毛发疏平。