第二章数列

　　2.1数列的概念与简单表示法

　　教学目标:理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

　　教学重点:数列及其有关概念，通项公式及其应用

　　教学难点:根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式

　　教学过程:

　　课题导入

　　三角形数：1，3，6，10，…

　　正方形数：1，4，9，16，25，…

　　二.讲授新课

　　⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.

　　注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列;

　　⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

　　⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….

　　例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项(或首项)，“9”是这个数列中的第6项.

　　⒊数列的一般形式： ，或简记为 ，其中 是数列的第n项,结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ ”是这个数列的第“3”项，等等

　　下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式)对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

　　项

　　↓ ↓ ↓ ↓ ↓

　　序号 1 2 3 4 5

　　这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式： 来表示其对应关系

　　即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系

　　⒋ 数列的通项公式：如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

　　注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;

　　⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 ，也可以是 .

　　⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.

　　数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.

　　5.数列与函数的关系

　　数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数 ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

　　反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…

　　6.数列的分类：

　　1)根据数列项数的多少分：

　　有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列

　　无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列

　　2)根据数列项的大小分：

　　递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

　　递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

　　常数数列：各项相等的数列。

　　摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

　　观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列?

　　三 .例题讲解

　　课本P34-35例1

　　四.课堂练习

　　课本P36[练习]3、4、5

　　[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

　　(1) 3, 5, 9, 17, 33,……; (2) , , , , , ……;

　　(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……;

　　(5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,…….

　　解：(1) =2n+1; (2) = ; (3) = ;

　　(4) 将数列变形为1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, ……,

　　∴ =n+ ;

　　(5) 将数列变形为1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,……，

　　∴ =(-1) n(n+1)

　　五.课时小结

　　本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。

　　课本P38习题2.1A组的第1题

　　七.授后记

　　2.1数列的概念与简单表示法

　　教学目标:了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项;理解数列的前n项和与 的关系

　　教学重点:根据数列的递推公式写出数列的前几项

　　教学难点:理解递推公式与通项公式的关系

　　教学过程:

　　一.复习引入:

　　数列及有关定义

　　二.讲授新课

　　数列的表示方法

　　1.通项公式法

　　如果数列 的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

　　如数列 的通项公式为 ;

　　的通项公式为 ;

　　的通项公式为 ;

　　2.图象法

　　启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.

　　3.递推公式法

　　观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型.

　　模型一：自上而下：

　　第1层钢管数为4;即：1 4=1 3

　　第2层钢管数为5;即：2 5=2 3

　　第3层钢管数为6;即：3 6=3 3

　　第4层钢管数为7;即：4 7=4 3

　　第5层钢管数为8;即：5 8=5 3

　　第6层钢管数为9;即：6 9=6 3

　　第7层钢管数为10;即：7 10=7 3

　　若用 表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 ≤n≤7)

　　运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来很多方便。

　　让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律)

　　模型二：上下层之间的关系

　　自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

　　即 ; ;

　　依此类推： (2≤n≤7)

　　对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。

　　定义：递推公式：如果已知数列 的第1项(或前几项)，且任一项 与它的前一项 (或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

　　递推公式也是给出数列的一种方法。

　　如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89

　　递推公式为：

　　数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法.相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为

　　4.列表法

　　.简记为 .

　　三.例题讲解

　　例1 设数列 满足 写出这个数列的前五项。

　　解：分析：题中已给出 的第1项即 ，递推公式：

　　解：据题意可知： ，

　　[补充例题]

　　例2已知 ， 写出前5项，并猜想 .

　　法一： ，观察可得

　　法二：由 ∴ 即

　　∴

　　∴

　　四.课堂练习

　　课本P36练习2

　　[补充练习]

　　1.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式

　　(1) =0, = +(2n-1) (n∈N);

　　(2) =1, = (n∈N);

　　(3) =3, =3 -2 (n∈N).

　　解：(1) =0, =1, =4, =9, =16, ∴ =(n-1) ;

　　(2) =1, = , = , = , = ,

　　∴ = ;

　　(3) =3=1 2 , =7=1 2 , =19=1 2 ,

　　=55=1 2 , =163=1 2 , ∴ =1+2·3 ;

　　五.课时小结

　　本节课学习了以下内容：

　　1.递推公式及其用法;

　　2.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.

　　六.课后作业

　　习题2.1A组的第4、6题

　　七.授后记

　　2.2等差数列(1)

　　教学目标:了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项

　　教学重点:等差数列的概念，等差数列的通项公式。

　　教学难点:等差数列的性质

　　教学过程:

　　一.课题导入

　　[创设情境]

　　上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。

　　课本P41页的4个例子：

　　①0，5，10，15，20，25，…

　　②48，53，58，63

　　③18，15.5，13，10.5，8，5.5

　　④10072，10144，10216，10288，10366

　　观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征?

　　·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差);(误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项)，我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

　　二.讲授新课

　　1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)。

　　⑴.公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求;

　　⑵.对于数列{ },若 - =d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N ，则此数列是等差数列，d 为公差。

　　思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在，分别是什么?

　　2.等差数列的通项公式： 【或 】

　　等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得：

　　即：

　　即：

　　即：

　　……

　　由此归纳等差数列的通项公式可得：

　　∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差d，便可求得其通项 。

　　由上述关系还可得：

　　即：

　　则： =

　　即等差数列的第二通项公式

　　∴ d=

　　三.例题讲解:

　　例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项

　　⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项?如果是，是第几项?

　　解：⑴由 n=20，得

　　⑵由 得数列通项公式为：

　　由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

　　例3 已知数列{ }的通项公式 ，其中 、 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列?若是，首项与公差分别是什么?

　　分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 (n≥2)是不是一个与n无关的常数。

　　解：当n≥2时, (取数列 中的任意相邻两项 与 (n≥2))

　　为常数

　　∴{ }是等差数列，首项 ，公差为 。

　　注：①若d=0，则{ }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

　　②若d≠0, 则{ }是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

　　③数列{ }为等差数列的充要条件是其通项 =pn q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。

　　④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

　　四.课堂练习

　　课本P45练习1、2、3、4

　　[补充练习]

　　1.(1)求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.

　　分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.

　　解：根据题意可知： =3,d=7-3=4.∴该数列的通项公式为： =3 (n-1)×4,即 =4n-1(n≥1,n∈N*)∴ =4×4-1=15, =4×10-1=39.

　　评述：关键是求出通项公式.

　　(2)求等差数列10，8，6，……的第20项.

　　解：根据题意可知： =10,d=8-10=-2.

　　∴该数列的通项公式为： =10 (n-1)×(-2),即： =-2n 12,∴ =-2×20 12=-28.

　　评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

　　(3)100是不是等差数列2，9，16，……的项?如果是，是第几项?如果不是，说明理由.

　　分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得 等于这一数.

　　解：根据题意可得： =2,d=9-2=7. ∴此数列通项公式为： =2 (n-1)×7=7n-5.

　　令7n-5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.

　　(4)-20是不是等差数列0，-3 ，-7，……的项?如果是，是第几项?如果不是，说明理由.

　　解：由题意可知： =0,d=-3 ∴此数列的通项公式为： =- n ,

　　令- n =-20,解得n= 因为- n =-20没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.

　　五.课时小结

　　通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：

　　- =d ，(n≥2，n∈N ).其次，要会推导等差数列的通项公式： ，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式： 和 =pn q (p、q是常数)的理解与应用.

　　六.课后作业

　　课本P45习题 2.2[A组]的第1题

　　七.授后记

　　2.2等差数列(2)

　　教学目标：明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

　　教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

　　教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

　　教学过程：

　　一.课题导入

　　首先回忆一下上节课所学主要内容：

　　1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即 - =d ，(n≥2，n∈N )，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)

　　2.等差数列的通项公式：

　　( 或 =pn q (p、q是常数))

　　3.有几种方法可以计算公差d

　　① d= - ② d= ③ d=

　　二.讲授新课

　　问题：如果在 与 中间插入一个数A，使 ，A， 成等差数列数列，那么A应满足什么条件?

　　由定义得A- = -A ，即：

　　反之，若 ，则A- = -A

　　由此可可得： 成等差数列

　　[补充例题]

　　例 在等差数列{ }中，若 =9, =7, 求 , .

　　分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差)，本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……

　　解：∵ {an }是等差数列

　　∴ = =9 =9- =9-7=2

　　∴ d= - =7-2=5

　　∴ = (9-4)d=7 5*5=32 ∴ =2, =32

　　三.例题讲解：

　　课本P44的例2 解略

　　课本P45练习5

　　已知数列{ }是等差数列

　　(1) 是否成立? 呢?为什么?

　　(2) 是否成立?据此你能得到什么结论?

　　(3) 是否成立??你又能得到什么结论?

　　结论：(性质)在等差数列中，若m n=p q，则，

　　即 m n=p q (m, n, p, q ∈N )

　　但通常 ①由 推不出m n=p q ，②

　　探究：等差数列与一次函数的关系

　　四.课堂练习

　　1.在等差数列 中，已知 ， ，求首项 与公差

　　2. 在等差数列 中, 若 求

　　五.课时小结

　　节课学习了以下内容：

　　1. 成等差数列

　　2.在等差数列中， m n=p q (m, n, p, q ∈N )

　　六.课后作业

　　课本P46第4、5题

　　七.授后记

　　2.3 等差数列的前n项和(1)

　　教学目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

　　通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

　　教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应

　　教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

　　教学过程

　　一.课题导入

　　“小故事”:

　　高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

　　1 2 …100=?”

　　过了两分钟,正当大家在：1 2=3;3 3=6;4 6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

　　“1 2 3 … 100=5050。

　　教师问：“你是如何算出答案的?

　　高斯回答说：因为1 100=101;

　　2 99=101;…50 51=101，所以

　　101×50=5050”

　　这个故事告诉我们：

　　(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。

　　(2)该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。

　　二.讲授新课

　　1.等差数列的前 项和公式1：

　　证明： ①

　　②

　　① ②：

　　∵

　　∴ 由此得：

　　从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性

　　2. 等差数列的前 项和公式2：

　　用上述公式要求 必须具备三个条件：

　　但 代入公式1即得：

　　此公式要求 必须已知三个条件： (有时比较有用)

　　三.题例讲解：

　　课本P49-50的例1、例2、例3

　　由例3得与 之间的关系：

　　由 的定义可知，当n=1时， = ;当n≥2时， = - ，

　　即 = .

　　四.课堂练习

　　课本P52练习1、2、3、4

　　五.课时小结

　　本节课学习了以下内容：

　　1.等差数列的前 项和公式1：

　　2.等差数列的前 项和公式2：

　　六.课后作业

　　课本P52-53习题[A组]2、3题

　　七.授后记

　　2.3等差数列的前n项和(2)

　　教学目标：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式;了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值;

　　教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式

　　教学难点：灵活应用求和公式解决问题

　　教学过程：

　　一.课题导入

　　首先回忆一下上一节课所学主要内容：

　　1.等差数列的前 项和公式1：

　　2.等差数列的前 项和公式2：

　　二.讲授新课

　　探究：——课本P51的探究活动

　　结论：一般地，如果一个数列 的前n项和为 ，其中p、q、r为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗?如果是，它的首项与公差分别是多少?

　　由 ，得

　　当 时 = =

　　=2p

　　对等差数列的前 项和公式2： 可化成式子：

　　，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

　　三.例题讲解

　　等差数列前项和的最值问题

　　课本P51的例4 解略

　　小结：

　　对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

　　利用 :

　　当 >0，d<0，前n项和有最大值 可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值

　　当 <0，d>0，前n项和有最小值 可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值

　　利用 ：

　　由 利用二次函数配方法求得最值时n的值

　　四.课堂练习

　　1.一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。

　　2.差数列{ }中, =-15, 公差d=3, 求数列{ }的前n项和 的最小值。

　　五.课时小结

　　1.前n项和为 ，其中p、q、r为常数，且 ，一定是等差数列，该数列的首项是 ，公差是d=2p

　　通项公式是

　　2.差数列前项和的最值问题有两种方法:

　　(1)当 >0，d<0，前n项和有最大值 可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值。

　　当 <0，d>0，前n项和有最小值 可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值。

　　(2)由 利用二次函数配方法求得最值时n的值

　　六.课后作业

　　课本P 53习题[A组]的5、6题

　　七.授后记

　　2.4等比数列(1)

　　教学目标：掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导;通过实例，理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力;体会等比数列与指数函数的关系。

　　教学重点：等比数列的定义及通项公式

　　教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题

　　教学过程：

　　一.课题导入

　　复习：等差数列的定义： - =d ，(n≥2，n∈N )

　　等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。

　　课本P41页的4个例子：

　　①1，2，4，8，16，…

　　②1， ， ， ， ，…

　　③1，20， ， ， ，…

　　④ ， ， ， ， ，……

　　观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④ 四个数列有什么共同特征?

　　共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。

　　二.讲授新课

　　1.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0)，即： =q(q≠0)

　　1(“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

　　{ ｝成等比数列 =q( ,q≠0)

　　2( 隐含：任一项

　　“ ≠0”是数列{ ｝成等比数列的必要非充分条件.

　　3( q= 1时，{an}为常数。

　　2.等比数列的通项公式1:

　　由等比数列的定义，有：

　　;

　　;

　　;

　　… … … … … … …

　　3.等比数列的通项公式2:

　　4.既 是等差又是等比数列的数列：非零常数列

　　探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系

　　等比数列与指数函数的关系：

　　等比数列{ ｝的通项公式 ,它的图象是分布在曲线 (q>0)上的一些孤立的点。

　　当 ，q >1时，等比数列{ ｝是递增数列;

　　当 ， ，等比数列{ ｝是递增数列;

　　当 ， 时，等比数列{ ｝是递减数列;

　　当 ，q >1时，等比数列{ ｝是递减数列;

　　当 时，等比数列{ ｝是摆动数列;当 时，等比数列{ ｝是常数列。

　　三.例题讲解

　　课本P57例1、例2、P58例3 解略。

　　四.课堂练习

　　课本P59练习1、2

　　[补充练习]

　　2.(1) 一个等比数列的第9项是 ，公比是- ，求它的第1项(答案： =2916)

　　(2)一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项(答案： = =5, = q=40)

　　五.课时小结

　　本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式.

　　六.课后作业

　　课本P60习题A组1、2题

　　七.授后记

　　2.4等比数列(2)

　　教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法

　　教学重点：等比中项的理解与应用

　　教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题

　　教 学过程：

　　Ⅰ.课题导入

　　首先回忆一下上一节课所学主要内容：

　　1.等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0)，即： =q(q≠0)

　　2.等比数列的通项公式: ，

　　3.{ ｝成等比数列 =q( ,q≠0) “ ≠0”是数列{ ｝成等比数列的必要非充分条件

　　4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列

　　二.讲授新课

　　1.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=± (a,b同号)

　　如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则 ，

　　反之，若G =ab,则 ，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列 G =ab(a·b≠0)

　　三.例题讲解

　　课本P58例4

　　证明：设数列 的首项是 ，公比为 ; 的首项为 ，公比为 ，那么数列 的第n项与第n 1项分别为：

　　它是一个与n无关的常数，所以 是一个以q1q2为公比的等比数列

　　拓展探究：

　　对于例4中的等比数列{ }与{ }，数列{ }也一定是等比数列吗?

　　探究：设数列{ }与{ }的公比分别为 ，令 ，则 ，

　　所以，数列{ }也一定是等比数列。

　　课本P59的练习4

　　已知数列{ }是等比数列，

　　(1) 是否成立? 成立吗?为什么?

　　(2) 是否成立?你据此能得到什么结论?

　　是否成立?你又能得到什么结论?

　　结论：2.等比数列的性质：若m n=p k，则

　　在等比数列中，m n=p q， 有什么关系呢?

　　由定义得：

　　， 则

　　四.课堂练习

　　课本P59-60的练习3、5

　　五.课时小结

　　1、若m n=p q，

　　2、若 是项数相同的等比数列，则 、{ }也是等比数列

　　六.课后作业

　　课本P60习题2.4A组的3、5题

　　七.授后记

　　2.5等比数列的前n项和(1)

　　教学目标：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路;会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

　　经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

　　教学重点：等比数列的前n项和公式推导

　　教学难点：灵活应用公式解决有关问题

　　教学过程：

　　一.课题导入

　　[创设情境]

　　[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”

　　二.讲授新课

　　[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数 列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

　　等比数列的前n项和公式：

　　当 时， ① 或 ②

　　当q=1时，

　　当已知 , q, n 时用公式①;当已知 , q, 时，用公式②.

　　公式的推导方法一：

　　一般地，设等比数列 它的前n项和是

　　由

　　得

　　∴当 时， ① 或 ②

　　当q=1时，

　　公式的推导方法二：

　　有等比数列的定义，

　　根据等比的性质，有

　　即 (结论同上)

　　围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式.

　　公式的推导方法三：

　　=

　　= =

　　(结论同上)

　　[解决问题]

　　有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。

　　由 可得

　　= = 。

　　这个数很大，超过了 。国王不能实现他的诺言。

　　三.例题讲解

　　课本P65-66的例1、例2 例3解略

　　四.课堂练习

　　课本P66的练习1、2、3

　　五.课时小结

　　等比数列求和公式：当q=1时， 当 时， 或

　　六.课后作业

　　课本P69习题A组的第1、2题

　　七.授后记

　　2.5等比数列的前n项和(2)

　　教学目标：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题;提高分析、解决问题能力

　　教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式

　　教学难点：灵活使用公式解决问题

　　教学过程

　　一.课题导入

　　首先回忆一下前一节课所学主要内容：

　　等比数列的前n项和公式：

　　当 时， ① 或 ②

　　当q=1时，

　　当已知 , q, n 时用公式①;当已知 , q, 时，用公式②

　　二 .讲授新课

　　1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是 ，求证： ， ， 也成等比列.

　　变式：在等比数列中，已知 ，求 .

　　2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和;

　　(1)a=0时，Sn=0

　　(2)a≠0时，若a=1，则Sn=1 2 3 … n=

　　若a≠1，Sn-aSn=a(1 a … an-1-nan)，Sn=

　　三.课堂练习

　　等比数列 中， ， ，求 .

　　四.课时小结

　　1. 等比数列的前n项和与通项关系;

　　2. 等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是 ， ， ，则数列 ， ， 也成为等比数列.

　　五.课后作业

　　1、设 是方程 的两根，且 成等比数列，则 为( )

　　A、2 B、4 C、 D、

　　2、等比数列 中，前n项和 ，则 等于( )

　　A、-1 B、0 C、1 D、3

　　3、已知数列 的前n项和 ( 是不为0的实数)，那么 ( )

　　A、一定是等差数列 B、一定是等比数列 C、或者是等差数列，或者是等比数列 D、既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

　　4、数列 中 ，对于所有的 都有 ，则 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　5、下列四个数中，哪个是数列 中的一项( )

　　A、380 B、39 C、35 D、23

　　6、已知等比数列 的前 项和 ，则

　　7、求和：(1)

　　(2)

　　(3)

　　六.授后记

　　数列复习小结

　　教学目的：

　　1.系统掌握数列的有关概念和公式。

　　2.了解数列的通项公式 与前n项和公式 的关系。

　　3.能通过前n项和公式 求出数列的通项公式 。

　　授课类型：复习课

　　课时安排：2课时

　　教学过程

　　一、本章知识结构

　　二、知识纲要

　　(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列.

　　(2)等差、等比数列的定义.

　　(3)等差、等比数列的通项公式.

　　(4)等差中项、等比中项.

　　(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法.

　　三、方法总结

　　1.数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想.

　　2.等差、等比数列中，a 、 、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法.

　　3.求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想.

　　4.数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等.

　　四、知识精要：

　　1、数列

　　[数列的通项公式] [数列的前n项和]

　　2、等差数列

　　[等差数列的概念]

　　[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

　　[等差数列的判定方法]

　　定义法：对于数列 ，若 (常数)，则数列 是等差数列。

　　2.等差中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等差数列。

　　[等差数列的通项公式]

　　如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，则等差数列的通项为 。

　　[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。

　　[等差数列的前n项和] 1. 2.

　　[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。

　　[等差中项]

　　如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。即： 或

　　[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

　　[等差数列的性质]

　　1.等差数列任意两项间的关系：如果 是等差数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公差为 ，则有

　　对于等差数列 ，若 ，则 。

　　也就是： ，如图所示：

　　3.若数列 是等差数列， 是其前n项的和， ，那么 ， ， 成等差数列。如下图所示：

　　3、等比数列

　　[等比数列的概念]

　　[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示( )。

　　[等比中项]

　　如果在 与 之间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项。

　　也就是，如果是的等比中项，那么 ，即 。

　　[等比数列的判定方法]

　　定义法：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列。

　　2.等比中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列。

　　[等比数列的通项公式]

　　如果等比数列 的首项是 ，公比是 ，则等比数列的通项为 。

　　[等比数列的前n项和]

　　  当 时，

　　[等比数列的性质]

　　1.等比数列任意两项间的关系：如果 是等比数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公比为 ，则有

　　对于等比数列 ，若 ，则

　　也就是： 。如图所示：

　　4.若数列 是等比数列， 是其前n项的和， ，那么 ， ， 成等比数列。如下图所示：

　　4、数列前n项和

　　(1)重要公式：

　　;

　　;

　　(2)等差数列中，

　　(3)等比数列中，

　　(4)裂项求和： ;( )

　　五.典型例题

　　例1在数列 中， =1， ≥2时， 、 、 - 成等比数列.

　　(1)求 ; (2)求数列 的通项公式.

　　例2已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项.

　　(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

　　(2)设数列{cn}对任意正整数n，均有 ，

　　求c1+c2+c3+…+c2004的值.

　　练1. 等差数列 的首项为 公差为 ;等差数列 的首项为 公差为 . 如果 ，且 求数列 的通项公式.

　　练2. 如图，作边长为 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前 个内切圆的面积和.

　　六.课后作业：

　　1. 集合 的元素个数是( ).

　　A. 59 B. 31 C. 30 D. 29

　　2. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是(　 　).

　　A.648　　B.832　　C.1168　　D.1944

　　3. 设数列 是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首项是( ).

　　A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

　　4. 已知等差数列 的前 项和为 ，则使得 最大的序号 的值为 .

　　5. 观察下面的数阵， 容易看出， 第 行最右边的数是 ， 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?

　　1

　　2 3 4

　　5 6 7 8 9

　　11 12 13 14 15 16

　　18 19 20 21 22 23 24 25

　　… … … … … …

　　七。教后记：