【真题体验】

　　1.(2012·江苏改编)已知cos3(π)=3(1)，则sin-x(π)=________.

　　解析　sin-x(π)=cos3(π)=3(1).

　　2.(2012·江苏)设α为锐角，若cos6(π)=5(4)，则sin12(π)的值为________.

　　解析　由条件可得cos3(π)=2ccs26(π)-1=25(7)，sin3(π)=25(24)，

　　所以sin12(π)=sin4(π)=2(2)25(7)=50(2).

　　3.(2011·江苏)函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)=________.

　　解析　因为由图象可知振幅A=，4(T)=12(7π)-3(π)=4(π)，所以周期T=π=ω(2π)，解得ω=2，将2(7π)代入，解得一个符合的φ=3(π)，从而y=sin3(π)，∴f(0)=2(6).

　　4.(2012·南通、泰州、扬州调研)已知角φ的终边经过点P(1，-2)，函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3(π)，则f12(π)=________.

　　解析　由图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3(π)，得T=3(2π)=ω(2π)⇒ω=3，又角φ的终边经过点P(1，-2)，所以sin φ=5(-2)，cos φ=5(1)，所以f(x)=sin(3x+φ)

　　f12(π)=sin+φ(π)=2(2)5(2)=-10(10).

　　5.(2010·江苏)定义在区间2(π)上的函数y=6cos x的图象与y=5tan x的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________.

　　解析　线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos x=5tan x，整理得6sin2x+5sin x-6=0，解得sin x=3(2).线段P1P2的长为3(2).

　　【应对策略】

　　三角函数既是重要知识，又是重要工具，作为知识，它与函数、平面向量有着密不可分的联系，三角函数的概念、基本性质及图象都是从函数的角度出发的重要基础知识，三角恒等变换是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是三角函数与向量的综合更是考查重点，题型可能是填空题，也可能是解答题.需要熟练掌握三角函数内部知识的综合及三角函数与向量的综合.

　　必备知识

　　1.三角函数的概念，如象限角、轴线角、终边相同的角、三角函数的定义、定义域、符号法则、弧度制等;

　　2.同一个角的正弦、余弦、正切函数之间有平方关系和商数关系，平方关系：sin2α+cos2α=1，商数关系：tan α=cos α(sin α).根据同角三角函数的基本关系，如果已知角α的某一个三角函数值，就可以求出其它两个三角函数值，不过解的个数要根据角α所在的象限或范围确定.

　　3.诱导公式揭示的是k·2(π)±α(k∈Z)与α的三角函数值之间的等量关系式，记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”.

　　4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等三角函数性质，要熟练掌握;

　　5.熟记两角和与差的三角函数、二倍角公式，掌握公式的常见变形，如辅助角公式

　　asin α+bcos α=sin(α+φ)，降幂公式cos2α=2(1+cos 2α)，sin2α=2(1-cos 2α)等.

　　必备方法

　　1.解决三角函数实际应用问题的一般步骤是：(1)认真审题，找出自变量，分析出三角函数与自变量之间的函数关系，写出解析式，并且根据题意和实际意义确定函数定义域，简单地说，就是建立数学模型;(2)利用所学三角函数知识解决这一数学模型.

　　2.三角函数在代数中的应用，一般是用换元法将三角函数看做一个整体变量，利用其值域等性质限制函数定义域，再利用函数等代数知识求解.

　　3.三角恒等变形的基本思路

　　(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧.

　　“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”.

　　(2)角的变换是三角变换的核心，如β=(α+β)-α，2α=(α+β)+(α-β)等.

　　命题角度一　三角变换与求值

　　[命题要点] ①给角求值;②给值求值;③给值求角.

　　【例1】► (2011·江苏)已知tan4(π)=2，则tan 2x(tan x)的值为________.

　　[审题视点] 由已知条件先确定tan x的值，再化简待求式，然后代入求得.

　　解析　由tan4(π)=2，得1-tan x(tan x+1)=2，解得tan x=3(1)，

　　所以tan 2x(tan x)=1-tan2x(2tan x)=2(1-tan2x)=9()=9(4).

　　给角求值问题，一般方法是利用三角公式将非特殊角转化为特殊角;给值求值问题，要观察已知与所求的关系，注意从角、三角函数名称等几个方面观察，应用角的变换、名称变换等寻找关系;给值求角一般要有求两个方面，一是所求角的范围，二是所求角的某个三角函数值，很多时候还需要缩小角的范围，使得所求三角函数在该区间上单调.

　　【突破训练1】 (2012·江西改编)若tan θ+tan θ(1)=4，则sin 2θ=________.

　　解析　已知某个角的正切值，求关于正弦、余弦的齐次分式时，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，以达到简解的目的.

　　∵tan θ+tan θ(1)=tan θ(1+tan2θ)=4，∴4tan θ=1+tan2θ，

　　∴sin 2θ=2sin θcos θ=sin2θ+cos2θ(2sin θcos θ)=1+tan2θ(2tan θ)=4tan θ(2tan θ)=2(1).

　　命题角度二　三角函数的图象与性质

　　[命题要点] 已知函数图象求函数解析式;三角函数性质的简单应用.

　　　【例2】► 函数y=Asin(ωx+φ)2(π)的一段图象(如图所示)，求其解析式.

　　[审题视点] 先由图象求出函数的周期，从而求得ω的值，再由关键点求φ，最后将(0，)代入求A的值.

　　解　设函数的周期为T，则4(3)T=8(7π)-8(π)=4(3)π，∴T=π，∴ω=T(2π)=2.

　　又∵2×8(π)+φ=2kπ+2(π)(k∈Z)，∴φ=2kπ+4(π)(k∈Z)，又∵|φ|<2(π)，∴φ=4(π).

　　∴函数解析式为y=Asin4(π).又图象过点(0，)，∴Asin4(π)=，

　　∴2(2)A=，∴A=2.∴所求函数的解析式为y=2sin4(π).

　　(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;由图象上的关键点确定φ.

　　(2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为4(1)个周期.

　　【突破训练2】 已知函数y=Asin(ωx+φ)，ω>0(π)的图象的一部分如图所示.

　　(1)求f(x)的表达式;

　　(2)试写出f(x)的对称轴方程.

　　解　(1)观察图象可知：A=2且点(0,1)在图象上，

　　所以1=2sin(ω·0+φ)，即sin φ=2(1)，因为|φ|<2(π)，所以φ=6(π).

　　又因为12(11)π是函数的一个零点，且是图象上升穿过x轴形成的零点，所以12(11π)ω+6(π)=2π，所以ω=2.故f(x)=2sin6(π).

　　(2)设2x+6(π)=B，则函数y=2sin B的对称轴方程为B=2(π)+kπ，k∈Z，

　　即2x+6(π)=2(π)+kπ(k∈Z)， 解上式得x=2(kπ)+6(π)(k∈Z)，

　　所以f(x)=2sin6(π)的对称轴方程为x=2(kπ)+6(π)(k∈Z).

　　命题角度三　三角函数的图象和性质的综合应用

　　[命题要点] ①三角函数的值域;②三角函数的最小正周期;③三角函数的单调区间;④三角函数的对称性.

　　【例3】► (2012·南京、盐城模拟)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+2(1)(x∈R).

　　(1)求函数f(x)的最小正周期;

　　(2)求函数f(x)在区间4(π)上的函数值的取值范围.

　　[审题视点] 将三角函数化为标准型，利用周期公式求解，再利用三角函数的性质求值域.

　　解　(1)因为f(x)=2(3)sin 2x-2(1)cos 2x=sin6(π)，故f(x)的最小正周期为π.

　　(2)当x∈4(π)时，2x-6(π)∈3(π)，故所求的值域为3().

　　求解三角函数的周期，一般是化为标准型后，再利用周期公式求解，或者利用三角函数图象求周期.三角函数的值域有几种常见类型：一是可以化为标准型的，利用三角函数图象求解;二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元”的取值范围.

　　【突破训练3】 (2012·苏州期中)已知函数f(x)=cos3(π)+2sin4(π)sin4(π).

　　(1)求函数f(x)的最小正周期;

　　(2)求函数f(x)在区间2(π)上的值域.

　　解　(1)∵f(x)=cos3(π)+2sin4(π)·sin4(π)

　　=2(1)cos 2x+2(3)sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)

　　=2(1)cos 2x+2(3)sin 2x+sin2x-cos2x

　　=2(1)cos 2x+2(3)sin 2x-cos 2x=sin6(π). ∴T=2(2π)=π.

　　(2)∵x∈2(π)，∴2x-6(π)∈6(5π)

　　∴sin6(π)max=1，sin6(π)min=-2(1)

　　即f(x)=sin6(π)的值域为，1(1).

　　4.解决三角函数需注意的两个问题

　　一、要充分挖掘题中隐含条件

　　【例1】► 在△ABC中，如果4sin A+2cos B=1,2sin B+4cos A=3，则∠C的大小是________.

　　解析　两式平方相加并化简得sin(A+B)=2(1)，所以sin C=2(1)，得∠C=6(π)或6(5π)，检验：当∠C=6(5π)时，A+B=6(π)，则A，B∈6(π)，sin A∈2(1)，cos B∈，1(3)，4sin A+2cos B∈(，4)与4sin A+2cos B=1矛盾，所以∠C=6(5π)舍去，即∠C=6(π).

　　老师叮咛：在三角恒等式中，如果不充分挖掘题中条件，又没有对结果检验，很容易产生增根，如本题两式平方相加并化简得sin(A+B)=2(1)，所以sin C=2(1)，得∠C=6(π)或6(5π)，产生了增根6(5π).

　　二、给值求角时要注意缩小所求角的范围

　　【例2】► 若tan(α-β)=2(1)，tan β=-7(1)，且α，β∈(0，π)，则2α-β的值为________.

　　解析　由上面解得tan α=3(1)，α∈(0，π)，所以α的范围可以缩小为4(π)，同理，由tan β=-7(1)以及β∈(0，π)，β的范围可以缩小为，π(π)，所以2α-β∈(-π，0)，又tan(2α-β)=1，所以2α-β的值为-4(3π).

　　老师叮咛：题中角的范围太大，使得正切函数在该区间上不单调，如有同学求出2α-β∈4(2π)，得2α-β的值为-4(3π)或 4(π)或4(5π)，这种错误主要是没有对2α-β的范围进行缩小而产生了增根，所以尽可能缩小角的范围很重要.

　　5.练习

　　1.给出下列说法：

　　①正切函数在定义域内是增函数;

　　②函数f(x)=2tan4(π)的单调递增区间是4(π)(k∈Z);

　　③函数y=2tan3(π)的定义域是+kπ，k∈Z(π);

　　④函数y=tan x+1在3(π)上的最大值为+1，最小值为0.

　　其中正确说法的序号是________.

　　2.(2012·苏北四市调研)已知函数f(x)=sin+x(π)·sin-x(π)+sin xcos x(x∈R).

　　(1)求f6(π)的值;

　　(2)在△ABC中，若f2(A)=1，求sin B+sin C的最大值.

　　3.已知函数f(x)=a+sin x(x)+b，当x∈[0，π]时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值.

　　4.(2012·广东)已知函数f(x)=2cos6(π)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.

　　(1)求ω的值;

　　(2)设α，β∈2(π)，fπ(5)=-5(6)，fπ(5)=17(16)，求cos(α+β)的值.

　　6.练习答案

　　1.②④

　　2. (1) f6(π)=1. (2) sin B+sin C的最大值为.

　　3.. -1(b=3)或.(b=4，)

　　4.(1)ω=5(1).

　　(2)∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=5(4)×17(8)-5(3)×17(15)=-85(13).