一. 教学内容：

　　异面直线所成角及距离

　　二. 重点、难点：

　　1. 异面直线所成角定义。

　　异面直线 、 ，过空间一点O作 、 ，直线 ， 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 和 所成的角。

　　2. 异面直线所成角的计算。

　　(1)平移其中一条或两条使其相交。

　　(2)连接端点，使角在一个三角形中。

　　(3)计算三条边长，用余弦定理计算余弦值。

　　(4)若余弦值为负，则取其相反数。

　　3. 公垂线。

　　与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条。

　　4. 两条直线垂直。

　　(1)相交垂直 (2)异面垂直

　　5.

　　6. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离。

　　【典型例题】

　　异面直线所成的角与距离：

　　[例1] 正方体 棱长为 ，对角线 长为 。

　　① 异面直线 与 所成的角。

　　② 异面直线 与 的距离。

　　③ 异面直线 与 所成的角。

　　④ 异面直线 与 所成的角。

　　⑤ M、N为 、 中点，MN与AC所成角。

　　⑥ H为BC中点， 与 所成角。

　　解：

　　① ∴ 与 所成锐角即为两条异面直线所成的角 。

　　② AB为两条异面直线的公垂线 ∴ 距离为

　　③ 为等边三角形 ∴ 成角为

　　④ 延长DC至E使CE=CD

　　中， ， ， 中，DE= ，AD=

　　∴ AE ，由余弦定理

　　⑤ MN//BD ∴ 所成角为

　　⑥ F为AD中点， ， 中， ，

　　，

　　∴ ∴ 所成角为

　　[例2] 四面体ABCD，棱长均为 (正四面体)

　　① 求异面直线AD、BC的距离。

　　② 求AC、BD所成的角。

　　③ E、F为BC、AD中点，求AE、CF所成角。

　　解：

　　① E、F为BC、AD中点，连AE、DE、BF、CF

　　中， F为等腰 底边中点 ∴ EF⊥AD

　　同上EF⊥BC ∴ E、F为AD、BC公垂线

　　∴

　　② H为CD中点

　　EH//BD EH= FH//AC 为两条异面直线AC、BD所成角

　　∴

　　③ K为DE中点，连FK，FK//AE CF与FK所夹锐角为异面直线AE、CF所成角

　　∴

　　[例3] 正方体 中，E、F为AB、 中点，求 、 所成的角。

　　证：H在 上， M为 中点

　　∴

　　∴ HF与 所成角等于异面直线 、 所成的角

　　设棱长为

　　中， ∴ 、 所成角为

　　[例4] P为 所在平面外一点，E为PA中点，且 ， ， ， ( )。求异面直线BE、PC的距离。

　　解：F为PC中点连EF

　　EF为PC、BE公垂线

　　∴ BE、PC距离为

　　【模拟试题】(答题时间：60分钟)

　　1. ， 、 与 、 均垂直，则 、 的关系为( )

　　A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上均可能

　　2. 已知异面直线 、 成 角，P为空间一点，则过P且与 、 所成角均为 的直线有( )

　　A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 无数条

　　3. 空间直线 满足(1)与 异面;(2)与 成 角;(3)与 距离为10cm;则这样的 有( )

　　A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条

　　4. 、 为异面直线， 为 、 的公垂线， ， 与 、 的关系为( )

　　A. 均不相交 B. 与其中一条相交

　　C. 至少与一条相交 D. 至多与其中一条相交

　　5. 空间四边形ABCD棱长为 ，对角线也为 ，E为AD中点，AB与CE所成角为( )

　　A. B. C. D.

　　【试题答案】

　　1. D 2. B 3. D 4. D 5. C