一、选择题

　　1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于(　　)

　　A.1　 　　　 B.2

　　C.3　 　　　 D.4

　　[答案]　D

　　[解析]　y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′

　　=2(x+1)•(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，

　　∴y′|x=1=4.

　　2.若对任意x∈R，f′(x)=4x3，f(1)=-1，则f(x)=(　　)

　　A.x4 B.x4-2

　　C.4x3-5 D.x4+2

　　[答案]　B

　　[解析]　∵f′(x)=4x3.∴f(x)=x4+c，又f(1)=-1

　　∴1+c=-1，∴c=-2，∴f(x)=x4-2.

　　3.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是(　　)

　　A.nn+1 B.n+2n+1

　　C.nn-1 D.n+1n

　　[答案]　A

　　[解析]　∵f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，

　　∴m=2，a=1，∴f(x)=x2+x，

　　即f(n)=n2+n=n(n+1)，

　　∴数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为：

　　Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)

　　=1-12+12-13+…+1n-1n+1

　　=1-1n+1=nn+1，

　　故选A.

　　4.二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导函数y=f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y=f(x)的图象的顶点在(　　)

　　A.第一象限 B.第二象限

　　C.第三象限 D.第四象限

　　[答案]　C

　　[解析]　由题意可设f(x)=ax2+bx，f′(x)=2ax+b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)=ax+b2a2-b24a，

　　顶点-b2a，-b24a在第三象限，故选C.

　　5.函数y=(2+x3)2的导数为(　　)

　　A.6x5+12x2 B.4+2x3

　　C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)•3x

　　[答案]　A

　　[解析]　∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6，

　　∴y′=6x5+12x2.

　　6.(2010•江西文，4)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2，则f′(-1)=(　　)

　　A.-1 B.-2

　　C.2 D.0

　　[答案]　B

　　[解析]　本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)=4ax3+2bx，f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)，f′(1)=4a+2b，∴f′(-1)=-f′(1)=-2

　　要善于观察，故选B.

　　7.设函数f(x)=(1-2x3)10，则f′(1)=(　　)

　　A.0 B.-1

　　C.-60 D.60

　　[答案]　D

　　[解析]　∵f′(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)′=10(1-2x3)9•(-6x2)=-60x2(1-2x3)9，∴f′(1)=60.

　　8.函数y=sin2x-cos2x的导数是(　　)

　　A.22cos2x-π4 B.cos2x-sin2x

　　C.sin2x+cos2x D.22cos2x+π4

　　[答案]　A

　　[解析]　y′=(sin2x-cos2x)′=(sin2x)′-(cos2x)′

　　=2cos2x+2sin2x=22cos2x-π4.

　　9.(2010•高二潍坊检测)已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为(　　)

　　A.3 B.2

　　C.1 D.12

　　[答案]　A

　　[解析]　由f′(x)=x2-3x=12得x=3.

　　10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为(　　)

　　A.-15 B.0

　　C.15 D.5

　　[答案]　B

　　[解析]　由题设可知f(x+5)=f(x)

　　∴f′(x+5)=f′(x)，∴f′(5)=f′(0)

　　又f(-x)=f(x)，∴f′(-x)(-1)=f′(x)

　　即f′(-x)=-f′(x)，∴f′(0)=0

　　故f′(5)=f′(0)=0.故应选B.

　　二、填空题

　　11.若f(x)=x，φ(x)=1+sin2x，则f[φ(x)]=_______，φ[f(x)]=________.

　　[答案]　2sinx+π4，1+sin2x

　　[解析]　f[φ(x)]=1+sin2x=(sinx+cosx)2

　　=|sinx+cosx|=2sinx+π4.

　　φ[f(x)]=1+sin2x.

　　12.设函数f(x)=cos(3x+φ)(0<φ<π)，若f(x)+f′(x)是奇函数，则φ=________.

　　[答案]　π6

　　[解析]　f′(x)=-3sin(3x+φ)，

　　f(x)+f′(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)

　　=2sin3x+φ+5π6.

　　若f(x)+f′(x)为奇函数，则f(0)+f′(0)=0，

　　即0=2sinφ+5π6，∴φ+5π6=kπ(k∈Z).

　　又∵φ∈(0，π)，∴φ=π6.

　　13.函数y=(1+2x2)8的导数为________.

　　[答案]　32x(1+2x2)7

　　[解析]　令u=1+2x2，则y=u8，

　　∴y′x=y′u•u′x=8u7•4x=8(1+2x2)7•4x

　　=32x(1+2x2)7.

　　14.函数y=x1+x2的导数为________.

　　[答案]　(1+2x2)1+x21+x2

　　[解析]　y′=(x1+x2)′=x′1+x2+x(1+x2)′=1+x2+x21+x2=(1+2x2)1+x21+x2.

　　三、解答题

　　15.求下列函数的导数：

　　(1)y=xsin2x;　　(2)y=ln(x+1+x2);

　　(3)y=ex+1ex-1;　　(4)y=x+cosxx+sinx.

　　[解析]　(1)y′=(x)′sin2x+x(sin2x)′

　　=sin2x+x•2sinx•(sinx)′=sin2x+xsin2x.

　　(2)y′=1x+1+x2•(x+1+x2)′

　　=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2 .

　　(3)y′=(ex+1)′(ex-1)-(ex+1)(ex-1)′(ex-1)2=-2ex(ex-1)2 .

　　(4)y′=(x+cosx)′(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)′(x+sinx)2

　　=(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)(x+sinx)2

　　=-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1(x+sinx)2.

　　16.求下列函数的导数：

　　(1)y=cos2(x2-x);　 　(2)y=cosx•sin3x;

　　(3)y=xloga(x2+x-1);　(4)y=log2x-1x+1.

　　[解析]　(1)y′=[cos2(x2-x)]′

　　=2cos(x2-x)[cos(x2-x)]′

　　=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)′

　　=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1)

　　=(1-2x)sin2(x2-x).

　　(2)y′=(cosx•sin3x)′=(cosx)′sin3x+cosx(sin3x)′

　　=-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x.

　　(3)y′=loga(x2+x-1)+x•1x2+x-1logae(x2+x-1)′=loga(x2+x-1)+2x2+xx2+x-1logae.

　　(4)y′=x+1x-1x-1x+1′log2e=x+1x-1log2ex+1-x+1(x+1)2

　　=2log2ex2-1.

　　17.设f(x)=2sinx1+x2，如果f′(x)=2(1+x2)2•g(x)，求g(x).

　　[解析]　∵f′(x)=2cosx(1+x2)-2sinx•2x(1+x2)2

　　=2(1+x2)2[(1+x2)cosx-2x•sinx]，

　　又f′(x)=2(1+x2)2•g(x).

　　∴g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx.

　　18.求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)

　　(1)y=f1x;(2)y=f(x2+1).

　　[解析]　(1)解法1：设y=f(u)，u=1x，则y′x=y′u•u′x=f′(u)•-1x2=-1x2f′1x.

　　解法2：y′=f1x′=f′1x•1x′=-1x2f′1x.

　　(2)解法1：设y=f(u)，u=v，v=x2+1，