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直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角
2012-12-25
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直线与平面垂直;平面与平面垂直;线面成角、面面成角
二. 本周教学重、难点：
1. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
2. 掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法，并会计算所求角的大小。
【典型例题】
[例1] 如图所示，在棱长为
的正方体
中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。(1)求二面角
的大小;(2)M为棱
上的一点，当
的值为多少时，能使
平面EFB1?请给出证明。
解：(1)在底面AC中 ∵ AC⊥BD，EF//AC
∴ BG⊥EF，连结B1G 又 ∵ B1B⊥底面AC ∴ B1G⊥EF
是二面角
的平面角
∴ 二面角
的正切值为
∴ 二面角
的大小为
(2)当
时能使
平面EFB1证明如下：
面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M∵
∴
而
∴
∴
，因此
同理，
∴
平面EFB1[例2] 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，
。求证：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。
证明：连结AC、BD交于O，连结OM、ON、PM、MC
则NO//PA，又PA⊥平面ABCD
∴ NO⊥平面ABCD ∴ NO⊥CD，又MO⊥CD
∴ CD⊥平面MON ∴ CD⊥MN
在
中，
∴ PA=AD又 ∵ AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM ∴
∴ PM=MC ∵ N为PC的中点 ∴ MN⊥PC
又
∴ MN⊥平面PCD[例3] 如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=
，AD=BC=
，
，
，将其沿对角线BD折成直二面角。(1)证明AB⊥平面BCD;
(2)证明平面ACD⊥平面ABD;
(3)求二面角
的大小。
解析：(1)证明：在
中，由余弦定理，得
∴
∴
又 ∵ 二面角
为直二面角，
平面ABD，DB=平面
平面BDC∴ AB⊥平面BDC
(2)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ DC⊥BD ∵ AB⊥平面BDC，AB
平面ABD∴ 平面ABD⊥平面BDC
又 ∵ BD=平面
平面BDC，DC平面BDC，DC⊥平面ABD又 ∵ DC
平面ADC ∴ 平面ADC⊥平面ABD(3)作BQ⊥CE于Q，由平面几何知识，得
连结AQ，由三垂线定理，AQ⊥CE ∴
是二面角
的平面角在
中，
∴
即二面角
的大小为
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