直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角_知识点总结

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直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 2012-12-25 收藏

　　直线与平面垂直;平面与平面垂直;线面成角、面面成角

　　二. 本周教学重、难点：

　　1. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

　　2. 掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法，并会计算所求角的大小。

　　【典型例题】

　　[例1] 如图所示，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。

　　(1)求二面角的大小;

　　(2)M为棱上的一点，当的值为多少时，能使平面EFB1?请给出证明。

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　解：(1)在底面AC中 ∵ AC⊥BD，EF//AC

　　∴ BG⊥EF，连结B1G 又 ∵ B1B⊥底面AC ∴ B1G⊥EF

　　是二面角的平面角

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　　∴ 二面角的正切值为

　　∴ 二面角的大小为

　　(2)当时能使平面EFB1

　　证明如下：面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M

　　∵

∴

　　而

∴

　　∴ ，因此

同理，

　　∴ 平面EFB1

　　[例2] 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，。求证：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。

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　　证明：连结AC、BD交于O，连结OM、ON、PM、MC

　　则NO//PA，又PA⊥平面ABCD

　　∴ NO⊥平面ABCD ∴ NO⊥CD，又MO⊥CD

　　∴ CD⊥平面MON ∴ CD⊥MN

　　在中，∴ PA=AD

　　又 ∵ AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM ∴

　　∴ PM=MC ∵ N为PC的中点 ∴ MN⊥PC

　　又 ∴ MN⊥平面PCD

　[例3] 如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=，AD=BC=，，，将其沿对角线BD折成直二面角。

　　(1)证明AB⊥平面BCD;

　　(2)证明平面ACD⊥平面ABD;

　　(3)求二面角的大小。

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　解析：(1)证明：在中，由余弦定理，得

　　∴

　　又 ∵ 二面角为直二面角，平面ABD，DB=平面平面BDC

　　∴ AB⊥平面BDC

　　(2)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

　　∴ DC⊥BD ∵ AB⊥平面BDC，AB平面ABD

　　∴ 平面ABD⊥平面BDC

　　又 ∵ BD=平面平面BDC，DC平面BDC，DC⊥平面ABD

　　又 ∵ DC平面ADC ∴ 平面ADC⊥平面ABD

　　(3)作BQ⊥CE于Q，由平面几何知识，得直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

　　连结AQ，由三垂线定理，AQ⊥CE ∴ 是二面角的平面角

　　在中，直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

　　∴ 即二面角的大小为

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