极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念(连续、微分、积分)都是建立在极限概念的基础之上。

　　设 为一无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数 (不论它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式 成立，那么就称常数a是数列 的极限，或称数列 收敛于a。记作 或 。　　如果上述条件不成立，就说数列发散。

　　还有一种定义：任给，若在区间 外数列 中的项至多只有有限个，则称数列 收敛于极限a。换句话说，如果存在某 ，使数列 中有无穷多个项落在 之外，则 一定不以a为极限。

　　对定义的理解

　　1、ε的任意性　定义中ε的作用在于衡量数列通项 与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越好;而正数ε可以任意地小，说明 与常数a可以接近到任何程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它来求出N。又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都是任意小的正数，因此可用它们代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数。另外，定义中的

也可改写成 。

　　2、N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的(比如若n>N使 成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使 成立)。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。另外，定义中的n>N也可改写成n≥N。

　　3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式 成立”意味着：所有下标大于N的 都落在(a-ε，a+ε)内;而在(a-ε，a+ε)之外，数列 中的项至多只有N个(有限个)。