2012-12-25
收藏
均值不等式当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。
一、配凑
1. 凑系数
【例1】当时,求
的最大值。
【解析】由知,
,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到
为定值,故只需将
凑上一个系数即可。
当且仅当,即x=2时取等号。
所以当x=2时,的最大值为8。
【评注】本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项
【例2】已知,求函数
的最大值。
【解析】由题意知,首先要调整符号,又
不是定值,故需对
进行凑项才能得到定值。
∵
∴
当且仅当,即
时等号成立。
【评注】本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
3. 分离
【例3】求的值域。
【解析】本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。
(当且仅当x=1时取“=”号)。
当,即
时
(当且仅当x=-3时取“=”号)。
∴的值域为
。
【评注】分式函数求最值,通常化成,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换
【例4】已知,求
的最小值。
【解法1】不妨将乘以1,而1用a+2b代换。
当且仅当时取等号,由
即时,
的最小值为
。
【解法2】将分子中的1用
代换。
【评注】本题巧妙运用“1”的代换,得到,而
与
的积为定值,即可用均值不等式求得
的最小值。
三、换元
【例5】求函数的最大值。
【解析】变量代换,令,则
当t=0时,y=0
当时,
当且仅当,即
时取等号。
故。
【评注】本题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题,从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方
【例6】求函数的最大值。
【解析】注意到的和为定值。
又,所以
当且仅当,即
时取等号。
故。
【评注】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。
总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。
【练一练】
1. 若,求
的最大值。
2. 求函数的最小值。
3. 求函数的最小值。
4. 已知,且
,求
的最小值。
【参考答案】1.
2. 5
3. 8
4.
新人教版七年下5.4《平移》ppt课件之一
新人教版七年下6.2《坐标方法的简单应用-用坐标表示地理位置》ppt课件
新人教版七年下7.3《多边形及其内角和》-多边形内角和ppt课件之一
新人教版七年下6.1《平面直角坐标系》ppt课件之三
新人教版七年下7.1《与三角形有关的线段》ppt课件
七年级下公开课《认识事件的可能性》
喻屯镇二中人教七下5.1《相交线》-垂线ppt课件
新人教版七年下6.2《坐标方法的简单应用-用坐标表示平移》ppt课件之一
新人教版七年下6.1《平面直角坐标系》ppt课件之一
新人教版七年下5.4《平移》(作图)ppt课件
古浪六中 人教七下5.4 《平移》ppt课件
洋桥初中七年级下《三角形的内角》
新人教版七年级下第五章《 相交线与平行线》小结复习(一)
过渡湾镇中心学校七年级下《多边形及其内角和》ppt课件
新人教版七年下7.2《与三角形有关的角-三角形的外角》ppt课件
亿利东方学校 人教七下6.1《平面直角坐标系》ppt课件
新人教版七年下7.2《与三角形有关的角-三角形的外角》ppt课件之一
新人教版七年级下7.1.1安阳九中《走近三角形》
新人教版七年下5.4《平移》ppt课件之二
新人教版七年下5.3《平行线的性质》(命题定理)ppt课件
新人教版七年级下第五章《 相交线与平行线》小结复习(二)
新人教版七年下8.2《消元--二元一次方程组的解.》ppt课件
新人教版七年下7.1《与三角形有关的线段-三角形的边》ppt课件
人教新课标七年级下《三角形的稳定性》
新人教版七年下5.4《平移》(第一课时)ppt课件
新人教版七年下7.2《与三角形有关的角-三角形的内角》ppt课件
新人教版七下5.1.2《垂线》(第2课时)ppt课件
新人教版七年下7.1《与三角形有关的线段-三角形的高、中线与角平分线》ppt课件
新人教七年级下7.1.2《三角形高、中线与角平分线》
新人教版七年级下册《三角形的边》
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |