平面解析几何圆的方程

　　复习：

　　1、求曲线方程的常见方法：坐标法、待定系数法。

　　2、坐标法求曲线方程的步骤

　　(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;

　　(2)写出适合条件P的点M的集合P={M| P(M) };

　　(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0;

　　(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;

　　(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

　　费马

　　17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(1601—1665)。

　　费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何;创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱;通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。

　　笛卡儿

　　笛卡儿于1596年3月出生在法国图赖讷。

　　从青年时代，他充分认识了数学对于科学的广泛作用

　　及其重要性把数学方法看成是一切领域建立真理的方法，

　　并主张把数学应用于各个领域，还认为应该把量化方法应

　　用于一般科学研究。在数学中，他看到了代数与几何割裂

　　的弊端，主张把代数与几何结合起来。把代数方法应用于

　　几何的作图中。指出了作图问题与求方程解之间的关系，

　　通过具体问题，提出了坐标方法，把几何曲线表示成代数

　　方程。

　　平面解析几何

　　7.6 圆 的 方 程

　　第一节 圆 的 标 准 方 程

　　(一)圆的定义：

　　平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆

　　心，定长就是半径。

　　(二)圆的标准方程

　　1、求圆心是C(a,b)，半径是 r 的圆的方程。

　　解：如图所示建立平面直角坐标系，

　　设M(x,y)是圆上任意一点，

　　根据圆的定义，点M到圆心C的距离等于 r，所

　　以圆C就是集合 P = { M | |mc| = r，r>0 }。

　　形成性练习

　　1、已知圆的标准方程，求圆心、半径

　　(1)x2+y2=4。

　　(2)(x-2)2+y2=9

　　(3)(x+2)2+(y-3)2=4

　　2、写出下列各圆的方程：

　　(1)圆心在原点，半径是3。

　　(2)圆心在C(3，4)，半径为 。

　　(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)。

　　(4)圆心C(-5，4)，且与x轴相切。

　　圆心C(2，0)，半径r=3

　　圆心C(-2，3)，半径r=2

　　x2+y2=9

　　(x-3)2+(y-4)2=5

　　(x-5)2+(y-1)2=25

　　(x+5)2+(y-4)2=16

　　圆心(0，0)，半径r=2

　　知识应用与解题研究

　　例1、求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。

　　解：已知圆心C(1，3)只要再求出圆的半径 r， 就能写出圆的方程

　　评析：1、要求圆的方程，只需确定圆心坐标和半径即可。

　　2、直线与圆相切时，圆的半径等于圆心到切线的距离。

　　因为圆C与直线3x-4y-7=0相切，所以半径 r 等于圆心C到这条直线的距离，

　　例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程。

　　分析：求切线方程即求直线方程，条件：点M(x0,y0)，求出斜率即可。(点斜式)

　　法二：设P(x,y)是切线上的任意一点，根据勾股定理得

　　OM2+MP2=OP2

　　r2+(x-x0)2+(y-y0)2= x2+y2

　　由于 ，

　　整理得：

　　法三：设P(x,y)是切线上任意一点，由OM⊥MP

　　所以 =0，用向量的坐标表示可得

　　(x0,y0)?(x-x0，y-y0)=0

　　即x0(x-x0)+ y0(y-y0)=0

　　x0x+y0y=x2+y2

　　∵M(x0,y0)在圆上，∴

　　∴切线方程是：

　　例3：如图，是某圆拱桥的一孔圆拱示意图，该圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。

　　(精确到0.01m)

　　分析：求柱长度，即求P2的纵坐标

　　〖回顾总结〗

　　1、本节重点内容是圆的标准方程，

　　(1)已知圆的标准方程确定圆心、半径;

　　(2)已知不同的条件，求圆的方程。

　　2、本节所用数学方法和数学思想：

　　(1)方法：待定系数法求方程;

　　(2)思想：方程、方程组的数学思想，数型结合的数学思想 。

　　〔训练测试〕

　　1、圆心为点(3，4)且经过点(0，0)的圆的方程是( )

　　A. B.

　　C. D.

　　2、半径是5，圆心在y轴上，且与直线y=6相切的圆的方程是( )

　　A. B.

　　C. 或 D. 或

　　3、求下列条件所确定的圆的方程：

　　(1)圆心为C(3，-5)，与直线x-7y+2=0相切。

　　(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，与直线y=2x+5相切。

　　〔训练测试〕

　　4、已知圆的半径为 ，圆心在直线y=2x上，圆被

　　直线x-y=0截得弦长为

　　则圆的方程 。

　　5、从圆 外一点P(2，3)向这个

　　圆引切线。

　　则切线方程 。

　　〖回顾总结〗

　　1、本节重点内容是圆的标准方程，

　　(1)已知圆的标准方程确定圆心、半径;

　　(2)已知不同的条件，求圆的方程。

　　2、本节所用数学方法和数学思想：

　　(1)方法：待定系数法求方程;

　　(2)思想：方程、方程组的数学思想，数型结合的数学思想 。