2015-11-26
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2014最新高二数学寒假作业
查字典数学网为同学总结归纳了最新高二数学寒假作业。希望对考生在备考中有所帮助,预祝大家寒假快乐。
1.用数学归纳法证明不等式1++++(nN*)成立,其初始值至少应取()
A.7 B.8 C.9 D.10
解析:选B 左边=1++++==2-,代入验证可知n的最小值是8.
2.用数学归纳法证明1+a+a2++an+1=(a1),在验证n=1时,左端计算所得的项为()
A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
解析:选C 等式的左端为1+a+a2++an+1,当n=1时,左端=1+a+a2.
3.利用数学归纳法证明不等式1++++的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是____________.
解析:不等式的左边增加的式子是+-=,故填.
答案:
8.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+1(nN*),通过计算a1,a2,a3,a4,可猜想an=________.
解析:a1=1,a2=a1+1=,a3=a2+1=,a4=a3+1=.猜想an=.
答案:
9.设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=________;当n4时,f(n)=________________(用n表示).
解析:f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,
f(n)=f(3)+3+4++(n-1)=2+3+4++(n-1)
=(n+1)(n-2).
答案:5 (n+1)(n-2)
10.用数学归纳法证明下面的等式:
12-22+32-42++(-1)n-1n2=(-1)n-1.
证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0=1,原等式成立.
(2)假设n=k(kN*,k1)时,等式成立,
即有12-22+32-42++(-1)k-1k2=(-1)k-1.
那么,当n=k+1时,则有12-22+32-42++(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2
=(-1)k-1+(-1)k(k+1)2=(-1)k[-k+2(k+1)]=(-1)k.
n=k+1时,等式也成立,
由(1)(2)知对任意nN*,有12-22+32-42++(-1)n-1n2=(-1)n-1.
11.设数列{an}满足a1=3,an+1=a-2nan+2,n=1,2,3,.
(1)求a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明);
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,试求使得Sn2n成立的最小正整数n,并给出证明.
解:(1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1.
(2)Sn==n2+2n,使得Sn2n成立的最小正整数n=6.
下证:n6(nN*)时都有2nn2+2n.
n=6时,2662+26,即6448成立;
假设n=k(k6,kN*)时,2kk2+2k成立,那么2k+1=22k2(k2+2k)=k2+2k+k2+2kk2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1时,不等式成立;
由可得,对于任意的n6(nN*)都有2nn2+2n成立.
12.(2014舟山模拟)若不等式+++对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明结论.
解:当n=1时,++,即,所以a26.
而a是正整数,所以取a=25,下面用数学归纳法证明
+++.
(1)当n=1时,已证得不等式成立.
(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,
即+++.
则当n=k+1时,有+++
=++++++-
+.
因为+-=-
==0,
所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)(2)知,对一切正整数n,都有
+++,所以a的最大值等于25.
[冲击名校]
已知数列{an}满足a1=0,a2=1,当nN*时,an+2=an+1+an.求证:数列{an}的第4m+1项(mN*)能被3整除.
证明:(1)当m=1时,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.即当m=1时,第4m+1项能被3整除.故命题成立.
(2)假设当m=k时,a4k+1能被3整除,则当m=k+1时,
a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.
显然,3a4k+2能被3整除,又由假设知a4k+1能被3整除.所以3a4k+2+2a4k+1能被3整除.
即当m=k+1时,a4(k+1)+1也能被3整除.命题也成立.
由(1)和(2)知,对于任意nN*,数列{an}中的第4m+1项能被3整除.
以上就是最新高二数学寒假作业,希望能帮助到大家。
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