2017-03-21 收藏
首先,一个集合的大小只应该取决于这个集合本身。
我们知道一个集合可以用多种方法来构造和表示,比如说,
A={小于等于2的正整数}
B={1,2}
C={x2-3x+2=0的根}
其实都是同一个集合,
D={n|n为自然数,且方程xn+yn=zn有xyz0的整数解}
又怎么样呢?1996年英国数学家怀尔斯证明了费尔马大定理,所以集合D和上面的集合A、B、C是同一个集合,它里面有两个元素1和2。我们记得,一个集合由它所含的元素唯一决定,所以它的大小也不能取决于它被表示的方法,或者被构造的途径,它只应该取决于它本身。
一个集合得和自己一样大,这个没有什么好说的;
其次,如果集合A不小于(也就是说或者大于,或者一样大)集合B,而集合B也不小于集合A,那么它们就必须是一样大的;
第三,如果集合A不小于集合B,而集合B又不小于集合C,那么集合A就必须不小于集合C。在数学上,我们称满足这三个条件的关系为偏序关系(注:严格地说,这个偏序关系并不定义在集合之间,而是定义在集合按一样大这个等价关系定义出的等价类之间,关于偏序关系的严格定义的叙述和上面所说的也有区别,但这些问题在这里并不要紧,你如果看不懂这个注在讲什么也不要紧)。如果一个关于集合大小的定义违反了上面所说的三条之一,这个定义的怪异程度一定会超过上面使用一一对应原则的定义!
举个例子,比如说我对某位科幻小说作家的喜爱程度就是一个偏序关系。如果我喜欢阿西莫夫胜于喜欢凡尔纳,而喜欢凡尔纳又胜于喜欢克拉克,那在阿西莫夫和克拉克中,我一定更喜欢阿西莫夫。不过一个偏序关系并不要求任意两个对象都能相互比较。比如说刘慈欣的水平当然不能和克拉克这样的世界级科幻大师比,但是喜欢是一种很个人的事情,作为一个中国人,我对中国的科幻创作更感兴趣所以似乎不能说我更喜欢克拉克,但也不能说我更喜欢刘慈欣,而且也不能说同样喜欢,因为喜欢的地方不一样所以更确切地也许应该说,他们俩之间不能比较。但偏序关系中存在这样的可能性,考试技巧,有一个对象可以和两个不能相互比较的对象中的每一个相比较,比方说我喜欢阿西莫夫胜过刘慈欣和克拉克中的任一个。
不过作为集合大小的定义,我们希望能够比较任意两个集合的大小。所以,对于任何给定的两个集合A和B,或者A比B大,或者B比A大,或者一样大,这三种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。这样的偏序关系被称为全序关系。
最后,新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。有限集合间的大小关系是很清楚的,所谓的大,也就是集合中的元素更多,有五个元素的集合要比有四个元素的集合大,在新的扩充了的集合定义中也必须如此。这个要求是理所当然的,否则我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。
2016学年高二数学必修三期中必备知识点总结:第二章 统计
高二年级数学必修三第三章知识点总结
高二数学等差数列知识点梳理
高二数学圆锥曲线方程知识点整理
高二数学期中考试章节复习要点:进位制
高二上册数学第三章不等式知识点:公式定理记忆口诀
高二数学解不等式问题的分类整理
2016学年高二数学上学期期中复习要点
高二数学平面解析几何知识点口诀总结
高二数学上册第三章不等式知识点2016学年
高二数学必须三章节复习要点:第二章
2016届高二数学必修五第三章知识点:一元二次不等式及其解法
高二年级期中考试数学章节复习要点:抽样方法
2015—2016学年高二年级数学不等式的基本性质知识点总结
高二数学常用逻辑用语知识点总结归纳
高二数学必修五第三章不等式知识点总结
高二数学上学期期中必背知识点:算法的概念
高二数学立体几何知识点口诀整理
高二数学第一学期期中必背知识点:系统抽样
高二年级数学期中考试章节复习要点:辗转相除法
高二数学复数知识点口诀总结归纳
高二数学期中考试必背知识点精编
高二年级期中考试数学章节复习要点整理:算法及流程图
2015—2016高二期中考试数学章节复习要点
第一学期高二数学期中必背知识点:分层抽样
高二数学必修三第一章知识点总结
高二数学上册第三章不等式知识点排列
人教版高二数学必修5第二章等比数列的前n项和知识点
高二数学上学期期中必备知识点精编
高二数学必修三期中必备知识点:第三章 概率
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |