基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。在定义新运算中的※，〇，△……与＋、－、×、÷是有严格区别的。解答定义新运算问题，必须先理解先定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的＋、－、×、÷运算问题。

典型例题

例【1】 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。

分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。

解 由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）

可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）

＝（5＋21）×12

＝26×12

＝312

例【2】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）

分析 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。

解 由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；

6△（3△4）

＝6△1

＝（6＋1）÷1

＝7

例【3】 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。

分析 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。

解 将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。

例【4】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]

分析 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。

解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]

＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]

＝6×5

＝30

例【5】 如果1※2＝1＋11

2※3＝2＋22＋222

3※4＝3＋33＋333＋333＋3333

计算：（3※2）×5。

分析 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。

解 （5※3）×5。

＝（5＋55＋555）×5

＝3075

小结 解决新定义运算问题，首先理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作，在操作过程中，不能按原来＋、－、×、÷运算法则合并使用，但可以根据不同的定义归纳出相对应的运算规律，因此解决新定义问题的关键是同学们对问题的理解及适应能力。