教学内容解析：

本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十一章“全等三角形”第3节“角平分线的性质”第2课时的内容。在此之前第1课时学习的角平分线的尺规作图，这为本节课学习角平分线的性质做好了铺垫;本章前面学习的全等三角形的有关知识，为本节课证明角平分线的性质创造了条件;本节课对角平分线性质的探究为今后学习图形对称、等腰三角形奠定了基础;对角平分线性质的证明为学生学会思考问题，注重书写格式，清楚地表达思考的过程提供了方法，使学生体会证明的必要性;角平分线性质的应用为证明线段相等、角相等开辟了新的途径。

教学重、难点

基于对本节课教学内容的分析，本节课的重点定为：角平分线性质的理解和应用;难点是：探究角平分线的性质及文字命题的论证。

学习目标

知识与技能：

1.掌握“角平分线线上的点到角的两边距离相等”这一的性质;

2.能运用“角平分线线上的点到角的两边距离相等”这一性质解决简单的几何问题;

3.初步学会将文字语言转化为图形和符号语言并按步骤进而证明，提高分析问题及逻辑推理能力。

过程与方法：通过实验探究活动，经历“角平分线上的点到角的两边距离相”这一性质的发现和证明过程。

情感态度与价值观：通过学习，体验获取数学知识的成就感;渗透从不同的侧面认识事物的辩证思维方法。

教学过程实录及评析：

一、创设情境、导入新课

师(多媒体展示)问题情境：如图1，在公路和铁路交叉所成的角平分线上有一空旷场地，市政府决定利用此空旷地投资修建一个批发市场，那么这个批发市场到公路和铁路的距离哪个更近?

生：有的回答“一样近”。

师：为什么会“一样近”?本节课我们就带着这个问题走进今天的学习内容。

板书：角平分线的性质。

评析：教师试图通过创设确定在公路和铁路交叉所成的角平分线上有一空旷场地批发市场(点)到公路和铁路(角的两边)的距离关系为问题情境引出“角平分线上的点到角的两边距离相等”(“一样近”)的结论，使学生体验到理论来自实际的需要，从而引导学生对学习本课新知识产生强烈的求知欲。从教学的理念上看这个问题情境的设置体现了新课程从实际生活引入数学学习材料，让学生感受数学来自生活的教学理念。但从数学学科特点看，课堂上没有从角平分线性质的本质特征(一是角平分线上任一点到角的两边的距离(两条线段)的存在，二是这两条线段的数量关系是相等)给学生造成某种数量关系的认知冲突，学生只是简单答成“一样近。究其原因是因为过于关注形式，淡化了数学的本质。在课堂教学中，创设的问题情境要蕴含数学知识的本源，抓住数学知识本源和数学思想方法，与新课程理念所倡导的理念有机整合，纠正“去数学化”倾向，还数学教学本来面目!

二、实验探究、学习新知

活动一：折纸实验。

师：不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?

生：对拆。

师：再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系?(让五个学生上讲台演示自己的活动成果)。

众生：角平分线。

评析：活动一的教学目的是让学生通过折纸实验初步感知“角平线上的点到角的两边距离相等”这一事实。但是，此活动只让学生折出角平分线是一个不完整的活动，学生在折纸过程中没有达到实验探究的效果。教科书中通过折纸活动得到“角平分线上的点到角的两边距离相等”的结论是由如图2所示通过两次折纸得到的。这里只完成了第一次。而第二次是再折出一个直角三角形并展开后会出现两条折痕，这两条折痕的数量关系如何，此时没有体现出来。至于在第二种折法中再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的，这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数确被教师忽略了(即角平分线上的点的任意性)，从而导致教学过程变成了信马由缰的活动，学生在“蒙”和“碰”中前行，漫无目的。问题产生的主要原因是教师没有领悟探究角平分线的性质折纸实验的本质是首先寻找到角的两边距离等长的两条折痕，教学抓不住“本质”就会变得无的放矢。(注：在课堂上确有学生折出直角三角形来了，可惜教师没有发现或被忽视。)

活动二：探究、猜想角平分线的性质

探究步骤：

1.如图3，在所折的折痕上取点的三个不位置，分别过点作，，点、为垂足。

2.测量、的长。

3.将三次数据填入下表：

4.观察每次测量结果, 猜想线段与的有怎样的数量关系，写出结论：

生：按老师的要求独立完成实验探究(过程略)。

师：从上面的活动你得出什么结论?

生：每次测量出的线段与一样长。

师：其他同学是不是都是这样?

众生：是。

师：由此你能得出什么猜想?

生：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。

评析：虽然学生对“角平分线”的性质给出了教师期望的比较完美的猜想结果，但从课堂教学的过程看这绝不是学生在理解和感悟的基础上给出的。学生的回答可能基于两个原因：一是学生确实通过活动二得到“角平分线上的点到角的两边距离相等” 的猜想;二是学生可能受学习“角平分线”的画法和折纸实验的启发，从而产生了联想;三是学生可能在课前进行了预习，从教科书上直接得到。从课堂教学的实际效果看，“让学生经历“角平分线上的点到角的两边距离相”这一性质的发现过程这一目标未能得到有效的落实。

师：如何证明“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一猜想?

活动三：验证猜想

师板书命题：“角平分线上的点到角的两边的距离相等”。

师(多媒体展示)：证明一个几何中的命题有以下步骤：

1.根据题意，画出图形;

2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证;

3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程。

师：结合图3思考：命题的已知、求证是什么?

生1：命题的已知、求证是：角平分线上的点到角的两边位置相等。

生2：作的是90°的角。

师对学生的回答显得无奈，只好再作提示：首先要明确什么是已知，什么是求证?并用多媒体直接展示：

已知：1.角平分线上的点;2.点到角的两边的距离。

求证：这一点到角的两边距离相等。

师提示用数学语言表示为：

已知：如图3，平分，点在上。

生：于点，于点。

师肯定：这就是把已知条件中的文字语言转化为数学语言。

师：求证怎样写?

生：求证：

师：你们能不能证明?

生齐答：能。

师：请同学们证明(并请一学生到黑板上板演)

生：独立证明。

一学生板演实录：

证明：如图4，∵平分。

∴。

又∵于点，于点。

∴

在△和△中。，，。

∴△≌△。∴。

师：巡视、指导学生完成证明，并有针对性的讲评(略)

师：证明一个几何命题的步骤有那些?

生答：写出已知、求证并证明。

师：怎样结合图3用数学语言来表述角的平分线的性质?

生答师板书：符号语言：如图3，∵是的平分线，点在上，于点，于点。 ∴。

评析：教师试图通过活动三引导学生对如何证明“猜想“，并展开探究，呈现角平分线“性质”的形成过程。从教学的视角看，这环节有点乱，表面上教学理念新颖，数学活动调动了学生学习的积极性，课堂上学生的参与度高，气氛热烈，教学民主，学生的主体地位得到了很好的体现。但从数学的视角看，这这环节的教学没有抓住证明命题的本质，特别是当学生的思维“离经叛道”( 如学生答成：命题的已知、求证是：“角平分线上的点到角的两边位置相等”;“作的是90°的角”)时，教师显得无奈。事实上，探究角平分线的性质及文字命题的论证是本课的难点，要突破分析证明命题的途径这一难点需要在学习中逐步培养学生的分析能力，对于文字命题要尽量帮助学生分析并画好了图形，结合图形写出已知、求证及证明过程，

三、学以致用、巩固新知

师：应用这个性质，必须抓做什么条件?

生：角的平分线和角平分线上的点到角的两边的距离。

师(多媒体展示)练习题：

1.判断：

⑴如图5，为的平分线，则。( )

⑵如图6，于点，于点，则。( )

⑶是的平分线，在上取一点到的距离等于，则到的距离为。( )

注：此题教师采用的方法是教师问，学生答的形式，过程略。

2.回答“问题情境”中提出的问题。

生：批发市场到公路和铁路的距离相等。

3.实践应用：如图7：在△中，，是的平分线，于，在上，。求证：。

此题抽两个学生上黑板板书解题过程。

生1：证明：∵，∴。∵，∴。

∵是的平分线，∴。

在△和△中，，，。

∴△≌△。∴。

生2：证明：∵是的平分线，∴。

又∵，∴，

∵，∴。

在△和△中，，。

∴△≌△。

∴。

以下证明与生1相同，略。

师：讲评(过程略)

师：比较上面两种证法，哪种方法简单?

生：第一种。

4.链接中考

如图8，在△中，，平分，于，若，，。

求△的周长。

此时因教学时间关系教师只作了提示，要求学生课后完成。

评析：此环节主要意图是通过课堂练习落实能运用“角平分线线上的点到角的两边距离相等”这一性质解决简单的几何问题这一知识与技能目标。从课堂教学过程观察，学生在实践应用过程中还有不少学生象生2的解答哪样，没有用好本课所学的性质。

四、畅谈收获、布置作业

师：这节课从知识和方法的角度你有什么收获呢?与你的同伴进行交流。

生：活动交流，畅谈收获，并归纳出本节收获是：

在知识上：理解了“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质。

在方法上主要学习了：

⑴运用观察、测量、猜想、验证等方法获得新知识;

⑵解决角平分线的问题的常用方法:从角平分线上的一点向角的两边作(找)垂线段。

⑶证线段相等常用方法：①全等，②角平分线的性质。

作业：略。

综述：在本节课的教学中，教师试图通过三个数学活动，引导学生把“角平分线上的点到角的两边距离相等”这一性质揭示出来。通过实验探究的学习和建构，使学生理解和掌握角平分线的性质。但从课堂教学实际情境看，未能达到教师的教学预设。主要表现以下不足：

1.未能有效的使用教材完成教学任务

本节教材为学生的学习活动提供的基本线索是：先介绍作一个角的平分线的方法，再由折纸活动即对的对折，得到第一条折痕是的平分线，再折出一个直角三角形，折叠形成的两条折痕是角的平分线上一点到的两边的距离，猜想这两个距离相等，通过利用三角形全等证明猜想，得到角平分线的两条性质，并运用这两条性质进行证明。从执教教师对教学内容的安排上，教师将本节内容用三课时的时间来完成，即第一课时学习尺规作图，第二课时就是本节内容，第三课时学习另一条性质。这样安排教学时间是否合理，值得考虑。从本课教学过程看，学生折纸时只折出角的平分线，然后在所折的折痕(角平分线)上取点的三个不位置，分别过点作，，再通过测量猜想出角平分线上的点到角的两边距离相等这一结论。这一改编将角平分线的两条性质割裂，学生准确理解和运用角平分线的性质并没有得到实现。究其原因是教师领悟教材深度不够，没有抓住角平分线的性质的本质特征组织教学。这一案例说明了教师只有用心钻研教材，才能准确地理解教材的编写意图，把握所教授内容中的数学本质，从而创造性地使用教材。并在此基础上设计有效的数学活动，将教材中的知识重新“激活”，实现书本知识与人类生活世界的沟通，与学生经验、成长需要的沟通，与发现、发展知识的人和历史的沟通，使知识恢复到鲜活的状态，呈现出生命的活力。

2.未能组织有效的教学活动落实教学目标

组织有效教学活动，是为了有效地落实教学目标，从本节课学生学习活动的效果观察，在多个环节的活动中学生知其然不知其所以然，教学目标未能有效地得到落实。如在活动三证明角平线的性质时，如何将文字语言转化为数学语言，基本上是教师直接给予的，学生并没有感受到证明的必要性，没有达到在数学活动中进行积极思考和主动建构，使数学活动变成了无效活动。其根本原因是教师没有抓住所教授内容的数学本质，数学活动不能围绕揭示数学本质而展开，教师过于追求活动的“花样翻新”，过于追求课堂的“热热闹闹”，出现了华而不实、偏离主题的现象，致使数学教学单薄而不厚重。因此，数学活动不但要注重形式，更要注重活动的实质。那么，怎样的数学活动才是有效的呢?有效的数学活动应该是以“揭示数学本质，发展思维能力”为目标的，是能够激发学生进行火热的思考和主动的探究的，是在教师的引导下，学生能够深刻地感悟和揭示数学本质、并自主地完成知识建构的。这就要求教师在设计数学活动时，需要注意以下几点：

一是数学活动要有数学内容。新课程以人的发展为本，提倡向学生提供充分从事数学活动的机会，组织他们主动探索和揭示所学内容的数学本质，并掌握形式化的数学知识。因此，数学课堂应当紧紧围绕教学内容，调动学生原有的经验，给学生以空间和时间，让他们积极有效地探索和解决新的问题，从而获取新的认识。

二是数学活动要让学生有数学思考、有发展变化的体验。数学活动必须是有数学味的活动，是学生经历数学化过程的活动。因此，数学活动的一个重要方面，是要重视让学生从数学层面上来体验、认识所学内容，理解并掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。让学生从数学层面上来理解数学内容的核心就是揭示数学本质，这一点在数学活动中显得尤为重要。

三是数学活动要有恰当的形式。数学活动需要通过学生的操作实验、思考讨论、合作交流等一定的形式来完成，但教师要清楚：教学内容决定着活动的形式，活动的形式服务于教学内容，教学内容的核心是数学本质，活动的最终目的是揭示数学本质，这一点不可以本末倒置。