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这是一次真实的事件记载：

《扬子晚报》上曾登载过这样一则消息：“近年来美国的市民素质正在不断地下降，随意涂抹肆意破坏的现象到处可见。为解决这一问题，近日德克萨斯州政府通过这样一项决议：准备在市中心花巨资用黄金建造一个公共厕所，以警示市民……”

立刻这则新闻引发了众多的评论：有人羡慕美国经济的发达，真想亲自去感受一下；有人赞叹美国人思考问题的独特视角；有人凭直觉猜测：“黄金很值钱的，恐怕不太可能吧！”也有人就此展开如下的思考：据资料记载，“纯金的密度非常大，一块金砖（30cm×20cm×10cm）必须要一个壮汉才能搬得动”。如果按每克黄金100元，一个壮汉最多能拿起五十千克重的物体来考虑，一块金砖的价值将为500万元，估计一个抽水马桶的体积大约相当于8块金砖，那么它的价值达到4000万元，更何况其他设备呢？经历这样的思维活动，我们有理由重新审视这段话的真实性。

可见能有一双数学的眼睛，有一种数学的思维习惯，能从数学的角度思考问题，用数字分析问题可以帮助我们更深刻地理解眼中的世界。这也就是所谓的数感。数感在《课程标准》中是这样描述的：“理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境中把握数的大小；能用数表达和交流信息；能为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”。

建立数感我们可以理解为学会“数学地”思考。数感使人眼中看到的世界有了量化的意味，当我们遇到可能与数学有关的具体问题时，就能自然地，有意识地与数字联系起来，或者试图进一步用数学的观点和方法来处理和解释，如：走进一个会场，我们总会自觉地估计一下会场的座柆和将要出席的人，以判断是否坐得下，再如我们经常用一些数字描摩事物的状态：“我对这件事的成功有了50%的把握”。可见数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识。

现状透视

在现实生活中学生的数感又是怎样的呢？现摘录几个片断供大家一起品评：

片断一：

班上组织了一次卖废旧报纸的活动，学生的积极性很高，收集起来的废纸大概有四十多千克。请了班上力气最大的三个小朋友去卖，但最终的结果竟只以10千克的价钱卖给了小贩。我不解地问：“你们估计一下自己平时最多能拎多重的物体？”“大概有15千克左右。”“那么刚才你们三个人合起来拎的报纸重量还没有你平时一个人拎的那么重吗？”学生面面相觑，无从作答。我又联想起平时学生作业中经常出现的错误：“全班共有学生45 人。”“妈妈应付54.072元。”

［案例解读］学生具备相应的生活经验，能估计出自己平时最多能拎15千克重的物体，但在具体情境中却为什么不能据此作出合理的判断与推测呢？还有“全班共有学生45 人”，“妈妈应付54.072元”，这些连文盲都不会犯的错误，而我们的学生，经过专业学习四五年之久的孩子们却仍屡屡见诸于笔端，这不得不引起我们的思考。存在于学生认知结构中的数对他们来说究竟意味着什么？从上述案例中我们不难得出这样的结论：孩子们眼中的数仅是作为一种抽象的、毫无意义的符号而存在， 人也好，0.072元也好，它们本身在问题情境中所附着的意义对孩子来说是一片空白。

片断二：

“小明和小红买了同样的两支钢笔，结果小明用去了所带钱的 ，小红用去了所带钱的 。”组织学生讨论：他们俩谁带的钱多？最简整数比是多少？竟出现有这样的答案：“小红带的钱多，小明和小红所带钱的最简整数比是5∶4。”而且据调查认同这种结果的同学还占了44.4%。

［案例解读］笔者认为出现此类错误的原因在于学生在具体问题情境中不能准确地把握住数量间的相对大小关系，缺乏对具体问题情境中的数据自觉进行判断的意识。“小明和小红所带钱的整数比是5∶4”说明小明带的钱多于小红带的钱，这不正与前面的答案自相矛盾吗？显然学生缺少对数量间相对大小关系敏锐的洞察力。

片断三：

同样在班上属于中等水平的两位学生回答这样两个问题：

问题1： 更接近0.5还是更接近1？

生1：我认为更接近于1。因为 化成小数等于0.875，所以它更接近于1。

生2：我也认为更接近于1。我想 大约是0.8多一点，所以更接近于1。

问题2： 更接近于0.1还是更接近于0.2？

生1： ＝0.125，所以更接近于0.1。

生2： 大概是0.12多一点，所以它更接近于0.1。

［案例解读］两位同学在认知水平上看似没有差别，都能准确地解答，甚至我们还会表扬第一位学生：“看，分小数间的互化多熟练呀！”实则不然，我们仔细分析第二位学生的思维过程：在两个问题情境中他都采用了模糊估计的方法，估算也是一项极为重要的数学能力，在现代社会中的运用非常广泛。在问题1中，他计算到了十分位，在问题2中，却计算到了百分位，这细微的差别正说明该生具有较强的为解决问题而选择合适算法的能力，具有对数的良好感觉。

学生学习数和计算不只是为了获取某些数学知识，知道怎么读怎么写，知道如何计算，而更为重要的是应该让学生了解数和运算的实际意义，学会用数进行表达和交流信息，用数的观点帮助自己解决问题，感受数学的真正价值帮助学生建立数感是一个值得关注与品味的话题。

方法对策

数感并不能完全地被看成一种先天的才能，主要是后天学习的结果，也正是在这样的观点的指导下，我们才能谈“数感的培养与发展”。

1、扎实概念建构，积淀数感。

数概念的切实体验和理解与数感密切相关。数概念本身是抽象的，单独一个数字存在的意义和价值并不大，关键在于它和具体的情境结合在一起，而产生了实际的意义。因此让学生在认识数的过程中，更多地接触和经历有关的情境和实例，在现实背景下感受和体验，会使学生更具体更深刻的把握数概念的实质，积淀数感。值得一提的是，学生数概念的建立不能以会读会写一个数，会利用这些数进行计算为标准来衡量，而应着眼于让学生看见数，头脑中不仅反映出一个符号，还应看到在这个符号背后所蕴含的丰富现实背景。符号“1”可以用来代表一切数量为1的物体，这不是静止的，而是生动的、变化的，是附着具体含义的。

在“认识11~20以内的数”时，教师先组织学生摆圆片，思考：“怎么摆就能一下子看出圆片的个数？”学生的思维被激活了，有的学生一字儿排开，有的2个2个为一堆进行计数，有的5个5个摆，还有的先把十个小圆片放一起，再把剩下的放在另一边。通过学生的讨论，比较得出最佳策略（方法四），初步建立起对14的认识（10个再加4个）。接着教师让学生思考：“你可以怎样表示15这个数呢？”有刚才的操作比较活动作基础，学生模糊感受到15即为10个加5个。基于这样的认识，学生用各种形式表示15这个数：有的用10个圆再加5个圆，有的用10朵花加5朵花，有的用10根小棒加5根小棒，有的还采用了点子图来表示……这些丰富多彩的作品都在向学生传递同一个信息：这些图案我们都可以用“15”这个数学符号表示，从而达到对“15”本质意义的感悟与把握。认数完成后，还要注意让学生反向思维，逆向建构，用各种形式各种方法来表示数，更进一步完善对数的认识。一年级学完“1~10”的数后，组织学生摆一摆这些数，说一说自己身边的数，把抽象的1、2……这些数学符号再次还原为现实具体，从“具体－抽象－具体”以扎实概念的建立，同时也可让学生初步感受运用数字可以更清楚地我们生活的周围世界，逐步培养学生数学的思维习惯与意识。

2、积淀活动体验，形成数感。

低年级学生好奇好动，对游戏活动有着天然的心理趋向，教师就要顺应学生的年龄特点，组织开展各种活动，帮助学生在活动中体验数的意义和作用，积累经验，建立良好数感。

例：在认识“20以内的数”后，组织学生玩猜数游戏，采用“大一些、小一些、大得多、小得多”等语言描述数的大小关系，既锻炼了学生在结合具体情境中把握数的大小关系的本领，又渗透了“区间套”逐步逼近的思想。

又如：在一年级下学期可组织游戏“比比谁的眼力好”：教师先用力抓一把棋子，让学生估一估，再数出个数；接着让学生猜一猜：“如果你们也同样抓一把，可能会抓到几颗呢？”并追问：“为什么你们都猜得要比老师抓得少呢？”让学生感受到因为手的容量有大小，所以抓同样的物体的数目也会不相同；“那如果把棋子换成黄豆，猜一猜你用力抓一把的数目又会是多少呢？”“为什么要比刚才的数目多呢？”通过讨论交流验证，让学生体会到：虽然手的容量没变，但由于所抓物体大小发生变化，所以数量也会随着变化，籍此渗透“变”与“不变”的思想。经由这样的活动，把数感培养落实到具体的实践中，与学生的现实生活相联系，可以使学生对数有一个鲜明的表象，再遇到相似的情境时，他们会在头脑中建立起具体的参照物，真正建立良好的数感。

3、拓宽交流空间，丰富数感。

每个学生都有自己的生活背景，家庭环境和一定的文化感受，而学生的学习都是从自己独有的数学现实出发来建构知识的，这就导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略，在建立数概念时带有明显的个人色彩。因此在学习过程中尽可能地组织学生进行交流，相互启发，丰富对数的感知。

例：先让学生观察生活中什么时候需要精确计算，什么时候只需要估算。然后全班讨论：

生1：上超市买东西时，妈妈总是先估计一下所购买物品的价钱，然后带上适量的钱。这时候只需要估算。

生2：有时候，妈妈上班前会先估计一下时间，然后决定是骑车还是坐公交车。

生3：我爸爸是建筑的。他在跟别人订合同前，要先估计一下时间是否来得及。但在计算工程的盈利时，是精确计算的。

生4：各种比赛，比如：歌唱比赛，体育比赛等，给他们打分或计时时，都用到精确计算。

生5：比较几个班学习情况时，我们也需要精确计算出各班的优秀率和及格率。

……

通过学生的交流讨论，可以增强学生在具体情境中选择适当的解题策略的能力，数感得以提升。

4、构筑运用舞台，升华数感。

数感的真正建立需要让学生更多地接触和理解现实问题，有意识地将现实问题与数量关系对应联系。例如组织学生思考：如果每人每天节约1角钱，计算你们全班一个学期能节约多少钱？你们全校学生一年可节约多少呢？资助一位贫困学生上完小学六年需要500元，那么全校同学一年节约的钱可以资助多少位学生读完小学？又如：估计一下每片树叶的面积，进而再算出一棵树上树叶的总面积，如果在有阳光时大约25平方米的树叶能在一天里释放足够一个人呼吸所需的氧气，一棵普通的树一天里释放的氧气足够你们全校同学的呼吸吗？由此你对学校的绿化有何新的看法吗？这些问题的解决正是一个现实问题“数学化”的过程，这一过程为学生提供了可资借鉴的模式，也正是在这样的学习中学生逐步学会数学地理解和认识事物。

数感的培养还要让学生学会从现实情境中提出问题，从一个复杂的情境中提炼数学问题，学会将一个生活化的问题转化成一个数学问题，建立数学模型，学会从数学的角度进行表达与交流，并加以解决。这是数感的最终体现，对学生的要求较高，这项能力的培养不可能一蹴而就，可以从给学生介绍一些典型的数学名题（如：哥尼斯堡七桥问题）开始，初步感知这种思想方法，然后注意联系学生的活动加以解释。如：带领学生外出郊游，要求学生关注车上的人数，有人上车，有人下车，从数学的角度去认识，即是简单的加减法问题。再如：组织学生讨论为全校学生设计借书卡？怎样为参加运动会的全体同学编号？逐步积累这种意识与能力，完成数感的培养。

结语

著名雕塑家罗丹曾过这么一句话：“美是到处都有的。生活中不是缺少美，而是一双发现美的眼睛。”同样生活中我们缺少的往往不是数学的知识或是解决问题的技能方法，一个人的意识与思维习惯在事件的处理过程中往往起着更为关键的作用。因此在数学教学中，与其关注学生知识技能、策略方法的获取，还不如首先给予学生一双数学的眼睛，让学生学会从数学的角度认识世界，观察世界，逐渐形成数学的思维习惯，这更应成为我们数学教学追求的目标！