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一、背景介绍

2002年5月的一天，我来到S市城郊结合部的一所小学，听课的班级共有学生33人，学生的学习基础和学习习惯比较好。执教的教师有8年教龄，执教的内容是S市九年义务教育《数学》教材第二册中的“百以内的连加笔算”。教师为该教学内容制订的教学目标有三点：1、会正确书写连加笔算的竖式格式。2、知道连加笔算的计算法则。3、用掌握的笔算方法解决实际问题。教学重点：连加竖式的书写格式，教学难点：连加笔算中的进位。

二、教学过程描述

1、复习：

教师出示问题：23+45+17=，请学生用两种形式来完成。学生动笔在练习纸上开始计算，教师立即下去巡视。

教师用实物投影展示了两位学生的计算情况：

S1：23+45+17=23+45=68+17=

S2：23+45+17=23+45+17=

2、新授：

教师又提出问题，刚才我们已复习了三个数相加可以用两种形式来计算。还有没有其他形式，小组讨论一下，并写在刚才那道题边上。

在小组讨论的基础上，个别学生汇报交流:

S1：我们小组认为可以这样写：23+45+17=个位上3加5再加7

是15，在个位上写5，十位上2加4再加1是7，再加个位进上来的1是8，结果是85。

S2：我有补充，个位上3加5再加7是15，在个位上写5，向十位进1，十位上2加4再加1再加个位进上来的1是8，结果是85。

T：S2比S1，说得更完整了，我们应向她学习，要说完整。

S3：我是这样算的，个位上先算3+7=10，再算10+5=15，个位上写5，向十位进1，十位上，2+4+1+1=8，结果是85。

T：他这样算更好了，把3和7凑成10，算起来就很快了。

T：小朋友，现在三个数连加有三种计算的形式，你们喜欢哪一种呢？

S齐答：第三种。

T：第三种计算形式在书写要注意什么呢？（教师边演示边说明要注意加号的位置，数位要对齐，进位不要忘记，最后计算结果不要忘了写在横式上）。

3、练习

（1）模仿练习：教师呈现问题39+16+28=，学生在练习纸上按黑板上老师要求的格式书写并计算。

（2）强化练习：教师呈现问题29+46+11=，39+9+25=，23+63+13=，

请学生拍手表示:如果个位上向十位进1，就拍一下手表示；如果个位上向十位进2，就拍两下手表示。

（3）改错练习：四人小组讨论，下面的计算小兔和小猫算得对吗？错在哪里？

19+14+28=（小兔）19+41+28=88（小猫）

在四人小组讨论的基础上交流：

S1：第一题错了，个位上9+4+8=21，应向十位进2。他进了1，错了，结果应该是61，他还忘了在横式上写答案

S2：第二题题目抄错了。

T：你们分析得很好，在做连加笔算时，要注意什么呢？

S1：不要忘了进位。

S2：不要抄错数字。

S3：不要漏写横式上的答案。

（4）比赛练习：共6道题。做完后教师检查出错情况只有5个，学生其中3人发现自己错误已改正。还有2人有错未改正，教学效果还是比较好的。

（5）应用练习：小明家上个月水费13元，电费39元，电话费27元，煤气费20元，帮小明算一算，一共是多少钱？小组讨论解决这个问题。

三、教学中的问题

整个课堂教学的状态：从教师看，教师很关注学生的学习状态和信息反馈；从学生看，学生在课上积极投入，学习得很认真；从教学效果看，学生关于连加笔算的正确率比较高，教学效果比较好。在很多教师看来，这是一堂实在而又体现改革精神的课。

值得反思的是：这堂课学生掌握了连加笔算方法和第三种连加笔算的竖式格式，知道了在计算要中注意的一些问题，除知识点以外，学生还有没有其他更多的收获呢？我认为没有。如果我们透过“扎实”这一表面的现象，就会发现“扎实”的背后是“封闭”。这种封闭的教学表现在：

1、教学目标的狭窄化

从教师制订的统领整堂课的教学目标上，我们可以看到，由于目标是围绕着知识点而制订的，课堂的教学就拘泥于连加笔算计算方法的掌握；拘泥于连加笔算第三种书写格式的掌握；拘泥于时时提醒学生不要出错，拘泥于对学生错误的层层设防。

2、教学设计的程式化

从教师的教学进程上，教师按照已有的思维方式，牢牢遵循“复习铺垫，以旧引新”的原则，从教材出发围绕知识点的教学设计，我们可以感受到学生所受到的限制：因为答案唯一的问题设计，学生只能按教师所需要的答案去想；因为教师反复的提醒不要出错，学生因怕出错而不敢大胆地做。

3、教学结果的短期化

从当堂的教学效果，通过反复的强化练习，知识点是落实的，但这种效果往往是短期的、表面的。从课堂教学的深层次看，我们更感受到学生的思维所受到的压抑：因为问题的设计缺乏挑战性，学生不需要深层次地思考；因为层层的练习设计，学生无须用脑，反复地机械操练、一遍遍强化。狭窄的教学目标，教学设计的限制，带来的结果是：学生思维的呆板和僵化。

这种反复操练、强化记忆的学习不是真正的数学学习。学生需要在“开放的教学”中进行真实的数学学习，我们已感受到学生对“开放”、“真实”的呼唤，而且这种呼唤变得愈发强烈！

四、透析问题背后的思维方式

目前，许多教师已经认识到课堂教学要关注学生，针对“人”进行教学，也认识到要需要通过开放的教学才能实现学生思维的发展。但是，在实践中却比较多地表现出教师的认识与教学行为不相一致的情况:或者认识是认识，行为是行为，两者不相干；或者把新的认识纳入到原有的旧的行为框架中，用新的认识解释旧的行为；或者在原有的旧的行为框架中增加部分新的行为。概括地说，这种认识往往成为抽象的言论停留在教师的嘴上，而没有落实到教师的具体实践行为中，是一种没有内化的认识。这种认识与实践行为的脱节，严重影响着课堂教学的改革。如何把这些认识转化为具体的教学实践行为？阻碍转化的因素究竟是什么？有必要对教师教学行为背后的思维方式作探寻和透析。

1、加法的思维方式

我们先来分析这个案例中被大部分听课教师认可的优点，就是教师在课堂教学中表现出对学生的极大关注。在课堂中，教师不仅营造了宽松、平等、和谐的学习氛围，而且还对学生解答习题的正确与否表现出极大地关注，这反映了教师对教学目标是否落实的关注。诚然，在课堂教学中，教师确实要关注教学目标是否落实，但是，教师从教材出发制订的关于知识点的教学目标，围绕着知识点的教学设计，并没有考虑到学生已有的基础和可能达到的水平，更没有考虑到数学教学是为了学生思维的进一步发展，所以教师只是关注了学生掌握知识点的情况，而没有关注到学生在课堂中深层次的思维状态。从本质上反映了教师对“人”的问题的忽视。由于教师长期的习惯已形成的思维定势，就会表现出在原有的课堂教学框架中加入了关注人的因素（表面的关注），这相对原来只是关注教案的演绎和完成，无疑是前进了一步，却又表现出为关注“人”而关注“人”。这种教学行为的背后是一种简单的加法的思维方式。这种加法的思维方式导致了教师的课堂教学只能改其表而不能改其里。那么，影响教师从根本上改革课堂教学的原因是什么？

2、非此即彼的思维方式

在很多教师看来，开放的教学与基础的扎实是一对矛盾。一旦实施教学的开放，就会丢失基础的扎实。因此，在实践中往往表现出以下几种状态：

第一种状态，在教师的浅意识里，封闭教学的结果是基础的扎实，开放教学的结果是学生虽然思维活跃但是成绩会下降。因此，教师意识到自己的教学是封闭的，但是为了确保考试的成绩，宁可采取封闭的教学。

第二种状态，教师的主观意愿是想开放，但在教学的过程中，长期习惯的行为方式，使教师不知不觉表现出一种强烈的控制意识，欲把学生拉到教师行进的轨道中。

第三种状态，教师在教学中完全放开，因为原有的平衡被打破，新的秩序尚未建立，于是教学呈现出一种无序的状态，教师往往顾此失彼、手忙脚乱，只好脚踩西瓜皮---滑到哪是哪，学生则被一马放到天边。

第四种状态，新的秩序开始建立，由于教师对开放的目的性缺乏思考和认识，在教学中往往为开放而开放，在进行了一段时间的开放教学后，发现学生的成绩开始下降，便对开放产生怀疑，于是又回到从前的封闭。

在上述这些状态中，教师表现出要么就收、要么就放的教学行为，往往从一个极端走向另一个极端。这些教学行为的背后，是一种非此即彼、二元对立的思维方式，这种思维方式严重困扰着教师，成为阻碍教师从根本上改革课堂教学的主要因素。

五、对前提性问题的认识和思考

开放的教学与基础的扎实是不是一对矛盾？这对矛盾是否是因认识的误区造成的？有没有在开放的教学中保证基础扎实的可能性存在？怎样把这种可能转变为现实？

要对这些问题作出思考和回答，首先需要在“根”的层面上将前提性的问题“连根拔起”：教学为什么而开放？小学数学中的计算教学究竟让学生学习什么？还有什么更重要的东西等待我们去开发和挖掘？在教学中为什么关注“人”、关注“人”的什么？

我们认为，影响教师从根本上改革课堂教学的原因，从更深的层次看，是对这些前提性问题缺乏认识和思考。对这些问题作出思考和讨论，有助于教师的思维方式发生转换，有助于使教师的认识内化并转化为实践行为。

1、计算教学的价值是什么？

叶澜教授在“重建课堂教学价值观”（《教育参考》2002年第五期）一文中特别强调了课堂教学的价值问题，她认为首先要实现宏观层面的转换与重建（在一般的、整体的、共通的层面上），“课堂教学的价值观需要从单一地传递教科书上呈现的现成知识，转为培养能在当代社会中实现主动、健康发展的一代新人”，“学科、书本知识在课堂教学中是‘育人’资源与手段，教师实际上通过‘教书’实现‘育人’”。而宏观层面的长远目标的实现，需要通过微观层面每一天每一节课去体现去落实。因此，教师在认同了宏观层面的课堂教学价值观后，还要实现第二个微观层面的转换与重建：就是学科教学价值观的重建。叶澜教授认为“每个学科对学生的发展价值，除了一个领域的知识以外，从更深的层次看，至少还可以为学生认识、阐述、感受、体悟、改变这个自己生活在其中、并与其不断互动着的、丰富多彩的世界和形成、实现自己的意愿，提供不同的路线和独特的视角，发现的方法和思维的策略，特有的运算符号和逻辑；提供一种惟有在这个学科学习中才可能获得的经历和体验；提升独特的学科美的发现、欣赏和表达能力”。

数学做为基础教育小学阶段的主干课程，对于学生的发展价值，就是可以提供学生数学的眼光、数学的头脑、数学的语言，更深层次的是可以提供学生一种独特的思维方式，这种思维方式惟有在数学学科学习中才可能建立起来。于是，开发和挖掘数学学科的内含的教育价值就更显得尤为重要，这直接关系和影响到以学生主动发展为长远目标的落实。

对于数学学科，荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为：“数学是系统化了的常识。……常识要成为数学，必须经过提练和组织，而凝聚成一定的法则，这些法则在高一层次里又成为常识，再一次被提练和组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无究穷。这样，数学的发展过程就显出层次性，构成许多等级，同时也形成诸多特性，如抽象性、严密性、系统性。一个人在数学上能达到怎样的层次，因人而异。但是一个为多数人都能达到的层次必然存在，数学教育家的任务就在于帮助多数人去达到这个层次，并努力不断地提高这个层次，和指出达到这个层次的途径。”

例如，在小学数学加减法计算教学中，我们认为第一层次是：关于加减法意义和基本的计算方法的理解，两个数相加减、三个数相加减……n个数相加减等等，都属于同一层面的拓展。第二层次是：关于加法计算的一些规律，如加法交换律a+b=b+a，加法结合律a+（b+c）=（a+b）+c；关于减法计算的一些规律：a－b-c=a－（b+c）第三层次是：关于加法：若ab，则a+cb+c；关于减法有：差不变的规律：a－b=（a+c）－（b+c），a－b=（a－c）－（b－c）；若ab，则a-cb-c；若ab，则c-ac-b。

当我们没有意识到这些层次存在的时候，它可被开发和挖掘的可能性就被忽视被遗忘了，而当我们认识到这些层次的存在的时候，其丰富的教育价值就有可能被开发、被体现。

因此，在小学数学的计算教学中，我们不仅要求学生掌握计算方法，而且要根据学生的可能和教学内容的需要，努力帮助学生达到更高的一个数学层次，适时地、灵活地引导学生去发现计算中内在的规律，使学生在经历和体验这些规律的发现过程中，逐步建立起数学的眼光、数学的头脑、数学的语言，感受基本的数学思想和数学方法，感受独特的数学思维方式，感受数学的内在美。

具体的说，小学数学计算教学的教学目标主要可以从以下几方面去思考：①在计算教学中，渗透基本的数学思想和数学方法；②通过计算教学，发展学生的思维，培养学生良好的思维品质。具体表现在：在思维的发散性方面，要拓展学生解决问题的思路，在思维的灵活性方面，使学生能根据具体情境选择灵活合理的方法解决问题；在思维的深刻性方面，在学生掌握计算方法的基础上，努力提升学生所能达到的数学层次；在思维的敏感性方面，使学生建立起基本的判断意识、选择意识、估计意识，建立起基本的数学素养。

2、教学为什么而开放、在开放中关注“人”的什么？

在认同了上述两个层面的课堂教学价值观以后，要把这些认识内化并转化为实践行为，还需要重建课堂教学过程观----实现从封闭的教学转为开放的教学。为了实现这种转换，还需要教师对教学的开放问题有一个重新思考和认识。开放的教学，是针对课堂中教学目标狭窄、教学设计的限制和压抑学生思维的封闭教学提出的。开放的教学不是放开的教学，不是由着学生任意地动、任意地说。开放的教学依旧是教师有目的、有计划的教学。不同的是，这个目的和计划是为了实现数学学科的教育价值和知识目标而实施的开放。开放的教学表现在：首先是教学设计的开放，其次是教学过程的开放。开放的教学设计是教学过程开放的前提保证。

（1）教学设计要开放

通常教师在设计时，往往是按已习惯了的思维方式：从教材的知识点出发，思考如何复习铺垫，如何以旧引新，如何突出教学的重点，如何通过层层的练习，次次的提醒，把学生的错误连同创造的可能一起掐死在萌芽中。一是因为问题的缺乏挑战性。二是因为机械重复的练习。三是着眼于格式正确答案不要遗忘，条条框框的限制不用学生去思考也不容学生去思考，学生只须配合教师完成教案，何来创造？难道只能从教材出发进行教学设计吗？是否有可能换一种思维方式，从学生的可能出发进行开放的设计呢？

我们认为，在开放的教学中对“人”的关注首先应表现在课前开放的教学设计上：一是要相信学生有可开发的潜能存在；二是要关注学生已有的基础和可能达到的水平；再次是为开发学生的潜能、实现学生可能达到的水平提供条件和舞台。就本案例来说，具体的做法是：可将这堂课最后的应用问题提前置教学的一开始，直接提出开放的问题：小明家上个月水费13元，电费39元，电话费是27元，煤气费20元，小明家一共要支付多少钱？在这真实的问题情境中，学生需要检索与这问题相联系的旧知，需要采取新的认知加工策略等等，这些对学生来说无疑都是挑战，有利于激发学生思考的积极性。在经历和体验问题解决的过程中，学生的学习是真实的、丰富的，同时，他们也会感受到是学习一种有用的数学。在这种真实的、有用的数学学习中，学生的思维可以不断的得到发展。

开放的问题提出以后，教师要从学生的可能出发，备学生的各种可能性：一是备学生可能有的答案，如可能出现依次算的方法（这种方法出现的可能性比较大）：13+39=52，52+27=79，79+20=99；可能出现两个两个算的方法：13+39=52，27+20=47，52+47=99；可能出现先算三个再加一个的方法：13+39+27=79，79+20=99；可能出现简算的方法：13+27=40，40+20=60，60+39=99等等。二是备应对各种可能的策略：如果一种可能都没有出现，教师如何引导学生思考；如果出现一种可能，教师如何启发学生思考解决问题的其他方法；如果出现两种可能，教师如何进一步拓展学生解决问题的思路等等。

（2）教学过程要开放

尽管我们从学生的可能出发进行了开放的设计，并尽可能对学生可能有的答案做了充分的预设，但是在课堂中，面对“活生生”的一群学生，依旧有太多的不确定性，更有出乎意料之外的发生。教师不要用各种预设的答案去套学生，而是要有渴望意料之外发生的开放心态，有了这种开放的心态，教师才有可能在课堂教学的过程中对“人”有深层次的关注。这时需要教师眼观六路，耳听八方，心中更要有目标的调控和组织开放的教学：

一是关注资源的生成

提出问题以后，教师要留给学生一定的思维的时间和空间。让学生独立思考解决问题的办法，鼓励学生思考多种解决问题的办法。通过学生独立地解题，学生的差异和资源就会逐渐显露。教师要策划行走的路线，巡视和关注学生的差异，尽可能全面的把握学生的活动情况，努力去搜集和捕捉学生中生成的资源，好的资源和问题的资源，并呈现各种资源。

二是资源共享，有效互动，促进生成

各种资源呈现以后，教师可以组织学生通过小组讨论思考问题；“在这些解答中，哪些是对的，哪些是错的，哪些方法比较好，为什么？”通过小组的讨论，学生思维之间的碰撞，学生就可能认识到原先自己发生的错误并形成正确的理解，就可能了解多种解决问题的方法。这样经过学生个人的独立思考、个人的经历和体验以及学生群体之间的讨论和思维碰撞而形成知识的理解，是一个真实的数学学习的过程。在交流讨论的过程中，教师要进一步关注学生，捕捉信息、判断信息和处理信息，并调整和形成进一步活动的方案，不断引导和激发学生去发现，激发学生的高层次思考，形成师生、生生之间的有效互动，促进学生新观点、新方法、新创意的生成。如简算方法的生成：17+23+20=60；又如，可在简算基础上继续引导学生猜想发现：17+23+20=60，17+20+23=60，两种计算的结果一样，这是巧合吗？是否都可以交换呢？在这一开放的教学过程中，体现和渗透学科的价值目标。（这里需要注意的是，对于加法之间的交换问题，只是让学生有初步的感悟和体验，为以后的学习作好孕伏和渗透，并不需要出现术语和进行验证。同时，在教学加减混合运算时，要引导学生做比较）。教师还可以出一些练习让学生判断再计算，如：25+8+22，32+16+18（注意在减法时，教师要提醒学生带着符号搬家）。

我们认为，在具体的教育教学情境中存在许多的可能，当我们预见和认识到各种可能时，要努力地把这种可能转变为现实。这样，我们就会发现有更多的可能出现。在这一过程中，我们认识和思考问题的思维方式逐渐发生变化，于是，开放的教学与基础的落实这一原先对立的问题就有可能在变化的过程中实现互补。