2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 优化训练

1．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于()

A．5 B．－1

C．1 D．－5

解析：选D.由题意知，x＝－3，y＝－2，则x＋y＝－5.

2．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，则M点的坐标是()

A．(－2,0) B．(1,0)

C．(1.5,0) D．(3.4,0)

答案：D

3．若A(a，－ab)，B(b，ab)，则d(A，B)等于()

A．|a－b| B．|a＋b|

C．|a＋b| D．|a－b|

答案：B

4．设点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点是M(－1,2)，则d(P，Q)＝________.

答案：25

5．已知点P到x轴和点A(－4,2)的距离都是10，则点P的坐标为________．

解析：设P(x，y)，由距离公式，得

|y|＝10x＋42＋y－22＝10，解得x＝2，y＝10，

P(2,10)．

答案：(2,10)

1．点A(2a,1)与点B(2，a)之间的距离为()

A.5(a－1) B.5(1－a)

C.5|a－1| D．5(a－1)2

解析：选C.d(A，B)＝2a－22＋1－a2＝5|a－1|.

2．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()

A．4 B.13

C.15 D.17

解析：选D.

由题意知1＝x－22y＝5－32x＝4y＝1，d＝42＋12＝17.

3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(8，－4)和重心G(2，－1)，则顶点C的坐标是()

A．(4，－3) B．(1,4)

C．(－4，－2) D．(－2，－2)

解析：选C.设C(x，y)，则2＋8＋x3＝2，x＝－4.

3＋－4＋y3＝－1，y＝－2，故选C.

4．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点，则转播台应建在()

A．P1处 B．P2处

C．P3处 D．P4处

解析：选A.以AB为x轴，AE为y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(60,0)，C(30,30)，D(30,60)，E(0,30)，设点P(x，y)，则f(x，y)＝|AP|2＋|BP|2＋|CP|2＋|DP|2＋|EP|2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2＋5y2－240x－240y＋10800＝5(x－24)2＋5(y－24)2＋5040.

当x＝y＝24时，f(x，y)有最小值，此时点P为(24,24)与点P1重合．

5．若平行四边形的三个顶点为(3，－2)，(5,2)，(－1,4)，则第四个顶点不可能是()

A．(9，－4) B．(1,8)

C．(－3,0) D．(1，－3)

解析：选D.设第四个顶点为(x，y)，然后分三种情况讨论．若(3，－2)，(5,2)是一条对角线的两端点，则有3＋52＝－1＋x2，－2＋22＝4＋y2，x＝9，y＝－4，即第四个顶点为(9，－4)；若(5,2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(1,8)；若(3，－2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(－3,0)．

6．点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|＝2|AC|，则C点坐标为()

A．(－1,1) B．(－1,1)或(5，－1)

C．(－1,1)或(1,3) D．无数多个

解析：选D.设C(x，y)，则4－22＋2－02

＝2x－22＋y－02，

即(x－2)2＋y2＝2.存在无数多个C点．

7．点A(－1,2)关于原点的对称点到点(3，m)的距离是25，则m的值是________．

解析：点(－1,2)关于原点的对称点为(1，－2)，

1－32＋－2－m2＝25，解得m＝2或－6.

答案：2或－6

8．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(3，2)、B(0,1)、C(0,3)，则此三角形的形状是________．

解析：∵|AB|＝3－02＋2－12＝2，

|AC|＝3－02＋2－32＝2，

|BC|＝0－02＋1－32＝2，

|AB|＝|AC|＝|BC|.

△ABC为等边三角形．

答案：等边三角形

9．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取得最小值时，实数a的值是________．

解析：|AB|2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2

＝2a2－2a＋25

＝2(a－12)2＋492

a＝12时，|AB|最小．

答案：12

10．求函数f(x)＝x2－12x＋37＋x2－4x＋13的最小值．

解：∵x2－12x＋37＝x－62＋1，

x2－4x＋13＝x－22＋9，

可设A(6,1)、B(2,3)、P(x,0)，则

f(x)＝|PA|＋|PB|.

要求f(x)的最小值，只需在x轴上找一点P，使|PA|＋|PB|最小．

设B关于x轴的对称点为B，

B(2，－3)(如图所示)．

|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB|AB|，

|AB|＝2－62＋－3－12＝42，

当B、P、A三点共线时取等号，

即|PA|＋|PB|最小值为42，

也就是f(x)的最小值为42.

11．已知两点A(2,2)和B(5，－2)，试问在坐标轴上能否找到一点P，使APB为直角？

解：假设在x轴上能找到一点P(x,0)，使APB＝90.

由勾股定理，知|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，所以(x－2)2＋22＋(x－5)2＋(－2)2＝(5－2)2＋(－2－2)2.

化简，得x2－7x＋6＝0.解得x＝1或x＝6.

所以在x轴上存在点P(1,0)或P(6,0)，使得APB为直角．

假设在y轴上能找到一点P(0，y)，使APB＝90.

同理，由勾股定理得：(0－2)2＋(y－2)2＋(0－5)2＋(y＋2)2＝(5－2)2＋(－2－2)2，

化简，得y2＋6＝0，此方程无实数解．

所以在y轴上不存在点P，使APB是直角．

综上所述，存在两点，P的坐标为(1,0)或(6,0)，使得APB为直角．

12．证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．

证明：如图，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)．设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为C(a＋b，c)．

因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，

|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，

|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(a－b)2＋c2，

所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，

而|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，

所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.

因此平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．