2016-08-15 收藏
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已知自然数a和b,如果b能够整除a,就说b是a的一个因数,也称为约数。显然,任何自然数a,总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。
例如6,12,14这三个数的所有真因数:
6: 1, 2, 3; 1 + 2 + 3 = 6
12: 1, 2, 3, 4, 6; 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 12
14: 1, 2, 7; 1 + 2 + 7 = 10 14
像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数(不足数);大于真因数之和的(如14)叫做盈数或过剩数;恰好相等的(如6)叫做完全数,也称为完美数。
古希腊人非常重视完全数。大约在公元100年,尼哥马修斯写了第一本专门研究数论的书《算术入门》,其中写道:也许是这样:正如美的、卓绝的东西是罕有的,是容易计数的,而丑的、坏的东西却滋蔓不已;所以盈数和亏数非常之多,而且紊乱无章,它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数,而且又顺理成章……,它们具有一致的特性;尾数都是6或8,而且永远是偶数。
现在数学家已发现,完全数非常稀少,至今人们只发现29个,而且都是偶完全数。前5个分别是:6,28,496,8128,33550336。 完全数有许多有趣的性质,例如:
1. 它们都能写成连续自然数之和:
6=1+2+3,
28=1+2+3+4+5+6+7,
496=1+2+3+4+……+31,
8128=1+2+3+4+……+127;
2. 它们的全部因数的倒数之和都是2。
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2
1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2
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