第三章　三角恒等变形

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．sin 15cos 75＋cos 15sin 75等于()

A．0　 B.12　

C.32　 D．1

【解析】　sin 15cos 75＋cos 15sin 75

＝sin(15＋75)＝sin 90＝1.

【答案】　D

2．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x、y的大小关系为()

A．xy B．x＞y

C．x＜y D．xy

【解析】　y－x＝cos(A＋B)＝cos(－C)＝－cos C，

∵C为锐角，－cos C＜0，

y－x＜0，即x＞y.

【答案】　B

3．若sin ＋cos ＝tan (02)，则的取值范围是()

A．(0，6) B．(4)

C．(3) D．(2)

【解析】　因为sin ＋cos ＝2sin(＋4)，当02时，此式的取值范围是(1，2]，而tan 在(0，4)上小于1，故可排除A，B；在(2)上sin ＋cos 与tan 不可能相等，所以D不正确，故选C.

【答案】　C

4．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是()

A．等腰三角形 B．正三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【解析】　sin C＝sin[－(A＋B)]＝sin(A＋B)，

sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B.

sin(A－B)＝0，A＝B，

△ABC为等腰三角形．

【答案】　A

5．(2012陕西高考)设向量a＝(1，cos )与b＝(－1，2cos )垂直，则cos 2等于()

A.22 B.12

C．0 D．－1

【解析】　a＝(1，cos )，b＝(－1,2cos )．

∵ab，ab＝－1＋2cos2＝0，

cos2＝12，cos 2＝2cos2－1＝1－1＝0.

【答案】　C

6．当02时，函数f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x的最小值为()

A．2 B．23

C．4 D．43

【解析】　f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x＝2cos2x＋8sin2x2sin xcos x＝cot x＋4tan x24＝4.当且仅当cot x＝4tan x，即tan x＝12时取得等号．故选C.

【答案】　C

7．(2013江西高考)若sin 2＝33，则cos ＝()

A．－23 B．－13

C.13 D.23

【解析】　cos ＝1－2sin22＝1－2332＝1－23＝13.

【答案】　C

8．(2013重庆高考)4cos 50－tan 40＝()

A.2 B.2＋32

C.3 D．22－1

【解析】　4cos 50－tan 40＝4sin 40－sin 40cos 40

＝4sin 40cos 40－sin 40cos 40＝2sin 80－sin 40cos 40

＝sin 80＋sin60＋20－sin60－20cos 40

＝sin 80＋2cos 60sin 20cos 40＝sin 80＋sin 20cos 40

＝sin50＋30＋sin50－30cos 40

＝2sin 50cos 30cos 40＝3cos 40cos 40＝3.

【答案】　C

9．已知f(x)＝sin2(x＋4)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg 15)，则()

A．a＋b＝0 B．a－b＝0

C．a＋b＝1 D．a－b＝1

【解析】　由题意知f(x)＝sin2(x＋4)＝1－cos2x＋22＝1＋sin 2x2，

令g(x)＝12sin 2x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋12，a＝f(lg 5)＝g(lg 5)＋12，b＝f(lg 15)＝g(lg 15)＋12，则a＋b＝g(lg 5)＋g(lg 15)＋1＝g(lg 5)＋g(－lg 5)＋1＝1，故a＋b＝1.

【答案】　C

10．对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是()

A．f(x)在(2)上是递增的

B．f(x)的图像关于原点对称

C．f(x)的最小正周期为2

D．f(x)的最大值为2

【解析】　f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，

f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称．

【答案】　B

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)

11．(2012江西高考)若sin ＋cos sin －cos ＝12，则tan 2＝________.

【解析】　由sin ＋cos sin －cos ＝12，等式左边分子、分母同除cos 得，tan ＋1tan －1＝12，解得tan ＝－3，则tan 2＝2tan 1－tan2＝34.

【答案】　34

12．知，(0，4)，tan 21－tan22＝14，且3sin ＝sin(2＋)，则＋＝________.

【解析】　由tan 21－tan22＝14，得tan ＝12.由3sin ＝sin(2＋)，得3sin[(＋)－]＝sin[(＋)＋]，化简得tan(＋)＝2tan ＝1.由于，(0，4)，故＋(0，2)，所以＋＝4.

【答案】　4

13．若是第二象限角，cos 2－sin 2＝1－sin ，则角2所在的象限是________．

【解析】　∵1－sin ＝ sin 2－cos 22

＝|sin 2－cos 2|＝cos 2－sin 2，

sin cos 2.

∵是第二象限角，

2＋2k＋2k，kZ.

则4＋k2＋kZ.

由上可得54＋2k32＋2k，kZ.所以2是第三象限角．

【答案】　第三象限角

14．函数f(x)＝sin2(2x－4)的最小正周期是________．

【解析】　f(x)＝1－cos22x－42

＝1－cos4x－22＝1－sin 4x2，

最小正周期T＝22.

【答案】　2

15．(2012江苏高考)设为锐角，若cos(＋6)＝45，则sin(2＋12)的值为________．

【解析】　∵为锐角且cos(＋6)＝45，

sin(＋6)＝35.

sin(2＋12)＝sin[2(＋6)－4]

＝sin 2(＋6)cos 4－cos 2(＋6)sin 4

＝2sin(＋6)cos(＋6)－22[2cos2(＋6)－1]

＝23545－22[2(45)2－1]＝12225－7250＝17250.

【答案】　17250

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)(2013辽宁高考)设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x0，2.

(1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝ab，求f(x)的最大值．

【解】　(1)由|a|2＝(3sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，

|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，

及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.

又x0，2，从而sin x＝12，

所以x＝6.

(2)f(x)＝ab＝3sin xcos x＋sin2x

＝32sin 2x－12cos 2x＋12＝sin2x－6＋12，

当x＝0，2时，sin2x－6取最大值1.

所以f(x)的最大值为32.

17．(本小题满分12分)若2sin(4＋)＝sin ＋cos ，2sin2＝sin 2，求证：sin 2＋12cos 2＝0.

【证明】　由2sin(4＋)＝sin ＋cos 得2cos ＋2sin ＝sin ＋cos ，两边平方得

2(1＋sin 2)＝1＋sin 2，即

sin 2＝12(sin 2－1)， ①

由2sin2＝sin 2得，1－cos 2＝sin 2. ②

将②代入①得

sin 2＝12[(1－cos 2)－1]得

sin 2＝－12cos 2，

即sin 2＋12cos 2＝0.

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos xsinx＋4(＞0)的最小正周期为.

(1)求的值；

(2)讨论f(x)在区间0，2上的单调性．

【解】　(1)f(x)＝4cos xsinx＋4

＝22sin xcos x＋22cos2x

＝2(sin 2x＋cos 2x)＋2＝2sin2x＋4＋2.

因为f(x)的最小正周期为，且＞0，

从而有2＝，故＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋4)＋2.

若02，则2x＋54.

当2x＋2，即08时，f(x)单调递增；

当2＜2x＋54，即8＜x2时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在区间0，8上单调递增，在区间2上单调递减．

19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin(x＋6)＋sin(x－6)－2cos2x2，xR(其中0)．

(1)求函数f(x)的值域；

(2)若对任意的aR，函数y＝f(x)，x(a，a＋]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，xR的单调增区间．

【解】　(1)f(x)＝sin(x＋6)＋sin(x－6)－2cos2x2＝2sin xcos 6－cos x－1

＝2sin(x－6)－1，

∵xR，f(x)的值域为[－3,1]．

(2)由题意得函数f(x)的周期为.

2＝，＝2，

f(x)＝2sin(2x－6)－1.

令2k22x－2k2，kZ.

得k6k3，kZ.

函数f(x)的单调增区间为[k6，k3]，kZ.

图1

20．(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角与)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－35，45)．

(1)求sin 2＋cos 2＋11＋tan 的值；

(2)若OPOQ＝0，求sin(＋)．

【解】　(1)由三角函数定义得cos ＝－35，sin ＝45，

则原式＝2sin cos ＋2cos21＋sin cos ＝2cos sin ＋cos sin ＋cos cos

＝2cos2＝2(－35)2＝1825.

(2)∵OPOQ＝0，－＝2.

＝－2.

sin ＝sin(－2)＝－cos ＝35，

cos ＝cos(－2)＝sin ＝45.

sin(＋)＝sin cos ＋cos sin

＝4545＋(－35)35＝725.

21．(本小题满分13分)(2012湖北高考)设函数f(x)＝sin2x＋23sin xcos x－cos2x＋(xR)的图像关于直线x＝对称，其中，为常数，且(12，1)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若y＝f(x)的图像经过点(4，0)，求函数f(x)的值域．

【解】　(1)因为f(x)＝sin2x－cos2x＋23sin xcos x＋＝－cos 2x＋3sin 2x＋＝2sin(2x－6)＋，

由直线x＝是y＝f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2－6)＝1，

所以2－6＝k2(kZ)，即＝k2＋13(kZ)．

又(12，1)，kZ，所以k＝1，故＝56.

所以函数f(x)的最小正周期是65.

(2)由y＝f(x)的图像过点(4，0)，得f(4)＝0，

即＝－2sin(562－6)＝－2sin 4＝－2，即＝－2.

故f(x)＝2sin(53x－6)－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．