数学必修1(苏教版)

2.2　指数函数

2.2.2　指数函数及其应用

把一张厚度为1毫米的纸对折42次后，这张纸的厚度为地球与月球的距离的十多倍，这种说法对吗？学习本节内容后，你就能回答这个问题了．

基础巩固

1．下列一定是指数函数的是()

A．形如y＝ax的函数

B．y＝xa(a0，a1)

C．y＝(|a|＋2)－x

D．y＝(a－2)ax

答案：C

2．函数f(x)＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是()

A．(－1，＋) B．(－，1)

C．(－1,1) D．(0,2)

解析：f(x)＝2x－1，x0，1－2x，x＜0，f(x)的单调递减区间为(－，0)，单调递增区间为[0，＋)，而f(x)在(k－1，k＋1)内不单调，k－1＜0，k＋1＞0，即－1＜k＜1.

答案：C

3．(2013北京卷)函数f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()

A．ex＋1 B．ex－1

C．e－x－1 D．e－x＋1

解析：和y＝ex关于y轴对称的是y＝e－x，将其向左移一个单位即y＝e－x－1.

答案：C

4．已知ab，且ab0，下列五个不等式：(1)a2b2，(2)2a2b，(3)1a1b，(4) ，(5) 中恒成立的有()

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：(2)(4)(5)成立．

答案：C

5．若f(x)＝(a2－1)x在R上是减函数，则a满足()

A．|a| B．|a|2

C．12 D．12

解析：由0a2－112.

答案：D

6．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

解析：作方程|y|＝2x＋1的曲线，平移y＝b可得满足条件的b的取值范围．

答案：[－1,1]

7．已知a2＋a＋32xa2＋a＋321－x，则实数x的取值范围________．

解析：∵a2＋a＋32＝(a＋12)2＋541，即y＝ 在R上为增函数，x1－x12.

答案：12，＋

8．不等式2x－12x＋135的解集是________．

解析：不等式可化为52x－52x＋322x8即2x4＝22.

x2.

答案：(2，＋)

9．若函数f(x)＝a＋14x＋1为奇函数，则a＝________.

解析：∵f(x)为奇函数且定义域为R，

f(0)＝0，即a＋140＋1＝0，

a＝－12.

答案：－12

10．求函数f(x)＝ － ＋1，x[－3,2]的值域．

解析：令t＝ 则148，原函数化为g(t)＝t2－t＋1＝ ＋34，t14，8.

g12g(8)，即3457.

函数的值域为34，57.

11．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8试比较a、b、c的大小．

解析：∵0＜0.8＜1,1.2＞1，

0＜0.80.7＜1,0＜0.80.9＜1,1.20.8＞1.

又∵y＝0.8x在R上为减函数，

0.80.7＞0.80.9.

1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c＞a＞b.

能力提升

12．函数y＝ax－1a(a0，a1)的图象可能是()

解析：函数y＝ax－1a过点0，1－1a，当a1时，1－1a(0,1)且为增函数，排除A，B；当01时，1－1a0且y＝ax－1a为减函数，排除C.

答案：D

13.

函数f(x)＝ax＋b的图象如右图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()

A．a1，b0

B．a1，b0

C．01，b0

D．01，b0

解析：由图知01，又与y轴交点在点(0,1)的下方，b0.

答案：D

14．若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有()

A．f(2)＜f(3)＜g(0)

B．g(0)＜f(3)＜f(2)

C．f(2)＜g(0)＜f(3)

D．g(0)＜f(2)＜f(3)

解析：∵f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，①

－f(x)－g(x)＝e－x.②

①②联立解得f(x)＝ex－e－x2，g(x)＝－ex＋e－x2.

而f(x)＝ex－e－x2在R上递增，又g(0)＝－1，

f(3)＞f(2)＞f(0)＝0，

g(0)＜f(2)＜f(3)，故选D.

答案：D

15．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在(1，＋)上是增函数，则a的取值范围是________．

解析：令t＝|x－a|，则t＝|x－a|在[a，＋)上是增函数，而y＝et为增函数，要使f(x)＝e|x－a|在[1，＋)上单调递增，当且仅当a1.

答案：(－，1]

16．若函数f(x)＝ax(a0且a1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋)上是增函数，则a＝________.

解析：当a1时，有a2＝4，a－1＝ma＝2，m＝12，但此时g(x)＝－x为减函数，不合题意．若01，则a－1＝4，a2＝ma＝14，m＝116，适合题意．

答案：14

17．若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围是________．

解析：由题意知 －10对任意xR恒成立，即 1对任意xR恒成立．

由指数函数的性质有x2－2ax－a0对任意xR恒成立．

＝(－2a)2－41(－a)0，解得－10.

答案：[－1,0]

18．某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元，假设该物品的价格增长率是平均的，那么2010年该物品的价格是多少？(精确到元)

解析：从1964年开始，设经过x年后物价为y，物价增长率为a%，则y＝100(1＋a%)x，将x＝40，y＝500代入得，500＝100(1＋a%)40，解得a＝4.1，

故物价增长模型为y＝100(1＋4.1%)x，

到2010年，x＝46，代入上式得，

y＝100(1＋4.1%)46635(元)．

故2010年该物品的价格是635元．