2016-10-26
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数学必修1(苏教版)
2.2 指数函数
2.2.2 指数函数及其应用
把一张厚度为1毫米的纸对折42次后,这张纸的厚度为地球与月球的距离的十多倍,这种说法对吗?学习本节内容后,你就能回答这个问题了.
基础巩固
1.下列一定是指数函数的是()
A.形如y=ax的函数
B.y=xa(a0,a1)
C.y=(|a|+2)-x
D.y=(a-2)ax
答案:C
2.函数f(x)=|2x-1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则k的取值范围是()
A.(-1,+) B.(-,1)
C.(-1,1) D.(0,2)
解析:f(x)=2x-1,x0,1-2x,x<0,f(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为[0,+),而f(x)在(k-1,k+1)内不单调,k-1<0,k+1>0,即-1<k<1.
答案:C
3.(2013北京卷)函数f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与y=ex关于y轴对称,则f(x)=()
A.ex+1 B.ex-1
C.e-x-1 D.e-x+1
解析:和y=ex关于y轴对称的是y=e-x,将其向左移一个单位即y=e-x-1.
答案:C
4.已知ab,且ab0,下列五个不等式:(1)a2b2,(2)2a2b,(3)1a1b,(4) ,(5) 中恒成立的有()
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:(2)(4)(5)成立.
答案:C
5.若f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,则a满足()
A.|a| B.|a|2
C.12 D.12
解析:由0a2-112.
答案:D
6.若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.
解析:作方程|y|=2x+1的曲线,平移y=b可得满足条件的b的取值范围.
答案:[-1,1]
7.已知a2+a+32xa2+a+321-x,则实数x的取值范围________.
解析:∵a2+a+32=(a+12)2+541,即y= 在R上为增函数,x1-x12.
答案:12,+
8.不等式2x-12x+135的解集是________.
解析:不等式可化为52x-52x+322x8即2x4=22.
x2.
答案:(2,+)
9.若函数f(x)=a+14x+1为奇函数,则a=________.
解析:∵f(x)为奇函数且定义域为R,
f(0)=0,即a+140+1=0,
a=-12.
答案:-12
10.求函数f(x)= - +1,x[-3,2]的值域.
解析:令t= 则148,原函数化为g(t)=t2-t+1= +34,t14,8.
g12g(8),即3457.
函数的值域为34,57.
11.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8试比较a、b、c的大小.
解析:∵0<0.8<1,1.2>1,
0<0.80.7<1,0<0.80.9<1,1.20.8>1.
又∵y=0.8x在R上为减函数,
0.80.7>0.80.9.
1.20.8>0.80.7>0.80.9,即c>a>b.
能力提升
12.函数y=ax-1a(a0,a1)的图象可能是()
解析:函数y=ax-1a过点0,1-1a,当a1时,1-1a(0,1)且为增函数,排除A,B;当01时,1-1a0且y=ax-1a为减函数,排除C.
答案:D
13.
函数f(x)=ax+b的图象如右图所示,其中a、b为常数,则下列结论正确的是()
A.a1,b0
B.a1,b0
C.01,b0
D.01,b0
解析:由图知01,又与y轴交点在点(0,1)的下方,b0.
答案:D
14.若函数f(x),g(x)分别为R上的奇函数,偶函数,且满足f(x)-g(x)=ex,则有()
A.f(2)<f(3)<g(0)
B.g(0)<f(3)<f(2)
C.f(2)<g(0)<f(3)
D.g(0)<f(2)<f(3)
解析:∵f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数,且f(x)-g(x)=ex,①
-f(x)-g(x)=e-x.②
①②联立解得f(x)=ex-e-x2,g(x)=-ex+e-x2.
而f(x)=ex-e-x2在R上递增,又g(0)=-1,
f(3)>f(2)>f(0)=0,
g(0)<f(2)<f(3),故选D.
答案:D
15.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在(1,+)上是增函数,则a的取值范围是________.
解析:令t=|x-a|,则t=|x-a|在[a,+)上是增函数,而y=et为增函数,要使f(x)=e|x-a|在[1,+)上单调递增,当且仅当a1.
答案:(-,1]
16.若函数f(x)=ax(a0且a1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x在[0,+)上是增函数,则a=________.
解析:当a1时,有a2=4,a-1=ma=2,m=12,但此时g(x)=-x为减函数,不合题意.若01,则a-1=4,a2=ma=14,m=116,适合题意.
答案:14
17.若函数f(x)= 的定义域为R,则a的取值范围是________.
解析:由题意知 -10对任意xR恒成立,即 1对任意xR恒成立.
由指数函数的性质有x2-2ax-a0对任意xR恒成立.
=(-2a)2-41(-a)0,解得-10.
答案:[-1,0]
18.某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元,假设该物品的价格增长率是平均的,那么2010年该物品的价格是多少?(精确到元)
解析:从1964年开始,设经过x年后物价为y,物价增长率为a%,则y=100(1+a%)x,将x=40,y=500代入得,500=100(1+a%)40,解得a=4.1,
故物价增长模型为y=100(1+4.1%)x,
到2010年,x=46,代入上式得,
y=100(1+4.1%)46635(元).
故2010年该物品的价格是635元.
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