人教必修一第三章函数的应用同步练习题（带答案）

3．1　函数与方程

3．1.1　方程的根与函数的零点

1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，x，f(x)的对应值如下表：

x 0 1 2 3 4 5

f(x) －6 －2 3 10 21 40

则函数f(x)在区间()内有零点．()

A．(－6，－2) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,5)

2．(2014年浙江模拟)设x0为方程2x＋x＝8的解．若x0(n，n＋1)(nN*)，则n的值为()

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如果二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，那么实数m的取值范围是()

A．(－2,6)

B．[－2,6]

C．(－2,6]

D．(－，－2)(6，＋)

4．设函数f(x)＝x3＋x＋b是定义在[－2,2]上的增函数，且f(－1)f(1)＜0，则方程f(x)＝0在[－2,2]内()

A．可能有三个实数根 B．可能有两个实数根

C．有唯一的实数根 D．没有实数根

5．若x0是方程12x＝ 的解，则x0属于区间()

A.23，1 B.12，23

C.13，12 D.0，13

6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …

y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …

y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 …

那么方程2x＝x2的一个根位于区间()

A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)

C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)

7．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－102，求k的取值范围．

8．(2011年陕西)设nN*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝_____________.

9．(2011年山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0，且a1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0(n，n＋1)，nN*，则n＝________.

10．试确定方程2x3－x2－4x＋2＝0的最小根所在的区间，并使区间的两个端点是两个连续的整数．

3.1.2　用二分法求方程的近似解

1．用二分法求如图K31所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()

图K31

A．x1 B．x2

C．x3 D．x4

2．关于用“二分法”求方程的近似解，下列说法不正确的是()

A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在区间[a，b]内的所有零点找出来

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在区间[a，b]内的零点

C．“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在区间[a，b]内有可能无零点

D．“二分法”求方程的近似解有可能得到y＝f(x)在区间[a，b]内的精确解

3．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()

A．[1,4]

B．[－2,1]

C．[－2,2.5]

D．[－0.5,1]

4．方程x3－2x2＋3x－6＝0在区间[－2,4]上的根必定属于区间()

A．[－2,1] B.52，4

C.1，74 D.74，52

5．函数y＝x3与y＝12x－3的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为()

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

6．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)

7．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．

8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)＝－0.984

f (1.375)＝－0.260 f (1.437 5)＝0.162 f (1.406 25)＝－0.054

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()

A．1.2 B．1.3

C．1.4 D．1.5

9．已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1 (a1)．

(1)证明：函数f(x)在(－1，＋)上为增函数；

(2)若a＝3，证明：方程f(x)＝0没有负数根；

(3)若a＝3，求出方程的根(精确度0.01)．

3.2　函数模型及其应用

3．2.1　几类不同增长的函数模型

1．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树的亩数y(单位：万亩)是时间x(单位：年)的一次函数，这个函数的图象是()

2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是()

A．y＝50 B．y＝1000x

C．y＝0.42x－1 D．y＝11000ex

3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m3，按每立方米x元收取水费；每月用水超过10 m3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为()

A．13 m3 B．14 m3

C．18 m3 D．26 m3

4．小李得到一组实验数据如下表：

t 1.99 3.0 4.0 5.0 6.2 7

V 1.5 4.05 7.5 12 18 23.9

下列模型能最接近数据的是()

A．V＝log t B．V＝log2t

C．V＝3t－2 D．V＝t2－12

5．某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表：

网络 月租费 本地话费 长途话费

甲：联通130网 12元 每分钟0.36元 每6秒钟0.06元

乙：移动“神州行”卡 无 每分钟0.6元 每6秒钟0.07元

(注：本地话费以分钟为单位计费，长途话费以6秒钟为单位计费)

若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间(单位：分钟)的范围在区间(60,70)内，则选择较为省钱的网络为()

A．甲 B．乙

C．甲、乙均一样 D．分情况确定

6．从A地向B地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，3分钟后每多1分钟就加收1元．当时间t3时，电话费y(单位：元)与时间t(单位：分钟)之间的函数关系式是____________．

7．已知函数y1＝2x和y2＝x2.

当x(2,4]时，函数________的值增长较快；

当x(4，＋)时，函数________的值增长较快．

8．如图K31，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，△APM的面积为函数的图象形状大致是()

图K31

9．我们知道，燕子每年冬天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2O10，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．

(1)计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少单位；

(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

10．以下是某地区一种生物的数量y(单位：万只)与繁殖时间x(单位：年)的数据表：

时间/年 1 2 3 4

数量/万只 10 20 40 80

根据表中的数据，请从y＝ax＋b，y＝alogbx，y＝abx中选择一种函数模型刻画出该地区生物的繁殖规律，并求出函数解析式．

3.2.2　实际问题的函数模型

1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时后，这种细菌可由1个分裂成()

A．511个 B．512个

C．1023个 D．1024个

2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费为f(m)＝1.06(0.50[m]＋1)，其中m0，[m]是大于或等于m的最小整数，如[4]＝4，[2.7]＝3，[3.8]＝4，则从甲地到乙地的通话时间为5.5分钟的话费为()

A．3.71元 B．3.97元

C．4.24元 D．4.77元

3．某银行实行按复利计算利息的储蓄，若本金为2万元，利率为8%，则5年后可得利息()

A．2(1＋0.8)5元

B．(2＋0.08)5元

C．2(1＋0.08)5－2元

D．2(1＋0.08)4－2元

4．一根弹簧的原长为12 cm，它能挂的重量不能超过15 kg并且每挂重1 kg就伸长12 cm，则挂重后的弹簧长度y cm与挂重x kg之间的函数关系式是()

A．y＝12x＋12(0＜x15)

B．y＝12x＋12(0x＜15)

C．y＝12x＋12(015)

D．y＝12x＋12(0＜x＜15)

5．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积平均每年比上一年增长10.4%，专家预测经过x年，荒漠化土地面积可能增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致是()

　A　 　B　CD

6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费32 m元，则该职工这个月实际用水为()

A．13立方米 B．14 立方米

C．18立方米 D．21立方米

7．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值为__________．

8．(2011年北京海淀统测)图K32(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图K32(2)(3)所示．

图K32

给出下列说法：

①图K32(2)的建议是：提高成本，并提高票价；

②图K32(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；

③图K32(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；

④图K32(3)的建议是：提高票价，并降低成本．

其中说法正确的序号是________．

9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益(总成本＋利润)满足函数：R(x)＝400x－12x20400，80 000x400.其中x是仪器的月产量(单位：台)．

(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？

10．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．

第三章　函数的应用

3．1　函数与方程

3．1.1　方程的根与函数的零点

1．B

2．B　解析：：∵x0为方程2x＋x＝8的解，2x0＋x0－8＝0.

令f(x)＝2x＋x－8＝0，∵f(2)＝－2＜0，f(3)＝3＞0，x0(2,3)．再根据x0(n，n＋1) (nN*)，可得n＝2.

3．D　解析：＝m2－4(m＋3)0，m6或m－2.

4．C　解析：由题意，可知：函数f(x)在区间[－2,2]上是连续的、递增的，又f(－1)f(1)＜0，故函数f(x)在[－2,2]内有且只有一个零点，则方程f(x)＝0在[－2,2]内有唯一的实数根．

5．C

6．C　解析：设f(x)＝2x－x2，由f(0.6)＝1.516－0.360，f(1.0)＝2.0－1.00，故排除A；

由f(1.4)＝2.639－1.960，f(1.8)＝3.482－3.240.故排除B；

由f(1.8)＝3.482－3.240，f(2.2)＝4.595－4.840，故可确定方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)．故选C.

7．解：设函数f(x)＝x2＋2kx－1，∵关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－102，f－10，f00，f20，即－2k0，－10，4k＋30，－340.

8．3或4　解析：x＝416－4n2＝24－n，因为x是整数，即24－n为整数，所以4－n为整数，且n4，又因为nN*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3或4符合题意；反之当n＝3或4时，可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．

9．2　解析：∵f(2)＝loga2＋2－b0，f(3)＝loga3＋3－b0，x0(2,3)，故n＝2.

10．解：令f(x)＝2x3－x2－4x＋2，

∵f(－3)＝－54－9＋12＋2＝－49＜0，

f(－2)＝－16－4＋8＋2＝－10＜0，

f(－1)＝－2－1＋4＋2＝3＞0，

f(0)＝0－0－0＋2＝2＞0，

f(1)＝2－1－4＋2＝－1＜0，

f(2)＝16－4－8＋2＝6＞0，

根据f(－2)f(－1)＜0，f(0)f(1)＜0，f(1)f(2)＜0，

可知f(x)的零点分别在区间(－2，－1)，(0,1)，(1,2)内．

∵方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，

原方程的最小根在区间(－2，－1)内．

3．1.2　用二分法求方程的近似解

1．C　2.A

3．D　解析：因为第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能是[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中．故选D.

4．D　解析：令f(x)＝x3－2x2＋3x－6，分别计算f(－2)，f(1)，f52，f74的值，得f(－2)＝－28＜0，f(1)＝－4＜0，f52＝4.625＞0，f74－1.515 6＜0.故选D.

5．B　解析：x0即为f(x)＝x3－12x－3的零点，又∵f(1)＝－30，f(2)＝60，f(x)在(1,2)有零点．

6．证明：设函数f(x)＝2x＋3x－6，

∵f(1)＝－10，f(2)＝40，又∵f(x)是增函数，

函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点．

则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．

设该解为x0，则x0[1,2]，f(1)＝－10，f(2)＝40，

取x1＝1.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，

x0(1,1.5)．

取x2＝1.25，f(1.25)0.1280，f(1)f(1.25)0，

x0(1,1.25)．

取x3＝1.125，，f(1.125)－0.4440，f(1.125)f(1.25)0，

x0(1.125,1.25)．

取x4＝1.187 5，，f(1.187 5)－0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，

x0(1.187 5,1.25)．

∵|1.25－1.187 5|＝0.062 50.1，

1.187 5可作为这个方程的实数解．

7．2个　解析：画出y＝2－x与y＝3－x2的图象，有两个交点，故方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为2个．

8．C　解析：f(1.406 25)＝－0.0540，f(1.437 5)＝0.1620且都接近0，由二分法，知其近似根为1.4.

9．(1)证明：f(x)＝ax＋x－2x＋1＝ax＋1－3x＋1(a1)．

设－1x2，

则f(x1)－f(x2)＝ ＋1－3x1＋1－

＝ － －31x1＋1－1x2＋1.

∵－1x2且a1，

－ 0，1x1＋1－1x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋10.

f(x1)－f(x2)0，

即f(x1)f(x2)．f(x)在(－1，＋)上为增函数．

(2)证明：当a＝3时，3x＋x－2x＋1＝0，

∵f(0)0，f(1)＝520，

区间(0, 1)上必有一根，

由函数单调性，可知：3x＋x－2x＋1＝0至多有一根，故方程恰有一根在区间(0, 1)上．即f(x)＝0没有负数根．

(3)解：由二分法f120，f140，

f380，f5160，f9320，

f17640，f351280，

而35128－932＝－1128，

而11280.01，x＝35128可作为该方程的一个根．

3．2　函数模型及其应用

3．2.1　几类不同增长的函数模型

1．A　2.D

3．A　解析：设实际用水量为a m3，则有10x＋2x(a－10)＝16x，解得a＝13.

4．D　解析：注意到自变量每次增加约为1，V的增加越来越快，结合数据验证，D符合．

5．A

6．y＝t－0.6(t3)　7.y2＝x2　y1＝2x

8．A　解析：当01时，y＝12x1＝12x；当1＜x2时，y＝1－12(x－1)－14(2－x)－14＝－14x＋34；当2＜x2.5时，y＝1252－x1＝54－12x.故选A.

9．解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，

代入已知函数关系式可得0＝5log2O10，解得O＝10个单位．

(2)将耗氧量O＝80代入已知函数关系式，得

v＝5log28010＝5log223＝15 m/s.

10．解：对于y＝ax＋b，则

a＋b＝10，2a＋b＝20，a＝10，b＝0.y＝10x.

而当x＝3时，y＝30；当x＝4时，y＝40.

对于y＝alogbx，alogb1＝10，alogb2＝20，此方程组无解．

对于y＝abx，ab＝10，ab2＝20，a＝5，b＝2.

y＝52x.而当x＝3时，y＝40；

当x＝4时，y＝80.

故选择函数y＝52x刻画该地区生物的繁殖规律比较好.

3.2.2　实际问题的函数模型

1．B　2.C　3.C　4.C

5．A　解析：设原来该地区荒漠化土地面积为a，则经过x年后，面积为a(1＋10.4%)x，那么经过x年后增长到原来的y倍，故有y＝a1＋10.4%xa＝1.104x.因此图象大致应为指数函数的图象．故选A.

6．D

7．20　8.②③

9．解：(1)设月产量为x台，则总成本C(x)＝20 000＋100x，

从而f(x)＝R(x)－C(x)

＝－12x2＋300x－20 0000400，60 000－100xx400.

(2)当0400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25 000.

当x＝300时，f(x)max＝25 000.

当x400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，

f(x)60 000－100400＝20 000.

综上所述，当x＝300时，f(x)max＝25 000.

10．解：(1)由题意，当020时，v(x)＝60；

当20200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)＝ax＋b在区间(20,200]是减函数，

由已知，得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.

故函数v(x)的表达式为

v(x)＝60， 020，13200－x，20200.

(2)依题意并由(1)，可得

f(x)＝60x， 020，13x200－x，20200.

当020时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为6020＝1200；

当20200时，f(x)＝13x200－x＝－13x－1002＋10 0003，

所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值为10 0003.

综上所述，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值为10 00033333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．