第3章函数的应用综合检测试题（含解析新人教A版必修1）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2013～2014学年度河北孟村回民中学月考试题)若函数f(x)在[a，b]上连续，且同时满足f(a)f(b)＜0，f(a)f(a＋b2)＞0.则()

A．f(x)在[a，a＋b2]上有零点 B．f(x)在[a＋b2，b]上有零点

C．f(x)在[a，a＋b2]上无零点 D．f(x)在[a＋b2，b]上无零点

[答案]　B

[解析]　由已知，易得f(b)f(a＋b2)＜0，因此f(x)在[a＋b2，b]上一定有零点，但在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．

2．函数y＝1＋1x的零点是()

A．(－1,0) B．x＝－1

C．x＝1 D．x＝0

[答案]　B

3．下列函数中，增长速度最快的是()

A．y＝20x B．y＝x20

C．y＝log20x D．y＝20x

[答案]　D

4．已知函数f(x)＝2x－b的零点为x0，且x0(－1,1)，那么b的取值范围是()

A．(－2,2) B．(－1,1)

C．(－12，12) D．(－1,0)

[答案]　A

[解析]　f(x)＝2x－b＝0，得x0＝b2，

所以b2(－1,1)，所以b(－2,2)．

5．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是()

A．－1 B．0

C．－1和0 D．1和0

[答案]　C

[解析]　由条件知f(－1)＝0，b＝a，g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1.

6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(xR)的部分对应值如下表：

x －3 －2 －1 0 1 2 3 4

y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6

由此可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是()

A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)

C．(－1,1)和(1,2) D．(－，－3)和(4，＋)

[答案]　A

[解析]　∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，

f(－3)f(－1)＜0.

∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，

f(2)f(4)＜0.方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．

7．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝3，f(2)＝－5，f(32)＝9，则下列结论正确的是()

A．x0(1，32) B．x0＝－32

C．x0(32，2) D．x0＝1

[答案]　C

[解析]　由于f(2)f(32)＜0，则x0(32，2)．

8．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：

x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00

y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02

则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()

A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx

C．y＝ax2＋b D．y＝a＋bx

[答案]　B

[解析]　代入数据检验，注意函数值．

9．设a，b，k是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足：f(k－1)与f(k)异号，f(k＋1)与f(k)异号．在以下关于f(x)的零点的说法中，正确的是()

A．该二次函数的零点都小于k

B．该二次函数的零点都大于k

C．该二次函数的两个零点之间差一定大于2

D．该二次函数的零点均在区间(k－1，k＋1)内

[答案]　D

[解析]　由题意得f(k－1)f(k)＜0，f(k)f(k＋1)＜0，由零点的存在性定理可知，在区间(k－1，k)，(k，k＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D正确．

10．(2013～2014山东梁山一中期中试题)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下

x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125

f(x) －1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151

那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0,1)为()

A．1.2 B．1.3125

C．1.4375 D．1.25

[答案]　B

[解析]　由于f(1.375)＞0，f(1.3125)＜0，且

1．375－1.3125＜0.1，故选B.

11．(2013～2014河北广平县高一期中试题)“龟兔赛跑”讲过了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路线，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是()

[答案]　D

12．已知函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为()

A．y＝2x B．y＝4－4x＋1

C．y＝log3(x＋1) D．y＝x13 (x0)

[答案]　B

[解析]　由于过(1,2)点，排除C、D；由图象与直线y＝4无限接近，但到达不了，即y＜4知排除A，选B.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．如函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．

[答案]　3

[解析]　代入x＝0得m＝－3.

f(x)＝x2－3x，则x2－3x＝0得x1＝0，x2＝3

因此另一个零点为3.

14．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．

[答案]　(2,3)

[解析]　设f(x)＝x3－3x－5，则f(2)＜0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，则下一个有根区间是(2,3)．

15．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2013，则x1＋x2＋…＋x2013＝________.

[答案]　0

[解析]　由于奇函数图象关于原点对称，因此零点是对称，所以x1＋x2＋…＋x2013＝0.

16.已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．

①有三个实根；

②x＞1时恰有一实根；

③当0＜x＜1时恰有一实根；

④当－1＜x＜0时恰有一实根；

⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．

[答案]　①⑤

[解析]　f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－，－1)，(0，12)和(12，1)内，故只有①⑤正确．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．

[解析]　解法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3＞0，

函数f(x)在区间(0,2)上必定存在零点．

又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在区间(－1，＋)上为增函数，故函数f(x)有且只有一个零点．

解法二：在同一坐标系内作出函数h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象，如图所示，由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．

18．(本小题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

[解析]　设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有

y＝0.10(20x＋10250)－0.1510(x－250)

＝0.5x＋625，x[250,400]．

该函数在[250,400]上单调递增，所以x＝400时，ymax＝825(元)．

答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．

19．(本小题满分12分)某公司今年1月份推出新产品A，其成本价为492元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：

销售价x(元/件) 650 662 720 800

销售量y(件) 350 333 281 200

由此可知，销售量y(件)与销售价x(元/件)可近似看作一次函数y＝kx＋b的关系(通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确)．

试问：销售价定为多少时，1月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量．

[解析]　由表可知350＝650k＋b，200＝800k＋bk＝－1，b＝1000，

故y＝－x＋1000.

设1月份利润为W，则

W＝(x－492)(－x＋1000)＝－x2＋1492x－492000＝－(x－746)2＋64516，

当x＝746，Wmax＝64516，此时销售量为1000－746＝254件，即当销售价定为746元/件时，1月份利润最大，最大利润为64516元，此时销售量为254件．

20．(本小题满分12分)用二分法求f(x)＝x3＋x2－2x－2在x的正半轴上的一个零点(误差不超过0.1)．

[解析]　显然f(2)＝23＋22－22－2＝6＞0.

当x＞2时f(x)＞0，又f(0)＝－2＜0，f(1)＝－2＜0，

故f(x)在(1,2)区间内有零点.

区间 中点值 中点函数值

[1,2] 1.5 0.625

[1,1.5] 1.25 －0.984

[1.25,1.5] 1.375 －0.260

[1.375,1.5] 1.438 0.165

[1.375,1.438]

因为|1.375－1.438|＝0.063＜0.1，故f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点为x＝1.4.

21．(本小题满分12分)某城市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，但不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(1540)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(1540)．

(1)求f(x)和g(x)；

(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？

[解析]　(1)f(x)＝5x(1540)；

g(x)＝90，1530，2x＋30，30＜x40.

(2)由f(x)＝g(x)，得1530，5x＝90或30＜x40，5x＝2x＋30，

即x＝18或x＝10(舍)．

当15x＜18时，f(x)－g(x)＝5x－90＜0，

即f(x)＜g(x)，应选甲家；

当x＝18时，f(x)＝g(x)，即可以选甲家也可以选乙家．

当18＜x30时，f(x)－g(x)＝5x－90＞0，

即f(x)＞g(x)，应选乙家．

当30＜x40时，

f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)＝3x－30＞0，

即f(x)＞g(x)，应选乙家．

综上所述：当15x＜18时，选甲家；

当x＝18时，可以选甲家也可以选乙家；

当18＜x40时，选乙家．

22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.

(1)求每年砍伐面积的百分比．

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3)今后最多还能砍伐多少年？

[分析]　(1)根据10年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解．

(2)根据到今年为止，森林剩余面积为原来的22，列方程求解．

(3)求出第n年后森林剩余面积，根据森林面积至少要保留原面积的14列不等式求解．

[解析]　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(01)，则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12.

解得x＝1－(12)110 .

(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则

a(1－x)m＝22a，即(12)m10 ＝(12)12 ，

m10＝12，解得m＝5.

故到今年为止，已砍伐了5年．

(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，

则n年后剩余面积为22a(1－x)n.

令22a(1－x)n14a，即(1－x)n24，

(12)n10 (12)32 ，n1032，解得n15.

故今后最多还能砍伐15年．

[点评]　通过本题，重点强调高次方程、指数不等式的解法．对于高次方程应让学生明确，主要是开方运算；对于指数不等式，强调化为同底，应用指数函数的单调性求解，本题中化为同底是一大难点．