散型随机变量的均值与方差习题课

一、选择题

1．已知随机变量X的分布列是

X 1 2 3

P 0.4 0.2 0.4

则E(X)和D(X)分别等于()

A．1和0 B．1和1.8

C．2和2 D．2和0.8

[答案]　D

[解析]　E(X)＝10.4＋20.2＋30.4＝2

D(X)＝(2－1)20.4＋(2－2)20.2＋(2－3)20.4＝0.8.

2．已知随机变量X的分布列为

X 0 1 2

P 715

715

115

且＝2X＋3，且E()等于()

A.35 　 B.65 　

C.215 　 D.125

[答案]　C

[解析]　∵E(X)＝0175＋1715＋2115＝35，

E()＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝215.

3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为()

A．0.4 B．1.2

C．0.43 D．0.6

[答案]　B

[解析]　∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，E(X)＝30.4＝1.2＝65.

4．已知X的分布列为

X 1 2 3 4

P 14

13

16

14

则D(X)的值为()

A.2912 B.121144

C.179144 D.1712

[答案]　C

[解析]　∵E(X)＝114＋213＋316＋414＝2912，E(X2)＝1214＋2213＋3216＋4214＝8512，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝179144.

5．已知X的分布列为

X －1 0 1

P 12

13

16

若＝2X＋2，则D()的值为()

A．－13 B.59

C.109 D.209

[答案]　D

[解析]　E(X)＝－112＋013＋116＝－13，D(X)＝－1＋13212＋0＋13213＋1＋13216＝59，

D()＝D(2X＋2)＝4D(X)＝459＝209.

6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为()

A.65 B.1825

C.625 D.18125

[答案]　B

[解析]　由X～B3，25，D(X)＝32535＝1825.

7．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为()

A．n＝4，p＝0.6

B．n＝6，p＝0.4

C．n＝8，p＝0.3

D．n＝24，p＝0.1

[答案]　B

[解析]　由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，及X～ B(n，p)时E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)可知

3np＋2＝9.29np(1－p)＝12.96n＝6p＝0.4

8．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

甲的成绩

环数 7 8 9 10

频数 5 5 5 5

乙的成绩

环数 7 8 9 10

频数 6 4 4 6

丙的成绩

环数 7 8 9 10

频数 4 6 6 4

s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()

A．s3s2 B．s2s3

C．s1s3 D．s2s1

[答案]　B

[解析]　计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.

s1＝

120[5(7－8.5)2＋5(8－8.5)2＋5(9－8.5)2＋5(10－8.5)2]

＝2520.同理，s2＝2920，s3＝2120，

s2s3，故选B.

二、填空题

9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________．

[答案]　0.196

[解析]　由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)＝npq＝100.02(1－0.02)＝0.196.

10．(2010福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)＝________.

[答案]　nm

[解析]　设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)＝1m，

P(X＝k)＝Pn(k)＝Ckn(1m)k(1－1m)n－k(k＝0,1,2,3，…，n)，X～B(n，1m)．

则E(X)＝n1m＝nm.

11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．

[答案]　48

[解析]　设小王选对个数为X，得分为＝5X，

则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝120.8＝9.6，

E()＝E(5X)＝5E(X)＝59.6＝48.

12．若X的分布列如下表：

X 1 2 3 4

P 14

14

14

14

则D14X＝________.

[答案]　564

[解析]　E(X)＝14(1＋2＋3＋4)＝52，

D(X)＝1－522＋2－522＋3－522＋4－522

14＝54，

D14X＝116D(X)＝564.

三、解答题

13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)．

[解析]　由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P(X＝0)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.10.20.15＝0.003，

P(X＝1)＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.056，

同上可得P(X＝2)＝0.329，P(X＝3)＝0.612，

所以E(X)＝00.003＋10.056＋20.329＋30.612＝2.55台．

14．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．

(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及均值．

[解析]　考查离散型随机变量的概率分布和数学期望．

解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.

由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，

P(Ck)＝16.

(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为：

P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)

＝6121316＝16.

(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知～B3，13，且＝3－.

所以P(＝0)＝P(＝3)＝C33133＝127，

P(＝1)＝P(＝2)＝C2313223＝29，

P(＝2)＝P(＝1)＝C1313232＝49，

P(＝3)＝P(＝0)＝C03233＝827.

故的分布列为

0 1 2 3

P 127

29

49

827

的均值E()＝0127＋129＋249＋3827＝2.

解法二：由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12＋16＝23.

3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是23，故～B3，23.

即：P(＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.

0 1 2 3

P 127

29

49

827

的均值E()＝323＝2.

15．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，表示所取球的标号．

(1)求的分布列、均值和方差；

(2)若＝a＋b，E()＝1，D()＝11，试求a，b的值．

[解析]　(1)的分布列为：

0 1 2 3 4

P 12

120

110

320

15

E()＝012＋1120＋2110＋3320＋415

＝1.5.

D()＝(0－1.5)212＋(1－1.5)2120＋(2－1.5)2110＋(3－1.5)2320＋(4－1.5)215

＝2.75.

(2)由D()＝a2D()，得a22.75＝11，即a＝2.又E()＝aE()＋b，所以当a＝2时，由1＝21.5＋b，得b＝－2；

当a＝－2时，由1＝－21.5＋b，得b＝4，

a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．

16．(2010湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．

(1)求直方图中x的值；

(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)．

[分析]　(1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X～B(3,0,1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)．

[解析]　(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.

(2)由题意知，X～B(3,0.1)．

因此P(X＝0)＝C030.93＝0.729，

P(X＝1)＝C130.10.92＝0.243，

P(X＝2)＝C230.120.9＝0.027，

P(X＝3)＝C330.13＝0.001.

故随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3

P 0.729 0.243 0.027 0.001

X的数学期望为E(X)＝30.1＝0.3.

[点评]　本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)．