第二课时 离散型随机变量的分布列2

一、选择题

1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是()

A.

1 0 1

P 14

12

14

B.

0 1 2

P －14

34

12

C.

0 1 2

P 15

25

35

D.

－1 0 1

P 14

14

12

[答案]　D

[解析]　本题考查分布列的概念与性质．

即的取值应互不相同且P(0，i＝1,2，…，n，

i＝1nP(i)＝1.

A中的取值出现了重复性；B中P(＝0)＝－140，

C中i＝13P(i)＝15＋25＋35＝651.

2．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是()

A．P(＝0)　 B．P(2)

C．P(＝1) D．P(＝2)

[答案]　C

[解析]　即取出白球个数为1的概率．

3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1、2、…，则P(2＜X4)＝()

A.316 B.14

C.116 D.516

[答案]　A

[解析]　P(2＜X4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)

＝123＋124＝316.

4．随机变量的概率分布列为P(＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P12＜＜52则值为()

A.23　 B.34　

C.45　 D.56

[答案]　D

[解析]　c12＋c23＋c34＋c45

＝c1－12＋12－13＋13－14＋14－15

＝45c＝1.c＝54.

P12＜＜52＝P(＝1)＋P(＝2)

＝54112＋123＝56.

5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：

①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分；④表示取出的黑球个数．

这四种变量中服从超几何分布的是()

A．①② B．③④

C．①②④ D．①②③④

[答案]　B

[解析]　依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．

6．(2010东营)已知随机变量的分布列为P(＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(＝2)＝()

A.19 B.16

C.13 D.14

[答案]　C

[解析]　由离散型随机变量分布列的性质知12a＋22a＋32a＝1，62a＝1，即a＝3，

P(＝2)＝1a＝13.

7．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是()

A.1120 B.724

C.710 D.37

[答案]　B

[解析]　P＝C37C03C310＝724.

8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是()

A.15 B.14

C.25 D.35

[答案]　C

[解析]　P＝2A44A55＝25.

二、填空题

9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：

0 1 2

P

[答案]　15　35　15

10．随机变量的分布列为：

0 1 2 3 4 5

P 19

215

745

845

15

29

则为奇数的概率为________．

[答案]　815

11．(2010常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．

[答案]　56

12．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量，则P(＞1)＝________.

[答案]　12

[解析]　依题意，P(＝1)＝2P(＝2)，P(＝3)＝12P(＝2)，P(＝3)＝P(＝4)，由分布列性质得

1＝P(＝1)＋P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)

4P(＝2)＝1，P(＝2)＝14.P(＝3)＝18.

P(＞1)＝P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)＝12.

三、解答题

13．箱中装有50个苹果，其中有40个合格品，10个是次品，从箱子中任意抽取10个苹果，其中的次品数为随机变量，求的分布列．

[解析]　可能取的值为0、1、2、…、10.由题意知P(＝m)

＝Cm10C10－m40C1050(m＝0、1、2、…、10)，的分布列为

0 1 … k … 10

P C010C1040C1050

C110C940C1050

… Ck10C10－k40C1050

… C1010C040C1050

14.设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak，(k＝1、2、3、4、5)．

(1)求常数a的值；

(2)求P(X)35；

(3)求P110＜X＜710.

[分析]　分布列有两条重要的性质：Pi0，i＝1、2、…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X35或110710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次试验中相互独立，只要求得满足条件的各概率之和即可．

[解析]　(1)由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，得a＝115.

(2)因为分布列为PX＝k5＝115k (k＝1、2、3、4、5)

解法一：PX35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45；

解法二：PX35＝1－PX＝15＋PX＝25

＝1－115＋215＝45.

(3)因为110＜X＜710，只有X＝15、25、35时满足，故

P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35

＝115＋215＋315＝25.

15．(2009福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：

(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量的概率分布．

[解析]　(1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.

(2)由题意可能的取值为2,3,4,5，

P(＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130，

P(＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215，

P(＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310，

P(＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.

所以随机变量的概率分布为：

2 3 4 5

P 130

215

310

815

16.(2010福建理，16)设S是不等式x2－x－60的解集，整数m，nS.

(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；

(2)设＝m2，求的分布列．

[解析]　本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．

解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．

(1)由x2－x－60得－23，

即S＝{x|－23}．

由于m，nZ，m，nS且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：

(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．

(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，

所以＝m2的所有不同取值为0,1,4,9.

且有P(＝0)＝16，P(＝1)＝26＝13，P(＝4)＝26＝13，P(＝9)＝16.

故的分布列为：

0 1 4 9

P 16

13

13